劉 燕

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015）

概率論作為數(shù)學(xué)的一個非常重要的分支，與其他學(xué)科密切相關(guān).概率方法主要是利用概率論中知識建立概率模型去解決其他數(shù)學(xué)分支中的問題.恒等式和不等式的證明一直是比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，在不斷的學(xué)習(xí)和探索中發(fā)現(xiàn)，把概率論的思想滲透到不等式的證明中去,會拓寬我們的解題思路,使復(fù)雜的問題簡單化，從而提高解題的效率.這一問題已經(jīng)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[1～4].目前，應(yīng)用概率論的思想方法來證明一些關(guān)系式或者解決數(shù)學(xué)分析中的問題，已經(jīng)成為概率論的主要研究方向之一.

1 構(gòu)造概率模型證明恒等式

例1求證當(dāng)a,b均為正整數(shù)時，有

證明構(gòu)造概率模型：設(shè)盒有a只紅球，b只藍(lán)球，有放回地取球，每次取一只，連取n次，求其中恰有k次取到紅球的概率.(k=0,1,…,n)

設(shè)事件Ak表示恰有k次取到紅球，(k=0,1,…,n)

例2證明：當(dāng)r為正整數(shù)時，等式成立.

證明構(gòu)建數(shù)學(xué)模型為：設(shè)袋中裝有2r-1 個藍(lán)球及1 個紅球，現(xiàn)每次從中任取一球，看后放回，如取到的球為紅球，則再往袋中放入r-1 個藍(lán)球以及1 個紅球，一直循環(huán)，直到取到的球為藍(lán)色的球為止.

不妨設(shè)A={取到藍(lán)球}，Ak={第k次取到藍(lán)球}，其中k=1,2,3,…,那么有

又因為A1,A2,A3,…,Ak是互不相容的，并且根據(jù)概率的可列可加性公理可得所以有

從事件A的對立面來考慮問題，則有事件A的對立事件Aˉ={一直未取到藍(lán)球}，不妨令A(yù)ˉk={前k次取到的球全部都是紅球}，顯然我們可以得到，再由概率的連續(xù)性定理我們可以得到：

當(dāng)r-2 時我們有：

證明構(gòu)造概率模型：設(shè) {Xn}是相互獨立且同分布的r.ν，且Xi(i=1,2…n)服從參數(shù)λ=1 的possion分布.則期望EXi=1，方差DXi=1，(i=1,2…n)，由列維-中心極限定理得：

2 構(gòu)造概率模型證明不等式

例4（Jensen不等式）設(shè)X是離散r.ν，涵數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且E(X)與E(f(X))存在，則有：（1）若f(x)是凸函數(shù)，則有E(f(X))≤f(EX) ；（2）若f(x)是凹函數(shù)，則有E(f(X))≥f(EX).

證明建立概率模型：設(shè)離散型隨機(jī)變量，其中0≤p≤1

證明建立概率模型：

由于DX=EX2-(EX)2≥0,故 (EX)2≤EX2，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義，得

再由期望的性質(zhì)E[f(X)]≤f[EX],可得E[lnX]≤ln[EX]，進(jìn)而有

例6證明：當(dāng)a＞0 時，有

證明構(gòu)造概率模型：設(shè)X,Y是相互獨立的隨機(jī)變量且都服從N(0,1),則有，假設(shè)G和S分別為如圖1 所示的圓和正方形，顯然有∫G∫f(x,y)dxdy≤∫S∫f(x,y)dxdy，

圖1 G 和S 分別為圓和正方形

3 結(jié)論

通過上面例題的分析證明可以看出，將概率方法應(yīng)用在恒等式和不等式證明中是方便有效的.首先我們要熟練掌握概率論中的相關(guān)知識，然后針對具體的問題找到合適的概率模型，把數(shù)學(xué)分析中的恒等式和不等式問題轉(zhuǎn)化為概率的問題來解決.通過建立概率模型可以使一些抽象的數(shù)學(xué)問題更直觀化，具體化，使我們的解題思路更加清晰.