原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法下的圓柱度誤差評(píng)價(jià)技術(shù)研究

姜菲菲，趙鳳霞，牛森濤，鄭 鵬

（鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

回轉(zhuǎn)體零件的形狀誤差對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的壽命、工作精度等都有很大的影響，對(duì)于一些精密儀器和在惡劣條件下工作的機(jī)器影響可能更甚，因此常常需要控制回轉(zhuǎn)體零件工作表面的形狀誤差。圓柱度誤差是實(shí)際圓柱面對(duì)基準(zhǔn)圓柱面的變動(dòng)量，它既包含軸剖面方向的誤差，也包含橫剖面方向的誤差，是圓柱體各項(xiàng)形狀誤差的綜合指標(biāo)。因此，圓柱度是回轉(zhuǎn)體零件的最典型技術(shù)指標(biāo)。

目前國內(nèi)外學(xué)者圍繞圓柱度誤差的評(píng)定進(jìn)行了很多研究。文獻(xiàn)［1］提出了一種基于遺傳算法的圓柱度誤差評(píng)定方法；文獻(xiàn)［2-3］等分別采用基于修正單純形法和基于運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)的最小區(qū)域優(yōu)化算法對(duì)圓柱度誤差進(jìn)行了評(píng)定；文獻(xiàn)［4］提出應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行圓柱度誤差的評(píng)定；文獻(xiàn)［5］應(yīng)用包含收斂因子的粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行圓柱度誤差的評(píng)定；文獻(xiàn)［6］提出了一種基于網(wǎng)格搜索算法的圓柱度誤差評(píng)定方法；文獻(xiàn)［7］采用序列二次規(guī)劃算法思想對(duì)圓柱度誤差進(jìn)行計(jì)算；文獻(xiàn)［8］提出了一種基于擬粒子群算法的圓柱度誤差評(píng)定方法，由擬隨機(jī)序列生成粒子群的初始位置與初始速度；文獻(xiàn)［9］采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法實(shí)現(xiàn)了圓柱度誤差的評(píng)定；文獻(xiàn)［10］提出了一種基于改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法的圓柱度誤差評(píng)價(jià)方法，粒子群采用貪心選擇法來選擇最佳候選解；文獻(xiàn)［11］采用雙圓心擬合與端面網(wǎng)格搜索算法對(duì)圓柱度誤差進(jìn)行計(jì)算。綜上可知，國內(nèi)外學(xué)者一直在尋求一種評(píng)定精度高、運(yùn)算速度快、評(píng)定結(jié)果重復(fù)性好的圓柱度誤差評(píng)定算法。

1984 年，Karmarkar 開創(chuàng)性地提出將內(nèi)點(diǎn)法推廣應(yīng)用到對(duì)線性規(guī)劃的求解中，原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法是由內(nèi)點(diǎn)法發(fā)展而來的一種算法。原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法相比于其他算法，它是一種多項(xiàng)式的時(shí)間復(fù)雜性算法，極大地提高了線性規(guī)劃問題的求解速度［12-13］。而且原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法是一種在可行域的內(nèi)部尋優(yōu)的方法，約束條件和變量數(shù)目的增加不會(huì)導(dǎo)致迭代次數(shù)的增加，因此原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法對(duì)于較大規(guī)模的線性規(guī)劃問題很友好，可極大地提高其求解速度［13-14］。這里提出應(yīng)用原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行圓柱度誤差的評(píng)定，并對(duì)其評(píng)定精度、運(yùn)算效率和重復(fù)性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2 圓柱度誤差評(píng)定模型

圓柱度誤差是指實(shí)際圓柱面對(duì)基準(zhǔn)圓柱面的變動(dòng)量；按照ISO 121180-1［15］，基準(zhǔn)圓柱面有最小二乘基圓柱面、最小區(qū)域基圓柱面、最小外接基圓柱面和最大內(nèi)切基圓柱面，其中，最小區(qū)域基圓柱面是用于仲裁圓柱度誤差合格與否的基準(zhǔn)面，因此這里主要研究基準(zhǔn)圓柱面為最小區(qū)域基圓柱面時(shí)的圓柱度誤差評(píng)定方法。

如圖1 所示，設(shè)圓柱面上各測點(diǎn)的坐標(biāo)為Pi(ri，θi，zi) (i=1，...，N)，其中，N為測點(diǎn)總數(shù)。假設(shè)被測圓柱面的軸線在z=0的平面內(nèi)相對(duì)于基圓柱軸線的偏移量為(x，y)，且沿原方向與原軸線分別傾斜α，β，則被測圓柱面上的點(diǎn)到基圓柱面軸線的距離為：

圖1 圓柱度誤差評(píng)定模型示意圖Fig.1 Model of Minimum Zone Cylindricity Error Evaluation

展開式（1），可得到：

基圓柱體軸線的偏移量相較于圓柱體的名義尺寸而言可以認(rèn)為是微量，即x，y，α，β均為微量，由“小偏差”理論可知：sinα≈α，sinβ≈β，x，y，α，β任意組合的乘積項(xiàng)可近似視為0，則式（2）可近似為式（3）。

對(duì)式（4）配方，可得到：

由最小區(qū)域圓柱度誤差的定義可知，圓柱度誤差為：

設(shè)u=max(Ri)，v=min(Ri)，則最小區(qū)域圓柱度誤差求解模型為：

式（6）中的圓柱度誤差評(píng)定模型是略去了高次項(xiàng)后得到的線性模型，推導(dǎo)可知該模型的誤差近似為：

式中：R—圓柱公稱半徑；d—{|x|，|y|，|αzi|，|βzi|}中最大的值。

3 原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法的基本原理

由式（6）可知，所建立的最小區(qū)域圓柱度誤差評(píng)定模型是一個(gè)線性規(guī)劃模型，可采用原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法（Primal-dual interiorpoint algorithm）進(jìn)行計(jì)算。

原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法的基本思想是結(jié)合原問題和對(duì)偶問題，利用對(duì)偶間隙將不等式約束問題轉(zhuǎn)化為等式約束問題，在可行域內(nèi)部搜索找到對(duì)偶間隙為零的可行解。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題P：

其對(duì)偶問題Q為：

式中：s—松弛變量。

引入對(duì)數(shù)障礙函數(shù)，問題D可轉(zhuǎn)換為式（10）。

式中：s=diag(s1，s2，...，sn)，μ—障礙參數(shù)（μ＞0）。

則其相應(yīng)的Lagrange函數(shù)為：

式（11）的最優(yōu)條件是要滿足對(duì)x，y，s的一階導(dǎo)數(shù)為0，即可得到式（12）。

問題即可轉(zhuǎn)化為對(duì)非線性方程組式（12）的求解，可利用牛頓法對(duì)之求解。

設(shè)其初始值為(x0，y0，s0)，搜索方向?yàn)?Δx，Δy，Δs)，可得到如下的方程組。

對(duì)式（13）求解，可得到(Δx，Δy，Δs)，則：

一直迭代，直到在可行域內(nèi)找到滿足一定精度ε的最優(yōu)解。原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法的流程，如圖2所示。

圖2 原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)算法流程圖Fig.2 Flowchart of Primal-Dual Interior Point Algorithm

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 文獻(xiàn)數(shù)據(jù)測試

為了測試這里所提出的原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法（簡稱內(nèi)點(diǎn)法）的有效性，使用參考文獻(xiàn)［2，4］中的測量數(shù)據(jù)按這里所建立的模型和提出的算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，精度ε設(shè)置為1E-7。實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如表1、表2所示。所用計(jì)算機(jī)CPU i5-6200U，8G內(nèi)存。從表中可以看出，這里所提出的原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法評(píng)定精度優(yōu)于單純形法和含收斂因子的PSO，且評(píng)定時(shí)間僅需20ms，評(píng)定效率高。

表1 文獻(xiàn)[2]數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果Tab.1 Evaluation Results of Reference 2 Data

表2 文獻(xiàn)[4]數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果Tab.2 Evaluation Results of Reference 4 Data

4.2 實(shí)測數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用海克斯康三坐標(biāo)測量機(jī)（CMM）測量某圓柱體所得的測量數(shù)據(jù)（5個(gè)截面，每個(gè)截面1024個(gè)測量點(diǎn)），部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表3所示。采用內(nèi)點(diǎn)法對(duì)圓柱度誤差進(jìn)行評(píng)定，實(shí)驗(yàn)測試10次結(jié)果，如圖3、表4所示?？梢钥闯觯谠紝?duì)偶內(nèi)點(diǎn)法的評(píng)定重復(fù)性好。

表3 測量數(shù)據(jù)Tab.3 Measurement Data

表4 實(shí)測數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果Tab.4 Evaluation Results of Table 3 Data

圖3 實(shí)測數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果重復(fù)性測試圖Fig.3 Repeatability of Measured Data Evaluation Results

4 結(jié)論

這里基于“小偏差”假設(shè)建立了最小區(qū)域圓柱度誤差評(píng)定模型，根據(jù)所建立的評(píng)定模型特點(diǎn)，提出采用原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法對(duì)所建立的圓柱度誤差模型求解。采用文獻(xiàn)數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)分別進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明這里所提出的原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法在評(píng)定精度、評(píng)定效率和評(píng)定結(jié)果重復(fù)性等方面均優(yōu)于現(xiàn)在常用的一些算法。該研究為實(shí)現(xiàn)圓柱度誤差的數(shù)字化計(jì)量提供了一種穩(wěn)定可靠的方法。