薛寶珠，李夢陽

(中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川綿陽 621900)

0 前言

由于磨削加工獲得的工件精度比其他加工方式高，磨削加工常作為加工的最后一道工序。高精度磨削技術在精密儀器、超精密機床、航空航天等行業(yè)領域具有廣泛用途。套類零件是超精密機床中主軸以及轉(zhuǎn)臺的關鍵零件，是保證超精密機床加工精度的關鍵要素。由于立式磨削可以一次裝夾完成內(nèi)孔、外圓以及端面的多結構要素加工，相比于其他磨削方式誤差累積小，有益于改善套類零件加工效率和加工精度[1-4]。

隨著對磨削精度的要求不斷提高，通過建立模型來模擬磨削過程，從而實現(xiàn)對磨削結果的預測、工藝參數(shù)的優(yōu)化和磨削過程的控制，成為提高磨削效率和精度的重要手段[5-11]。本文作者通過對立式磨削工藝系統(tǒng)進行靜力學分析，建立立式磨削圓度誤差的數(shù)學模型，并借此研究各因素對磨削精度的影響規(guī)律。

1 立式磨削工藝系統(tǒng)模型

圖1所示為典型立式磨削工藝系統(tǒng)的結構[1]，主要包括轉(zhuǎn)臺、工件、砂輪、主軸和機床本體等零部件。

圖1 立式磨削工藝系統(tǒng)結構示意

立式磨削工藝系統(tǒng)十分復雜，建模需要考慮工件系統(tǒng)、砂輪系統(tǒng)、液體靜壓支承、直線電機、剛性接合面、砂輪桿柔性等。為減少系統(tǒng)復雜性，重點探索工件系統(tǒng)和砂輪系統(tǒng)對整體系統(tǒng)的影響，作如下假設：

(1)相比于轉(zhuǎn)臺、工件、砂輪、主軸之間的接觸剛度，機床本體的剛度大，因此將機床本體視為剛體；

(2)CBN砂輪硬度大，短時間磨削磨損小，因此忽略砂輪磨損；

(3)高精度磨削發(fā)熱量小，同時采用切削液冷卻，故工件溫度變化小；溫度場沿周向均勻變化，對圓度影響很小，因此不考慮磨削過程中熱效應對圓度的影響;

(4)此例中工件線速度小，磨削力?。徊捎靡后w靜壓支承，有隔振效果，為便于研究，假設系統(tǒng)為準靜態(tài)。

圖2所示為立式磨削工藝系統(tǒng)的簡化圖，其中：ez為轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)誤差，es為主軸回轉(zhuǎn)誤差；轉(zhuǎn)臺和工件之間作用簡化為彈簧支承，剛度為kg，工件中心位移為xg；主軸和砂輪之間作用簡化為彈簧支承，剛度為ks，砂輪中心位移為xs；砂輪和工件之間的接觸變形用接觸剛度ka表征；u為主軸的瞬時進給量。

圖2 立式磨削工藝系統(tǒng)簡化模型

定義磨削瞬時深度為ap，對應的磨削力為Fn，有如下關系：

(1)

定義kw為磨削剛度，則有：

(2)

式中：uch為比切削形成能；b為磨削寬度；vw為工件線速度；vg為砂輪線速度；λ為法向磨削力和切向磨削力的比值。

在此力作用下，砂輪與工件的接觸變形為

(3)

工件與砂輪位移、磨削深度與接觸變形滿足幾何關系：

ap=xg-xs+u-δ+eg

(4)

式中：eg為當前磨削點的工件輪廓誤差。當前磨削點的工件輪廓誤差是上一輪磨削完成后原始輪廓減去上一輪的磨削去除量：

eg(n)=eg(n-1)-ap

(5)

分別以工件和砂輪為分析對象，可以得到靜力學平衡方程：

kg(ez-xg)-Fn=0

(6)

Fn-ks(xs-es)=0

(7)

整理式(6)(7)可得：

(8)

(9)

綜合式(2)—(9)，有:

ap=(ez-es+u+eg)/(1+kw/ka+kw/kg+kw/ks)

(10)

工件的初始輪廓誤差eg0、轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)誤差ez及主軸回轉(zhuǎn)誤差es為可測量值，為仿真計算方便，采用傅里葉級數(shù)對上述誤差進行模擬：

(11)

2 仿真算例和試驗驗證

磨削加工對材料的去除為緩變過程，工件的初始輪廓誤差eg0、轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)誤差ez及主軸回轉(zhuǎn)誤差es中的高頻成分對最終加工形貌的影響不顯著，因此僅取誤差的前4階頻率成分作為分析條件，即：

(12)

(13)

(14)

為驗證仿真模型的正確性，進行仿真算例計算及試驗驗證。表1、2所示為仿真和試驗的工件參數(shù)和相關磨削工藝參數(shù)。

表1 材料為38CrMoAlA工件參數(shù)

按照表1和表2的參數(shù)磨削后，仿真計算得到的圓度誤差為0.62 μm。圖3所示為磨削后的圓度輪廓?？梢悦黠@看出：磨削之后的工件仍然存在波浪形的輪廓，但是這種波浪輪廓對圓度誤差沒有明顯的影響。

表2 相關磨削工藝參數(shù)

圖3 磨削后的圓度

為進一步驗證模型的正確性，按照前文的磨削參數(shù)，在數(shù)控立式磨床上進行了磨削工藝試驗，如圖4所示。工件磨削后借助Tayler Hobson的圓度儀對圓度誤差進行評定，結果表明：磨削后圓度誤差為0.6 μm，該值與模型計算結果0.62 μm相比差別很小。由此，證明了前文所述的模型是正確的，表明了利用此模型研究磨削誤差影響規(guī)律的可行性。

圖4 軸套磨削加工

3 圓度誤差影響因素分析

對不同磨削工藝參數(shù)下的磨削加工進行仿真計算，比較各參數(shù)對磨削加工圓度誤差的影響規(guī)律。

3.1 轉(zhuǎn)速比對加工誤差的影響

相比于單獨研究砂輪和工件各自的轉(zhuǎn)速，研究砂輪和工件的轉(zhuǎn)速比對工件表面的圓度誤差的影響規(guī)律對工程實踐的指導意義更加明確。

圖5所示為保持工件轉(zhuǎn)速在20 r/min，通過改變砂輪的轉(zhuǎn)速改變轉(zhuǎn)速比，且轉(zhuǎn)速比始終為整數(shù)時對圓度誤差的影響規(guī)律?？芍弘S著轉(zhuǎn)速比的增大，工件的加工圓度誤差逐漸減小，且剛開始減小得很快，當轉(zhuǎn)速比增大到一定程度時，減小趨勢開始趨緩。

圖5只給出了轉(zhuǎn)速比為整數(shù)時的影響規(guī)律，而實際上，相比于研究轉(zhuǎn)速比的整數(shù)部分，研究其小數(shù)部分對圓度誤差的影響也有重要意義。

圖5 砂輪和工件轉(zhuǎn)速比對圓度誤差的影響 圖6 波偏對圓度誤差的影響

轉(zhuǎn)速比的小數(shù)部分可以用波偏Δ來表示。砂輪和工件的轉(zhuǎn)速比減去不超過它的最大正整數(shù)，得到的余數(shù)可以定義為波偏。它表示第N轉(zhuǎn)的磨削波形輪廓相對于第N-1轉(zhuǎn)輪廓的相位偏移。如果轉(zhuǎn)速比是整數(shù)，那么波偏為0，這會造成最大的圓度誤差。非整數(shù)轉(zhuǎn)速比導致的波偏效應可以減小圓度誤差，尤其在光磨階段。

圖6所示為不同波偏對圓度誤差的影響規(guī)律。可以看出：當波偏Δ為0，即轉(zhuǎn)速比為整數(shù)時，圓度誤差最大，為2.01 μm，其次為波偏Δ為0.5時，圓度誤差為1.02 μm，而波偏Δ為0.1或0.9時，圓度誤差最小，為0.33 μm。

圖7所示不同波偏下加工得到的圓度輪廓，可以直觀地表現(xiàn)出波偏對加工輪廓的影響。在圖7中，波偏Δ為0時的外輪廓最為陡峭，且輪廓的頻率最低，而波偏Δ為0.1時外輪廓最為平緩，且頻率最大。

圖7 不同波偏影響下的圓度輪廓

3.2 工件初始圓度的相位對加工誤差的影響

由式(12)可知，影響工件初始圓度輪廓的因素主要為各頻率成分的幅值和相位，由于高頻成分對圓度的影響很小，故分析前4階頻率的影響更有意義，即：

(15)

(16)

在加工時間足夠長的情況下，工件初始圓度誤差的幅值對最終加工誤差的影響不大，因此主要分析相位對加工精度的影響。

取不同的相位矩陣：

得到的磨削加工輪廓如圖8所示。為使3條曲線易于比較，每條曲線的偏移系數(shù)不同?？梢园l(fā)現(xiàn)：不同相位矩陣Θ1、Θ2、Θ3下，磨削得到的輪廓形狀相同，且Θ2、Θ3的輪廓相比對Θ1的輪廓，沿著中心點旋轉(zhuǎn)了一定角度。但是3個輪廓的圓度誤差都為0.53 μm。因此，相位的大小對最終的加工圓度不會產(chǎn)生影響。

圖8 不同相位工件初始圓度下加工得到的圓度輪廓

3.3 磨削時間對加工誤差的影響

假設將工件磨削到極限圓度所用的時間為Th，為探究磨削過程中不同階段的圓度輪廓演變情況，分別計算出在Th/5、2Th/5、3Th/5和Th時刻的圓度輪廓，如圖9所示。在磨削開始階段(0～2Th/5)，砂輪不斷加工外圓，圓度誤差下降很快；經(jīng)歷一段時間之后(2Th/5～3Th/5)，圓度誤差隨著磨削過程緩慢降低；在磨削接近完成時(3Th/5)，此時繼續(xù)磨削，磨削誤差隨時間的變化極小。

圖9 不同磨削時間的圓度輪廓

3.4 主軸旋轉(zhuǎn)誤差對加工誤差的影響

主軸作為立式磨削工藝系統(tǒng)的重要功能部件，其回轉(zhuǎn)精度將直接影響砂輪的回轉(zhuǎn)精度，對保證工件的加工精度起著重要的作用。因此，重點分析主軸回轉(zhuǎn)誤差對工件加工圓度誤差的影響規(guī)律。

圖10所示為不同主軸回轉(zhuǎn)誤差幅值下加工得到的工件圓度誤差。可知：隨著主軸回轉(zhuǎn)精度的降低，工件的加工精度也逐漸降低。

圖10 主軸回轉(zhuǎn)誤差對圓度的影響

為對比分析主軸回轉(zhuǎn)誤差中不同階次誤差的影響規(guī)律，仿真計算不同回轉(zhuǎn)誤差幅值及最高階次下的加工精度，結果如圖11所示?？梢钥闯觯?階誤差導致的圓度誤差最大，2階最?。桓麟A誤差造成的加工精度差較小，且差值隨著主軸回轉(zhuǎn)誤差的增大而增大。

圖11 不同誤差幅值及階次對圓度的影響

5 結論

(1)采用靜力學方法建立了立式磨削工藝系統(tǒng)的誤差分析模型，模型計算結果與試驗基本一致。該模型能用來預測磨削行為和磨削誤差，進而為磨削參數(shù)優(yōu)化提供參考。

(2)分析了轉(zhuǎn)速比、工件初始圓度誤差相位、磨削時間和主軸回轉(zhuǎn)誤差對磨削精度的影響規(guī)律。當轉(zhuǎn)速比為整數(shù)時，磨削精度隨著轉(zhuǎn)速比的增大而提高；當轉(zhuǎn)速比不是整數(shù)時，變化情況更加復雜。工件初始圓度誤差的相位對最終的加工圓度不會產(chǎn)生影響。隨著磨削的進行，工件圓度誤差開始降低得很快，隨后降低趨勢逐漸變緩。在主軸誤差的組成頻率中，3階誤差導致的圓度誤差最大，2階最小。