正則性方法的內(nèi)涵與理解

曹志杰

(三峽大學(xué)理學(xué)院 湖北宜昌 443002)

微分方程解的正則性在數(shù)學(xué)研究中非常重要，此外還有其他對(duì)象的正則性。研究發(fā)現(xiàn)，不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，有不同的正則化過程和正則性要求。這給數(shù)學(xué)研究者，尤其是初級(jí)研究者帶來很大的理解障礙?；谶@種狀況，考察一般正則性與正則化的基本內(nèi)涵，給一些不同的正則性和正則化的理解提供一種“范式”是必要的。該文正是基于這種考慮，試圖為較為容易地理解和把握種類繁多的正則性和正則化現(xiàn)象，介紹一種思路。

1 正則性概述

研究解的正則性是微分方程求解分析中非常重要的一個(gè)方面。文獻(xiàn)[1]的第四章第六節(jié)詳細(xì)說明了數(shù)學(xué)家對(duì)微分方程求解的正則性分析過程：從古典導(dǎo)數(shù)到廣義導(dǎo)數(shù)，且引出廣義函數(shù)從而將方程的求解范圍逐步擴(kuò)大以得到解的表達(dá)式，接著分析傅里葉變換的逆對(duì)應(yīng)的空間變化等內(nèi)容，為將由廣義導(dǎo)數(shù)表達(dá)的解回到古典導(dǎo)數(shù)上打下基礎(chǔ)。其實(shí)整個(gè)過程，就是先用某種方式將解表達(dá)出來，然后分析這樣做時(shí)出現(xiàn)的問題并加入條件將問題解決。微分方程解的正則性討論在碩、博士畢業(yè)論文中也屢見不鮮，比如：文獻(xiàn)[2]詳細(xì)討論了Landau-Lifshitz 方程與Maxwell 方程在自旋累積效應(yīng)下耦合系統(tǒng)解的部分正則性等性質(zhì)及三維A帶自旋擴(kuò)散的Landau-Lifshitz-Maxwell系統(tǒng)的部分正則性；文獻(xiàn)[3]利用解析半群理論、分?jǐn)?shù)冪理論、不動(dòng)點(diǎn)定理研究了兩類具有非局部條件的中立型發(fā)展方程解的存在性與正則性問題。文獻(xiàn)[4]證明在一定條件下不可壓三維Navier-Stokes 方程的弱解u是正則的；文獻(xiàn)[5-7]分別研究了三維廣義的MHD系統(tǒng)和Hall-MHD系統(tǒng)的正則性規(guī)則，Navier-Stokes方程的局部正則性條件，和三維MHD-α型模型全局吸引子的正則性。

數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中遇到的正則，涵義往往有很大差異，如函數(shù)正則化方法、某測(cè)度是正則的、偏微分方程解的正則性估計(jì)等表達(dá)，還有，如正則性公理（也叫基礎(chǔ)公理，是Zermelo-Fraenhel 集合論中的公理之一）、正則表達(dá)式（這是一種可以用于模式匹配和替換的工具，可以讓用戶通過使用一系列的特殊字符構(gòu)建匹配模式，然后把匹配模式與待比較字符串或文件進(jìn)行比較，根據(jù)比較對(duì)象中是否包含匹配模式，執(zhí)行相應(yīng)的程序）等。語義上，以上出現(xiàn)的“正則”各對(duì)應(yīng)正則（regular），或正則性（regularity），或正則化（regularize）中的某一種或幾種。在不同的數(shù)學(xué)學(xué)科背景中，這些“正則”的意義相差甚遠(yuǎn)，初學(xué)者對(duì)這些差異會(huì)感到極大的困惑。這個(gè)困惑的程度，比另一個(gè)常見的數(shù)學(xué)名詞——齊次性，引起的要嚴(yán)重一些。畢竟，諸如（非）齊次線性方程組、齊次微分方程、齊次多項(xiàng)式（函數(shù)）等，這些“齊次”的含義雖然不同，但其定義很清晰，理解起來一般不會(huì)有難度。

由此可知，正則現(xiàn)象（指某對(duì)象的正則性和正則化）與某種規(guī)則相連。正則化，顧名思義，就是根據(jù)某規(guī)則，按照（某種）方式行事，這個(gè)過程中要求的對(duì)象的性質(zhì)，就稱為正則性。粗略來講，正則就是在實(shí)際應(yīng)用中向某個(gè)規(guī)則靠攏，以此解決僅靠規(guī)則解決不了的“棘手”問題以及由此而產(chǎn)生的一系列相關(guān)問題：譬如函數(shù)正則化方法，是用光滑函數(shù)逼近一般函數(shù)（其光滑程度不滿足實(shí)際需要）的方法，就是函數(shù)向光滑函數(shù)靠攏之意，二者達(dá)到一定的接近程度，就可用光滑函數(shù)的方法來解決一般函數(shù)的問題；某測(cè)度是正則的，按照定義指的是對(duì)集族中的任一集合（對(duì)測(cè)度而言，是非?！半y測(cè)”的），都可找到一個(gè)“可測(cè)”的集合，使后者包含前者，并且二者的“測(cè)度”是相等的，這可理解為集族中任一集合的某度量都向某一測(cè)度靠攏，因而得到集族的一個(gè)測(cè)度。

對(duì)方程解的正則性進(jìn)行估計(jì)是求解偏微分方程時(shí)的一個(gè)重要問題。事實(shí)上，假設(shè)解是存在的，只需要再證明某種先驗(yàn)估計(jì)，解的存在性就得到證明。具體地，對(duì)于一個(gè)方程Lu=f，其中L是一個(gè)古典導(dǎo)數(shù)算子，如，物理上要求方程的解在最低二次可導(dǎo)函數(shù)空間X中，但要在這個(gè)空間X中求得方程的解，是困難的。這個(gè)空間上的算子欠缺“好”的性質(zhì)，如自反性、嚴(yán)格凸及列緊性等。為此，數(shù)學(xué)家引入了“弱導(dǎo)數(shù)”及“廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”等概念，將古典微分算子L“弱化”為弱算子LC。這個(gè)弱算子是哪怕對(duì)于基本的可測(cè)函數(shù)，也可以對(duì)它求導(dǎo)（弱導(dǎo)數(shù)），而且這個(gè)弱導(dǎo)數(shù)算子對(duì)應(yīng)一個(gè)較好的空間（Sobolev 空間等），數(shù)學(xué)上這些空間中的算子具有非常豐富的性質(zhì)。由此人們就易于得到方程LCu=f的解，但這是“弱解”——弱算子LC對(duì)應(yīng)的解。回到原方程，我們發(fā)現(xiàn)，弱解所在的空間不具有相應(yīng)的物理意義，為解決實(shí)際問題，我們還得回到古典導(dǎo)數(shù)意義下的函數(shù)空間，就是要再回到前述空間X上。這個(gè)弱解是否能與如何“回到”古典導(dǎo)數(shù)空間X中，就是原方程解的正則性估計(jì)問題?？偨Y(jié)整個(gè)過程，就是為了在X中求得方程的解，我們退而求其次，選擇一個(gè)更大（條件更寬松，以致原本不可以求導(dǎo)的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)）的函數(shù)空間，自然在其中較易得到原方程的解（是弱解），然后在對(duì)其“正則化”，即尋找條件，使得弱解能“回到”原空間X中。循著這個(gè)模式，我們就可以大體把握偏微分方程理論對(duì)具體某方程求解的過程了。

其余部分安排如下：第2 部分從正則性（化）的角度分析黎曼積分定義，給這個(gè)過程一個(gè)正則化的理解；第3部分結(jié)合卷積的性質(zhì)，利用磨光技術(shù)，考察將一般函數(shù)磨光為光滑函數(shù)的過程，這也是一種正則化。最后給出該文的結(jié)論。

2 黎曼積分過程

積分就是為解決面積問題而提出的。求平面圖形的面積，我們自然求助于規(guī)則圖形的面積公式，那么，對(duì)不規(guī)則圖形，如何求面積？

黎曼積分（就是一般微積分教材中的定積分）給出了基于正則性（化）思想的處理辦法——在平面圖形的曲邊逐點(diǎn)連續(xù)時(shí)用求規(guī)則圖形面積的公式得到任意不規(guī)則圖形面積的一種方法。

回顧定積分概念的引入。任給一個(gè)平面圖形，如何得到它的精確面積？

這里該文考慮用已有的面積公式，即希望能使用某已知求面積公式。用哪一個(gè)公式？如何用那個(gè)公式求出這種圖形的精確面積？這兩個(gè)問題都很關(guān)鍵。應(yīng)當(dāng)注意到，整塊平面的面積等于將它分割成各部分后各部分面積相加的結(jié)果。因此，下面該文的考慮思路是，首先將這一平面圖形規(guī)則的分割成幾大塊，針對(duì)其中的某一塊，在某個(gè)坐標(biāo)系下將其再分割成與某坐標(biāo)軸平行的、僅有一邊是曲線的圖形；下一步是繼續(xù)分割，讓每一個(gè)這樣的圖形越來越窄，及每一個(gè)的曲線邊的長(zhǎng)度越來越小。這樣的操作一直下去，直到這些不規(guī)則的窄長(zhǎng)的圖形幾乎可視為規(guī)則的矩形，就可以用公式計(jì)算出這樣的每一個(gè)圖形的面積，然后再把這些部分的面積加起來，就可以求得整個(gè)不規(guī)則圖形的面積。

該過程中就使用了正則性方法，即求解時(shí)確定用某一目標(biāo)公式，然后就向這個(gè)公式靠攏，考慮在何種情況下可以正當(dāng)合理地使用這個(gè)公式。這個(gè)過程也能使研究者更深刻地理解函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)定義的深度。下文是具體過程。

可先粗略地將任意平面劃分為I、II、III、IV四部分（見圖1），每個(gè)部分就相對(duì)規(guī)整一些。一般而言，我們考慮形如V 的圖形（見圖2）（稱為曲邊梯形，假設(shè)其中的曲邊所在曲線的方程已知，記為y=f(x)；而該曲邊梯形若除去其下方一個(gè)同底的矩形，就可對(duì)應(yīng)前述四部分中的某一個(gè)）的面積。對(duì)平面圖形來說，面積等于劃分后它的全部各部分面積之和，因此，前述任意圖形的面積就等于劃分后的四部分面積之和?；诖?，對(duì)曲邊梯形V 有規(guī)律地劃分，使得到的每一小部分都是一個(gè)窄的曲邊梯形。小曲邊梯形越來越像矩形，但畢竟不是，因此還不能用矩形的面積公式。

圖1 任意平面圖形的分割

圖2 曲邊梯形的細(xì)分

小差距總是存在，總是不能實(shí)至名歸的用矩形面積公式來求陰影圖形的面積，怎么才能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)呢？根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)x0處連續(xù)的概念，有

其中Δx=x-x0，Δy=f(x)-f(x0)，考慮到Δx→0 并不表示Δx=0，于是就有一個(gè)寬為Δx，長(zhǎng)為f(x0)的確定的矩形，它的面積當(dāng)然就是f(x0)Δx。當(dāng)函數(shù)y=f(x)在研究區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)時(shí)，就可以給出這樣的結(jié)論：所謂曲邊梯形的面積實(shí)際上等于若干矩形面積之和，這正是黎曼和。這個(gè)過程，就是在矩形面積公式的指引下，逐步將不規(guī)則圖形的面積用這個(gè)公式處理的過程，實(shí)際是一個(gè)正則化的過程：將不規(guī)則的圖形的面積用規(guī)則圖形面積的計(jì)算公式求得，過程中涉及到平面面積的整體等于部分和屬性，及對(duì)曲線（曲邊梯形之曲邊）在研究范圍內(nèi)每一點(diǎn)的連續(xù)性等性質(zhì)，這些也可以理解為曲邊梯形面積求解過程中涉及的“正則性”。以上是一維空間的情況，推廣開來，多維也有類似結(jié)論，而且，隨著空間維度的增加，涉及的正則性的研究會(huì)越來越復(fù)雜。

為了能用矩形的面積公式，要求這個(gè)小部分是一個(gè)精確的矩形。這個(gè)過程如何向矩形靠攏呢？對(duì)曲邊提一個(gè)要求，即其上每一點(diǎn)處曲線都是連續(xù)的，這就能做到當(dāng)兩長(zhǎng)邊的距離趨于零時(shí)兩長(zhǎng)邊的差距也趨于零，從而每個(gè)窄的曲邊梯形就做成一個(gè)矩形，這就是一個(gè)正則化的過程。

黎曼積分的這個(gè)過程中要求的曲邊上每一點(diǎn)都是連續(xù)的在物理場(chǎng)景中是一個(gè)非?？量痰臈l件，這也是后來勒貝格積分（另外一種源于正則化思想求不規(guī)則圖形面積的處理方式）得以替代并在用途上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越黎曼積分的一個(gè)原因。

3 一般函數(shù)的磨光

在函數(shù)的使用過程中，一定的光滑性是必需的。但在實(shí)際問題中，函數(shù)的光滑性往往達(dá)不到使用的要求，因而要增加函數(shù)光滑性。對(duì)應(yīng)的操作，就是對(duì)函數(shù)的磨光。

函數(shù)的光滑性也稱為函數(shù)的正則性。光滑性在函數(shù)的使用過程中至為重要，因而對(duì)一般的函數(shù)會(huì)盡量使其具有光滑性。這個(gè)方法稱為對(duì)函數(shù)磨光。這也是一個(gè)正則化的過程，將一般函數(shù)“磨成”光滑函數(shù)。

考慮到卷積的性質(zhì)：“若f與g中之一是可微的，則其卷積也是可微的，且其階相同”，那么對(duì)于一般的研究對(duì)象，只要找一個(gè)光滑函數(shù)，二者一做卷積，一般函數(shù)就磨成光滑的了。隨后用磨成的光滑函數(shù)代替原初的研究對(duì)象，最后用卷積的逆過程回歸到原研究對(duì)象，這里面的問題可歸結(jié)為正則化的問題。

4 結(jié)論

微分的逆運(yùn)算是積分，那么微分方程的解就是積分的結(jié)果或是一種積分形式。而微分方程，無論常微分方程還是偏微分方程，涉及的微分一般都是古典導(dǎo)數(shù)意義下的。在古典導(dǎo)數(shù)意義下，即使初等函數(shù)，求積分問題也沒有完全解決，那么研究者是如何研究一般由古典導(dǎo)數(shù)意義給出的微分方程的呢？為此，人們引入了廣義導(dǎo)數(shù)，它是建立在積分過程之中：利用一般分部積分過程，定義弱導(dǎo)數(shù)；又根據(jù)函數(shù)序列在可積空間中的收斂，可得強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的概念。這兩個(gè)定義是可以互相推出的，也就是等價(jià)的。有了廣義導(dǎo)數(shù)，對(duì)微分方程的研究就轉(zhuǎn)移到了可積空間，如Sobolev空間、Besov空間等，利用這些空間的性質(zhì)，可分析對(duì)應(yīng)微分方程的解的各種形態(tài)。鑒于一般微分方程的復(fù)雜性，一般是將空間范圍擴(kuò)大，以找到它的解，然后在回到方程所在的恰當(dāng)?shù)目臻g。這個(gè)回到恰當(dāng)空間的過程，就是一個(gè)研究正則性的過程。什么是正則性？為什么可直接求解的微分方程無正則性研究？就是因?yàn)閷?duì)可求解的方程而言，無需再回到原空間中的緣故。這里正則性要研究的內(nèi)容就是由廣義導(dǎo)數(shù)進(jìn)行的微分方程解的分析與方程真正的解之間有何關(guān)聯(lián)、差別在哪里、還有哪些未考慮到的內(nèi)容等。

通過考察黎曼積分過程和一般函數(shù)的磨光經(jīng)歷及微分方程的求解策略，闡釋數(shù)學(xué)問題處理過程中常用的正則性（化）思想。具體地講，就是在規(guī)則嚴(yán)格不允許使用時(shí)，如何使研究對(duì)象巧妙地運(yùn)用該規(guī)則，并處理隨之而來的一系列問題，最終回到原問題上去的過程。讀者朋友見到正則現(xiàn)象時(shí)，若能夠分辨具體問題中要適用的規(guī)則，和規(guī)則的要求不被滿足的情況，積極地聯(lián)系上下文，確定“正則化”過程，初步理解涉及的正則概念，該文的目標(biāo)就實(shí)現(xiàn)了。

另外，正則也作為奇異的反義出現(xiàn)，如由局部可積函數(shù)構(gòu)成的所謂正則廣義函數(shù)和不是由局部可積函數(shù)構(gòu)成的奇異廣義函數(shù)。類似的情況很多，這里就不一一詳舉，這樣的例子往往含義是清晰的。對(duì)如解的正則性這類正則性方法的使用，讀者可依據(jù)文中提到的正則內(nèi)涵，結(jié)合正則出現(xiàn)的具體環(huán)境去考慮其涵義。