《數(shù)理精蘊(yùn)》對(duì)《方程論》的吸收與精簡(jiǎn)

史瑞琪，郭世榮

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

《數(shù)理精蘊(yùn)》是以康熙御制的名義，于雍正元年（1723 年）刻成的一部百科全書(shū)式的數(shù)學(xué)官書(shū)［1］。全書(shū)共53 卷，總結(jié)了明末清初傳入中國(guó)的西方數(shù)學(xué)主要內(nèi)容以及當(dāng)時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)研究的主要成果［2］。其中，對(duì)于下編卷十“線部八·方程”的內(nèi)容，錢寶琮［3］、李迪［1］、李兆華［2］等學(xué)者普遍認(rèn)為吸收了梅文鼎（1633—1721）《方程論》的研究成果，方程的分類及解題思路與《方程論》完全一致，是據(jù)此書(shū)改寫(xiě)而成。但關(guān)于《數(shù)理精蘊(yùn)》的編撰者怎樣改寫(xiě)《方程論》，“改”的原因是什么等問(wèn)題未討論。鑒于此，本文以《數(shù)理精蘊(yùn)》“方程卷”和梅文鼎《方程論》為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)《數(shù)理精蘊(yùn)》“方程卷”內(nèi)容進(jìn)行分析，希冀厘清《數(shù)理精蘊(yùn)》匯編《方程論》的編撰方式及改編原因。

1 《方程論》：《數(shù)理精蘊(yùn)》“方程”內(nèi)容的取材基礎(chǔ)

《數(shù)理精蘊(yùn)》卷十的“方程”分三部分內(nèi)容。

第一部分，預(yù)備知識(shí)。起首一篇概說(shuō)，論述方程的定義、方程的解法，闡述方程系數(shù)存在“正負(fù)”的緣由及消元過(guò)程中系數(shù)符號(hào)的變化規(guī)律，說(shuō)明了三次以上方程在計(jì)算過(guò)程中“首數(shù)”的定位法則，規(guī)定了方程分為“和數(shù)類”“較數(shù)類”“和較兼用類”及“和較交變類”四類。以上內(nèi)容，從方程的分類到方程的解法問(wèn)題，皆與梅文鼎在《方程論》卷一“正名”中的相關(guān)論述相差無(wú)幾。

關(guān)于方程分類問(wèn)題，梅文鼎在卷一“正名”中有如下記述：

“名不正，則言不順。諸本方程皆以二色，三色，四色等，分款立法，而不分和較，宜其端緒分糾，而說(shuō)之滋謬也，故先正其名。”［5］327

“諸本方程”中①指程大位的《算法統(tǒng)宗》、李之藻的《同文算指》、吳敬的《九章算法比類大全》和李長(zhǎng)茂的《算海詳說(shuō)》等。，方程的分類按照未知數(shù)多少分為“一色、二色、三色”等。色，指未知數(shù)，相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)所說(shuō)的二元、三元、四元等［4］。梅文鼎認(rèn)為，“諸本方程”按照未知數(shù)個(gè)數(shù)的多少進(jìn)行分類的方法是不正確的，不能反映方程的本質(zhì)，且不符合古人立法的本意。他說(shuō)道：“舊傳方程分二色為一法，三色為一法，四色五色以上為一法，頭緒紛然。而和較之分疑未清，法無(wú)畫(huà)一。所立假如僅可施之本例，不可移至他處。然如此，則無(wú)用之法。而方程一章為徒設(shè)矣，竊以古人立法決不如此。今按方程有和，有較，有兼用和較，有和較交變約法四端?！保?］325意即：前人有關(guān)方程的著述中，二元方程為一類，三元方程為一類，四元方程及以上為一類，因不分和較，故解法不能統(tǒng)一。所列解法適用于對(duì)應(yīng)例題，不適用于所有的方程問(wèn)題，因而不能做到靈活運(yùn)用，是“無(wú)用之法”，古人將方程列于專門的一章，絕非此意。鑒于此，梅文鼎著《方程論》卷六，專門討論方程的分類、解法和應(yīng)用［6］?！熬硪弧ふ保聪禂?shù)符號(hào)的排列情況［7］，將方程分為四類：“正名有四，一和數(shù)，二較數(shù)，三和較雜，四和較交變?！保?］327即“和數(shù)方程”“較數(shù)方程”“和較相雜方程”“和較交變方程”，并列舉了大量的題例說(shuō)明以上述方程的求解方法。

《數(shù)理精蘊(yùn)》中分方程為“和數(shù)類”“較數(shù)類”“和較兼用類”“和較交變類”，從“方程”的分類體例上看，與《方程論》中分方程為“和數(shù)方程”“較數(shù)方程”“和較相雜方程”“和較交變方程”的分類體例基本一致，是完全采納了梅氏的分類方法。此外，梅文鼎在“卷三·致用”中關(guān)于“方程”解之唯一性的論述也被《數(shù)理精蘊(yùn)》所吸收，并置于卷首概說(shuō)之中。梅文鼎說(shuō)道：“方程立法，正以諸物雜糅，多寡錯(cuò)居，同異參伍，而得其端倪也。又或三色方程而問(wèn)只二宗，則減盡仍有二色，不能分別。故問(wèn)三色必有三宗，問(wèn)四色必有四宗，五色六色以上悉同。何也？方程立法，乘減一次，始能分去一色，若少一行，則少一次乘減，而不能得其一法一實(shí)矣。故行中可有空位，而不可有空行。行中有空者，分一行言之也。若總列為圖，則位皆無(wú)空。凡此皆治方程者所當(dāng)知?！保?］361意即：方程能夠成立，正是因?yàn)楦魑锛亩喙巡煌?，同異交錯(cuò)混雜。若三個(gè)未知數(shù)方程只列兩個(gè)方程式，互乘對(duì)減后仍存在兩個(gè)未知數(shù)，不能消去。幾色方程則有幾宗，少列一個(gè)方程式則方程不可解。此外，方程式可以存在某個(gè)未知數(shù)系數(shù)為零情況，但不可少列一行。梅文鼎把方程的“總列”稱為“圖”，相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中線性方程組的系數(shù)矩陣。在“圖”中，不可有一行全為零的情況。

梅氏特別強(qiáng)調(diào)，此內(nèi)容為“治方程者”必須掌握的。由此可知，《數(shù)理精蘊(yùn)》在編撰方程理論時(shí)，將此問(wèn)題的討論歸入卷首的預(yù)備知識(shí)之中也是順理成章。

第二部分，分類討論。依次討論四類方程的求解問(wèn)題。通過(guò)對(duì)比，此部分對(duì)《方程論》“卷一”“卷三”“卷四”的內(nèi)容均有不同程度的吸收和借鑒。

《數(shù)理精蘊(yùn)》中“較數(shù)類”第二題的題目改編自方程論“卷一”“較數(shù)方程例”的第二題，“和較兼用類”第一題的題目改編自《方程論》“卷一”“和較相雜方程例”的第一題。

《方程論》卷三“致用”，討論方程的簡(jiǎn)捷算法問(wèn)題。梅文鼎指出：“凡方程之法，去繁就簡(jiǎn)者，同者去之，異者存之，歸于一法一實(shí)而矣?！保?］356即使用一次互乘對(duì)消可以消去一個(gè)未知數(shù)，連續(xù)消去后便可將方程轉(zhuǎn)化為kx=b的形式，進(jìn)而求出方程的解?；コ藢?duì)消需要進(jìn)行多少次，依方程的未知數(shù)個(gè)數(shù)而定。一般情況下，二元消一次，三元消三次，四元消六次……然而，在解決某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方程會(huì)出現(xiàn)有些項(xiàng)空缺，或同一未知數(shù)的系數(shù)相同的情況，此時(shí)便可采取簡(jiǎn)捷算法，從而節(jié)省計(jì)算步驟，即梅文鼎所說(shuō)“省算”問(wèn)題?！稊?shù)理精蘊(yùn)》“和較兼用類”第三題，“和較交變類”第三題均為“省算”問(wèn)題。

《方程論》卷四“刊誤”，改正當(dāng)時(shí)“諸本方程”的錯(cuò)誤。其中的“加減之誤”，分為“同加異減之誤”和“奇減偶加之誤”兩類。對(duì)于前者，梅文鼎認(rèn)為方程進(jìn)行互乘消元時(shí)，對(duì)于兩個(gè)方程式中要消去的未知數(shù)，系數(shù)數(shù)值相同，符號(hào)也相同，便可互減消元。如果系數(shù)數(shù)值相同，符號(hào)不同，則需要經(jīng)過(guò)變號(hào)再進(jìn)行相減。因此相減的過(guò)程只遵循“同減異加”的原則［8］，即消元只可用減法。在《數(shù)理精蘊(yùn)》中所列各題，均按照“同減異加”的原則進(jìn)行消元，無(wú)疑是受到梅文鼎的影響。

對(duì)于后者“奇減偶加之誤”，梅文鼎辯正了《算法統(tǒng)宗》中四元方程的消元問(wèn)題，《算法統(tǒng)宗》中以末行方程式為主，“奇減偶加”的作為解四元一次方程組的通法是欠妥的［8］。方程相消時(shí)，只與方程式中所消去的未知數(shù)的系數(shù)有關(guān)，與方程式行數(shù)的排列無(wú)關(guān)。梅氏發(fā)現(xiàn)了此謬誤，指出：“今諸書(shū)不察，偶見(jiàn)瓜梨一例，有奇減偶加之形，不得其解，遂執(zhí)為四色之定法?！保?］372并對(duì)此作了修正?！稊?shù)理精蘊(yùn)》“和較交變類”第四題即為此題，求解方法則是依梅氏的論述。

然而，對(duì)于方程的消法問(wèn)題，當(dāng)系數(shù)數(shù)值相同，符號(hào)相反，兩式相加也可消元。即方程消元，“同減異加”或“同加異減”均可。梅文鼎雖然看到“諸本方程”中正負(fù)使用混亂的狀況，對(duì)正負(fù)的概念做了解釋。但對(duì)于方程消法問(wèn)題上，堅(jiān)持只能用減，不能用加，批評(píng)“諸書(shū)所載，忽而同減，忽而異減，忽而異加，忽而同加，豈不謬哉”［5］370這種做法是不正確的。乾嘉時(shí)期的中算家，焦循、駱騰鳳、羅士琳也都批評(píng)過(guò)梅氏的這種看法［9］。

第三部分，“附法”。列舉了方程解“疊借互徵”問(wèn)題和“和數(shù)比例”問(wèn)題，以明“方程可御錯(cuò)糅正負(fù)”之理。意義則與《方程論》“卷五”相同?！斗匠陶摗肪砦濉胺匠逃s法”①雜法：指中國(guó)古代的粟米、差分、均輸、盈不足等數(shù)學(xué)方法。，列舉了大量方程解雜法的例子，用以說(shuō)明“雜法不能御方程，而方程能御雜法”，“方程為數(shù)學(xué)之極”。

《方程論》中，除討論方程的基本問(wèn)題外，還涉及對(duì)方程特殊問(wèn)題及應(yīng)用問(wèn)題的討論。例如《方程論》卷二“極數(shù)”，按照問(wèn)題的性質(zhì)和解題方法把方程分成三類：“帶分”②帶分：方程中未知數(shù)系數(shù)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，稱為帶分。，“疊腳”③疊腳：方程中每個(gè)方程式有兩個(gè)以上并列的常數(shù)項(xiàng)，稱為疊腳。，“重審”④重審：一個(gè)問(wèn)題需要解兩個(gè)以上的方程才能得到答案。?！斗匠陶摗肪砹皽y(cè)量”，討論利用方程求解天文測(cè)量中出現(xiàn)的計(jì)算問(wèn)題。但《數(shù)理精蘊(yùn)》未收入以上內(nèi)容。

除《方程論》外，也有其他的書(shū)目及內(nèi)容作為參考或取材來(lái)源。例如“和數(shù)類”第一題源自《算法統(tǒng)宗》［10］的“二色方程”，僅改動(dòng)了數(shù)字。“較數(shù)類”第一題源自《算法統(tǒng)宗》“難題卷”第15 題?！昂洼^交變類”第四題題目也源自《算法統(tǒng)宗》。“附法”第一題為《數(shù)理精蘊(yùn)》下編卷九“疊借互徵”中最后一題：“此法數(shù)層加減幾用比例頗覺(jué)繁瑣，而用方程算之微覺(jué)簡(jiǎn)明，但系疊借本法故兩收之。收入疊借者所以存其理，而收入方程者所以取其簡(jiǎn)?！保?1］395

綜上所述，就所涉及到的方程理論而言，《方程論》是《數(shù)理精蘊(yùn)》的取材基礎(chǔ)，是內(nèi)容的主要來(lái)源。

2 《數(shù)理精蘊(yùn)》改編《方程論》的方式

2.1 內(nèi)容的取舍

《數(shù)理精蘊(yùn)》所選取《方程論》中的內(nèi)容，主要為卷一“正名”，卷三“致用”的內(nèi)容，卷四“刊誤”和卷五“雜法”也僅涉及個(gè)別內(nèi)容，卷二“極數(shù)”和卷六“測(cè)量”均未收入。就內(nèi)容而言，僅包括了學(xué)習(xí)方程理論時(shí)，需掌握的預(yù)備知識(shí)及如何求解方程，未涉及方程應(yīng)用問(wèn)題及處理某些特殊問(wèn)題的討論。同時(shí)，《數(shù)理精蘊(yùn)》共列19 道例題，源自或改編《方程論》的題目極少。通過(guò)對(duì)題目整體審查、比對(duì)及分析，發(fā)現(xiàn)其具有統(tǒng)一特點(diǎn)，即所有方程系數(shù)均為整數(shù)，不存在小數(shù)或者分?jǐn)?shù)的情況，且方程式首項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，相比于《方程論》的題目更便于計(jì)算。如《方程論》“和數(shù)方程例”為：

假如有山田三畝，場(chǎng)地六畝，共折輸糧實(shí)田四畝七分，又有山田五畝，場(chǎng)地三畝，共折實(shí)田五畝五分，問(wèn)田地每畝折實(shí)科則各如干？［5］328

設(shè)x為山田每畝折實(shí)，y為場(chǎng)地每畝折實(shí)，依據(jù)題所列方程為

方程的常數(shù)項(xiàng)為小數(shù)形式。

而《數(shù)理精蘊(yùn)》“和數(shù)類”第一題為：

“設(shè)如馬四匹牛六頭價(jià)四十八，馬三匹牛五頭共價(jià)三十八兩，問(wèn)馬牛各價(jià)幾何？”［11］397設(shè)馬為x，牛為y，依題所列方程為

方程中的各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)。

再如“較數(shù)類”第二題則改編了《方程論》的“較數(shù)方程”第二題，使得方程的常數(shù)項(xiàng)變?yōu)檎麛?shù)。

據(jù)前人研究可知，《數(shù)理精蘊(yùn)》在方程求解方法與方程分類問(wèn)題上吸收了《方程論》的理論成果。然而，就整體內(nèi)容而言，僅包含了求解方程的主要內(nèi)容，對(duì)于方程的應(yīng)用及某些特殊問(wèn)題均不涉及。例題的擬定，也不拘泥于《方程論》，通過(guò)改編或參考其他書(shū)目，力求方程計(jì)算方便，過(guò)程簡(jiǎn)潔，便于學(xué)習(xí)和理解。

2.2 體例的變化

《方程論》中各題的體例，主要分為三部分：題目，答案，解答過(guò)程。內(nèi)容的起首方式也不盡相同，命題有“問(wèn)”“今有”或“假如”三種起首方式，解答過(guò)程有“法”或“如圖”等起首方式?！稊?shù)理精蘊(yùn)》中各題的體例僅包括題目與解答過(guò)程兩部分，省略了答案。統(tǒng)一了起首方式：以“設(shè)如”起首命題，以“法”起首解答過(guò)程。相比《方程論》，整體內(nèi)容的呈現(xiàn)方式更具規(guī)范化和模式化。下面引述《數(shù)理精蘊(yùn)》“較數(shù)類”第一題，《方程論》“較數(shù)方程”第一題，作簡(jiǎn)要說(shuō)明。

《數(shù)理精蘊(yùn)》“較數(shù)類”第一題：

“設(shè)如硯七方比筆價(jià)多四百八十文，又硯三方比筆九枝價(jià)少一百八十文，問(wèn)筆研價(jià)各若干？

法以硯七為正，筆三為負(fù)，價(jià)多四百八十文為正列于上，又以硯三為正，筆九為負(fù)，價(jià)少一百八十文為負(fù)列于下，乃以下硯三遍乘上硯七，筆三，價(jià)多四百八十文得硯二十一為正，筆九為負(fù)，價(jià)多一千四百文為正。又以上硯七遍乘下硯三，筆九少一百八十文，得硯二十一為正，筆六十三為負(fù)，價(jià)少一千二百六十文為負(fù)。兩下相較，則硯各二十一，彼此減盡；筆九枝與六十三枝兩層皆負(fù)，故相減余五十四枝；價(jià)多一千四百四十文與少一千二百六十文，一正一負(fù)故相加得二千七百文乃筆五十四枝之共價(jià)。以減余筆五十四除之得五十文，即筆每枝之價(jià)。以三因之，得一百五十文為筆三支之共價(jià)，與硯多四百八十文相加得六百三十文，為硯七方之共價(jià)。以硯七除之，得九十文即硯每一方之價(jià)也。”［11］405

《方程論》“較數(shù)方程例”第一題：

“假如以研七枚，換筆三矢，研多價(jià)四百八十文。若以筆九矢，換研三枚筆，多價(jià)一百八十文。問(wèn)筆研價(jià)各如干。

答曰，筆每矢價(jià)五十文，研每枚價(jià)九十文。

法各列位，先以左行研負(fù)三遍乘右行得數(shù)，次以右行研正七遍乘左行得數(shù)，于是以上研各負(fù)二十一，同名相減盡。次以中筆兩正，同名相減，余五十四為法。再以下價(jià)，左正右負(fù)，異名相并，得二千七百為實(shí)?！杂已衅叱嗟醚袃r(jià)九十。

若先求研價(jià)者，以研列中為除法，以筆列上為乘法。如后圖……以左負(fù)筆九除之得五十為筆價(jià)，或以右研七價(jià)六百三十，與價(jià)四百八十同減余一百五十，以筆三除之亦得筆價(jià)五十?！保?］330

比勘表明，《數(shù)理精蘊(yùn)》在具體表述上稍有改動(dòng)，語(yǔ)言更為精煉。更顯著的差異是，《數(shù)理精蘊(yùn)》只論述了一種消元方法，即“使首數(shù)齊同”，采用順序消元，先消去首數(shù)，后用代入法得出答案。如上題，先消去x（硯），使得方程變?yōu)閗y=b的形式，求得y（筆）價(jià)再代入方程求出x（硯）價(jià)。《方程論》則給出兩種消元方法：先消去x（硯），方程變?yōu)閗y=b的形式，或先消去y（筆），方程變?yōu)閗x=b的形式。即先求y（筆）或先求x（研）價(jià)兩種情況。

就整體表述而言，《數(shù)理精蘊(yùn)》更注重對(duì)計(jì)算過(guò)程及算法的描述，對(duì)運(yùn)算依據(jù)或某些已知概念不做過(guò)多贅述，語(yǔ)言表述更為簡(jiǎn)略?！斗匠陶摗穭t與之相反，因注重對(duì)求解方程方法及理論的闡述，從而詳盡列舉了求解方程的不同消元方法，以明其理，對(duì)論述中所出現(xiàn)的名詞概念、計(jì)算依據(jù)均進(jìn)行了說(shuō)明。例如：“次以中筆兩正，同名相減，余五十四為法。再以下價(jià)，左正右負(fù)，異名相并，得二千七百為實(shí)。以法除實(shí)得五十文為筆價(jià)?！保?］330此段術(shù)文，不僅說(shuō)明了消元過(guò)程及各個(gè)步驟的理論依據(jù)，甚至還詳細(xì)的指出計(jì)算kx=b時(shí)，“法（k）”“實(shí)（b）”均為何數(shù)。

2.3 名稱的變更

雖然《數(shù)理精蘊(yùn)》與《方程論》的分類方式基本一致，但對(duì)于第三類方程，《方程論》稱為“和較相雜方程”，《數(shù)理精蘊(yùn)》則稱為“和較兼用類”。

《方程論》“卷一·正名”中，梅文鼎說(shuō)道：“雜者半有正負(fù)，半無(wú)正負(fù)。如一行云某物、某物各如干，共價(jià)如干；而其一行則又云以某物如干，較某物如干，差價(jià)如干，或價(jià)相當(dāng)，適足者是也?！保?］327意即：和較相雜方程，方程組中有的方程式系數(shù)符號(hào)均為正（和數(shù)方程），有的方程式系數(shù)符號(hào)有正有負(fù)（較數(shù)方程），即方程為和數(shù)方程和較數(shù)方程的綜合。

在此后舉例論述中，對(duì)于“和較相雜方程例”，梅氏又言：“方程之用，以御隱雜，妙在雜與變。知其雜，則雜而不亂矣。知其變則變而不失常矣?！保?］335相雜，乃交相混雜之意。如前文所言，梅文鼎的分類法是依托解方程過(guò)程中的符號(hào)變化規(guī)律，他認(rèn)為方程的妙在于“雜”和“變”。雜，是方程類型的混雜；變，是方程系數(shù)符號(hào)的變化。

《數(shù)理精蘊(yùn)》中，對(duì)“和較兼用類”的描述為：“和較兼用者，和仍不用正負(fù)之號(hào)，而較則用之?！保?1］396兼用，乃并用，共用之意。即此類方程中，同樣包含和數(shù)類和較數(shù)類兩類方程，和數(shù)方程不用正負(fù)號(hào)，而較者則用之。

“相雜”或“兼用”，雖用詞不同，但二者均是對(duì)方程類型的描述，表達(dá)的實(shí)質(zhì)是一致的。若論二者有何不同，筆者認(rèn)為，“相雜”僅表明了此類方程中存在和數(shù)方程與較數(shù)方程兩種形式的方程，“兼用”則在“相雜”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步指明了“和數(shù)方程”和“較數(shù)方程”系數(shù)符號(hào)特征。此外，在《方程論》“發(fā)凡”中，梅文鼎曾論述：“今按方程有和，有較，有兼用和較，有和較交變約法四端?！保?］32《5數(shù)理精蘊(yùn)》中對(duì)方程類型的定名，可能來(lái)源于此。

值得一提的是，梅文鼎按系數(shù)的正負(fù)和消元過(guò)程中系數(shù)符號(hào)變化的分類法自謂已得古方程真諦，實(shí)則是缺乏依據(jù)的。梅氏的分類法不僅有重復(fù)分類的問(wèn)題，而且對(duì)于一般方程不能立刻判斷屬于哪一類?！昂蛿?shù)方程”“較數(shù)方程”“和較相雜方程”，或可從方程的形式，進(jìn)行直觀判斷。而“和較交變方程”，非解之不能得。以今之見(jiàn)，不若“諸本方程”中分類法簡(jiǎn)明，正確［12］。

2.4 表示法的轉(zhuǎn)變

關(guān)于方程的表示法，以前文提到的“較數(shù)類”方程為例說(shuō)明?！斗匠陶摗窞樨Q式（圖1）［13］，《數(shù)理精蘊(yùn)》則為橫式（圖2）［11］405。

由圖1-2 可見(jiàn)，二者所呈現(xiàn)的內(nèi)容是一致的，都是對(duì)消元過(guò)程的表示。相同的是，都沒(méi)有表示未知數(shù)的符號(hào)，未知數(shù)均以物的名稱表示。在具體求解時(shí)，也均采用互乘對(duì)減法進(jìn)行消元。但是在表現(xiàn)形式上卻有較大差異：《方程論》中對(duì)于進(jìn)行互乘對(duì)減運(yùn)算時(shí)，互乘后的得數(shù)，直接用小號(hào)字體在對(duì)應(yīng)項(xiàng)下方寫(xiě)出。其中，在互乘的兩項(xiàng)以及對(duì)減的兩項(xiàng)間分別還附加了連線，對(duì)減后的得數(shù)則寫(xiě)于連線之上。而《數(shù)理精蘊(yùn)》改“豎式”為“橫式”，采用分離系數(shù)法，互乘及對(duì)減后的各得數(shù)依次置于對(duì)應(yīng)項(xiàng)下方。雖然去除了對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間的連線，卻增加一條橫線，使得橫線上方表示“互乘”后的結(jié)果，橫線下方表示“對(duì)減”后的結(jié)果（圖2）。

圖1 《方程論》中的方程表示法Fig.1 Equation representation of Fang Cheng Lun

圖2 《數(shù)理精蘊(yùn)》中的方程表示法Fig.2 Equation representation of Shuli Jingyun

橫線上方第一行與第二行表示初設(shè)方程

第三行與第四行表示互乘“首數(shù)”后產(chǎn)生的“新方程”

橫線下方表示經(jīng)過(guò)互乘對(duì)消，方程轉(zhuǎn)化為“kx=b”的結(jié)果

以分離系數(shù)法表達(dá)“方程”，其形式完全對(duì)應(yīng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中線性方程組的增廣矩陣［14］，相比《方程論》中的表示法，更為直觀清晰。而《數(shù)理精蘊(yùn)》中方程表示法的轉(zhuǎn)變，可能是受“借根方比例”的影響［1］。

3 改寫(xiě)《方程論》原因分析

通過(guò)對(duì)比和分析《數(shù)理精蘊(yùn)》與《方程論》的相應(yīng)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)《數(shù)理精蘊(yùn)》對(duì)《方程論》內(nèi)容的吸收主要集中于“卷一”，即方程的分類及求解問(wèn)題。而關(guān)于方程求解方法的討論，又涉及了“卷三”“卷四”“卷五”中的部分內(nèi)容，對(duì)于“卷二”“卷六”的應(yīng)用問(wèn)題及特殊方程的處理問(wèn)題均未收入。從《方程論》“反復(fù)推論以明其理”的編撰，到《數(shù)理精蘊(yùn)》“取其精華”的改編，既反映了二者成書(shū)理念的差異，也表現(xiàn)出《數(shù)理精蘊(yùn)》的編者對(duì)當(dāng)時(shí)中西知識(shí)的理解與會(huì)通。

關(guān)于“方程”的求解及應(yīng)用問(wèn)題的討論，早在《九章算術(shù)》就設(shè)有專章，如卷八專論“方程”［15］。劉徽在《九章算術(shù)注》中，不僅討論了方程的某些性質(zhì)，而且改進(jìn)了方程解法，提出了方程求解的“新術(shù)”。明朝大量算書(shū)的失傳使得當(dāng)時(shí)的學(xué)者們對(duì)于“方程”的實(shí)質(zhì)已不大清楚。僅流傳的著作，如程大位的《算法統(tǒng)宗》，吳敬的《九章算法比類大全》等書(shū)中雖涉及方程問(wèn)題，但梅文鼎認(rèn)為“諸本方程”存在“殘缺謬誤”，并認(rèn)為當(dāng)時(shí)在中國(guó)的傳教士也“不能正其沿誤”。他認(rèn)為：方程不僅“淵源遠(yuǎn)矣”，而且是最重要的數(shù)學(xué)理論之一，“方程于算術(shù)猶如勾股于量法，皆其最精之事”。因此，為了發(fā)掘古代方程理論的精髓，糾正當(dāng)時(shí)方程著述中存在的謬誤，梅文鼎撰寫(xiě)了《方程論》［4］。書(shū)中列舉了大量的例題，在每題之后不僅有“法”，還有“論”。關(guān)于“論”，梅氏說(shuō)道：“算學(xué)書(shū)有例無(wú)論則不知作法根源，……每卷之首皆有總論以為提綱，然后舉例以實(shí)其說(shuō)。而例中或有疑似之端，仍各有說(shuō)，以反覆申明之。令覽者徹底澄清無(wú)絲毫之凝滯。”［5］325梅氏本人對(duì)此書(shū)也比較滿意，自認(rèn)為是對(duì)發(fā)掘古代方程理論方面的重要成果［16］。通過(guò)自己的“反復(fù)推論”，一方面使讀者明白方程問(wèn)題，另一方面也使“方程”的精髓得以明示。

然而，《數(shù)理精蘊(yùn)》對(duì)于《方程論》的改編，則與《數(shù)理精蘊(yùn)》全書(shū)的體例有關(guān)。總覽全書(shū)，就內(nèi)容而言，是對(duì)當(dāng)時(shí)中西數(shù)學(xué)先進(jìn)理論成果的收編與規(guī)整，表現(xiàn)出更為鮮明的理論特征。就語(yǔ)言表述而言，相較于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作對(duì)計(jì)算方法與過(guò)程描述的抽象性，更具簡(jiǎn)明化、通俗化的特點(diǎn)。

在《數(shù)理精蘊(yùn)》的提要中，有如下論述：

“本下編四十卷，曰分條致用。……皆通貫中西之異同，而辨訂古今之長(zhǎng)短。如舊傳方程分二色為一法，三色為一法，四色五色以上為一法，頭緒紛然。立假如僅可施之本例，不可移至他處。……今則約之，為和數(shù)、較數(shù)、和較兼用、和較交變四例。……以異名相并，同名相減，實(shí)足。正舊傳之訛誤?！保?7］

以上內(nèi)容，吸收了梅文鼎認(rèn)為“諸本方程”存在“訛誤”的論述，借以表明了此書(shū)“通貫中西之異同”。體現(xiàn)出對(duì)于《數(shù)理精蘊(yùn)》的編撰者而言，雖然《方程論》內(nèi)容豐富，包括了理論到應(yīng)用的討論，但核心內(nèi)容或“精華”內(nèi)容則是對(duì)方程分類及其求解方法的討論。鑒于此，一方面為了展現(xiàn)理論化的特點(diǎn)，另一方面為了“辨訂古今之長(zhǎng)短”，《數(shù)理精蘊(yùn)》對(duì)《方程論》采取了“取其精華”的改編方式。首先，對(duì)內(nèi)容進(jìn)行刪減，僅選取《方程論》“精華”內(nèi)容，省略了對(duì)特殊問(wèn)題及應(yīng)用問(wèn)題的討論。其次，精簡(jiǎn)語(yǔ)言表述，對(duì)于相應(yīng)的理論依據(jù)不再贅述，對(duì)方程的求解過(guò)程也不再“舉一反三”，反復(fù)推論。最后，受西方著作的影響，對(duì)方程的表示法由“豎式”改為“橫式”，更為直觀形象。

4 結(jié)語(yǔ)

如上所述，《方程論》是《數(shù)理精蘊(yùn)》“方程”內(nèi)容的主要取材來(lái)源。因《數(shù)理精蘊(yùn)》整體成書(shū)體例和編撰理念的影響，將《方程論》六卷內(nèi)容刪減取舍，同時(shí)，在語(yǔ)言表述、方程名稱、題目設(shè)定、方程表示及術(shù)文起首方式等方面作了改動(dòng)，使《數(shù)理精蘊(yùn)》所呈現(xiàn)的“方程”內(nèi)容，更具基礎(chǔ)性和理論性。《數(shù)理精蘊(yùn)》對(duì)《方程論》的吸收及精簡(jiǎn)，一方面，展現(xiàn)了《數(shù)理精蘊(yùn)》在編撰過(guò)程對(duì)梅文鼎算學(xué)成果的繼承與發(fā)揮。如日本學(xué)者橋本敬造所言“《數(shù)理精蘊(yùn)》能夠如實(shí)的反應(yīng)梅氏的工作，通過(guò)它使梅文鼎的數(shù)學(xué)滲透給了后代數(shù)學(xué)家”［18］。另一方面，也體現(xiàn)了當(dāng)時(shí)學(xué)者對(duì)中西數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與感悟，“會(huì)通中西”的思想也深蘊(yùn)其中。