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      配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用

      2022-11-25 11:30:33江蘇省泰興市洋思中學(xué)戴曉峰
      中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
      關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓題設(shè)靈活運(yùn)用

      ?江蘇省泰興市洋思中學(xué) 戴曉峰

      1 引言

      在初中數(shù)學(xué)中,配方法是一種能夠靈活運(yùn)用、十分重要且有效的解題思想和方法.它常見(jiàn)于各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答之中,現(xiàn)將其常見(jiàn)的解題思路與方法歸類解析如下.

      2 配方法在各類題型中的靈活運(yùn)用

      2.1 在代數(shù)式運(yùn)算中的運(yùn)用

      例1已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x=6-y,z2=xy-9,試求x,y,z的值.

      解:把x=6-y代入z2=xy-9中,得

      z2=(6-y)y-9=-(y-3)2,即

      z2+(y-3)2=0 ①

      因?yàn)閥,z是實(shí)數(shù),所以z2≥0,(y-3)2≥0.

      欲使①式成立,則z=0,y=3,此時(shí)x=3.

      故x=y=3,z=0.

      思路與方法:本題的題設(shè)條件中等式只有2個(gè),而未知元卻有3個(gè),要想求出這三個(gè)未知量,還應(yīng)挖掘條件中等式隱含的某種特殊關(guān)系,這就需要運(yùn)用配方法,例如通過(guò)把x=6-y代入z2=xy-9中,再化為z2+(y-3)2=0,這樣就等于消去了一個(gè)未知元x,達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的.

      故由x2+1 504xy+y2=(x+y)2+1 502xy=(4n+2)2+1 502=1 986,解得n=5.

      思路與方法:通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),題設(shè)條件中,x與y互為倒數(shù),容易求出x+y和xy的值;再將要求的等式左邊利用配方法變化成含x+y和xy的形式,即可輕松求解.

      2.2 在解方程中的運(yùn)用

      經(jīng)檢驗(yàn),x=1,y=2,z=3是原方程的解.

      2.3 在函數(shù)中的運(yùn)用

      例5求函數(shù)y=x4+x2+1的最小值.

      解:y=x4+x2+1=(x2)2+x2+1

      即y=2x2+6x+4.

      2.4 在平面幾何中的運(yùn)用

      例7如圖1,在△ABC中,∠A+∠C=2∠B,其中最大邊與最小邊分別是方程3x(x-9)+32=0的兩根,求△ABC的內(nèi)切圓面積.

      圖1

      解:因?yàn)椤螦+∠C=2∠B,所以3∠B=180°,即∠B=60°.因?yàn)槿切沃凶畲蠼遣恍∮?0°,最小角不大于60°,而∠B=60°,所以∠B必是最大邊與最小邊的夾角.

      思路與方法:本題如果采用常規(guī)方法,通過(guò)求解方程的兩根來(lái)計(jì)算內(nèi)切圓的面積,運(yùn)算會(huì)非常繁瑣,所以另辟蹊徑,巧用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及配方法[2],則計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷多了.

      例8已知,a,b,c,d皆為正數(shù),且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd.

      求證:以a,b,c,d為邊的四邊形為菱形.

      證明:將條件式變形為a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0.

      即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.

      所以a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0.

      解得a=b=c=d.

      所以,以a,b,c,d為邊的四邊形為菱形.

      思路與方法:證明本題的主要技巧在于利用完全平方公式將條件式配方變形,只需要證明a=b=c=d即可.

      2.5 在根式運(yùn)算中的運(yùn)用

      思路與方法:本題利用配方法,將根式中的代數(shù)式配成完全平方式以便求其算術(shù)平分根,其中將x改寫成x-1+1的形式是解題的關(guān)鍵.

      3 結(jié)論

      從上述典型例題思路與方法的解析中可以看出,靈活運(yùn)用配方法解題,關(guān)鍵是要在儲(chǔ)備大量基礎(chǔ)知識(shí)、能嫻熟運(yùn)用相關(guān)公式、定理、性質(zhì)的基礎(chǔ)上,有目的地去“變形配方”,充分運(yùn)用發(fā)散思維,多角度思考、多途徑嘗試、多聯(lián)想、多分析、多訓(xùn)練,從中尋找、挖掘條件之間、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.長(zhǎng)此以往,堅(jiān)持訓(xùn)練,一定能夠提高綜合解題能力.

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