陳益萍

江蘇省南通市通州區(qū)姜灶中學(xué) 226300

數(shù)學(xué)概念包括了數(shù)學(xué)中的定理、法則、公式等等，是數(shù)量關(guān)系和空間形式在人腦中的一種本質(zhì)反映.掌握數(shù)學(xué)概念的重要性不言而喻，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能都要以掌握數(shù)學(xué)概念為前提，但是究竟如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要求學(xué)生記憶就可以了嗎？在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生靠記憶數(shù)學(xué)概念而沒有理解其內(nèi)涵會(huì)嚴(yán)重制約數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，更談不上提升數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).本文以“一元二次方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，與大家探討如何進(jìn)行概念教學(xué).

原教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激趣導(dǎo)入

有一張長(zhǎng)30 cm，寬20 cm的矩形紙片，在它的四個(gè)角各切去一個(gè)同樣大小的正方形，然后把四周剩下突出的部分折起來，就能制作成一個(gè)無(wú)蓋的紙盒.若制作的無(wú)蓋紙盒的底面積是100 cm2，那么你知道裁掉的四個(gè)角的正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？

（二）合作探究

1.觀察整理后的方程，思考：

（1）新列的方程與以前學(xué)過的方程有什么不同之處？

（2）怎樣給這個(gè)新列的方程下定義？

2.歸納概念

定義：當(dāng)一個(gè)等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且這個(gè)未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫一元二次方程.

3.練習(xí)鞏固：下列方程中哪些是一元二次方程？

（1）3x+2=0；（2）y2=1；（3）x－+1=0；（4）x2+x=x2+1；（5）3x2=5x－1；（6）ax2+2x+3=0.

4.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）.

（1）為什么a不能等于0？

（2）如何定義一次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)，二次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)？

（三）舉例示范，感悟升華

案例：將方程3x（x－1）=5（x+2）轉(zhuǎn)化為一般形式的一元二次方程，并分別寫出其中的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

練習(xí)鞏固：將下列一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式，并分別寫出其中的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

（1）3x（x－1）=5（x－2）；（2）x2=2；

（3）x（3－x）=0.

（四）思維拓展

當(dāng)k分別滿足什么條件時(shí)，方程（k2－1）x2－（k+1）x－4=0（1）是一元一次方程；（2）是一元二次方程？

反思建議

這是一節(jié)講授一元二次方程及其概念的數(shù)學(xué)概念課，總體的教學(xué)設(shè)計(jì)框架非常清晰，邏輯也非常清楚，但是節(jié)奏過快，每一環(huán)節(jié)只是點(diǎn)到為止，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果不佳.

1.定義概念過快

學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程，那么兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么，教學(xué)設(shè)計(jì)中采用學(xué)生自主探究的方式進(jìn)行，這是比較好的方式.但是比較的過程不是一蹴而就的，應(yīng)該通過多樣的例子讓學(xué)生找出其相同點(diǎn)和不同點(diǎn)進(jìn)行歸納，而上述教案中只通過一個(gè)例子，就直接得出一元二次方程的概念，很明顯是不夠的.這樣的概念定義其實(shí)是強(qiáng)行塞給學(xué)生的，學(xué)生并未真正理解，只是有了一個(gè)模糊的認(rèn)識(shí).

2.解讀概念過快

教學(xué)中對(duì)于什么是一元二次方程，教案沒有進(jìn)行細(xì)致的解讀，僅僅只是解釋了最基本的一元二次方程的概念和特征，對(duì)于其外延沒有講解，那么學(xué)生自己在認(rèn)知的時(shí)候很明顯會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤.一元二次方程除了其本質(zhì)的“二次”需要注意，還要注意它的一些特殊形式，這樣學(xué)生在遇到特殊的一元二次方程時(shí)才能進(jìn)行辨析，如需要列舉一元二次方程的四種形式：

ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，且a≠0，b≠0，c≠0）；

ax2+bx=0（a、b是常數(shù)，且a≠0，b≠0）；

ax2+c=0（a、c是常數(shù)，且a≠0，c≠0）；

ax2=0（a是常數(shù)，且a≠0）.

由于教案中沒有將一元二次方程的所有形式進(jìn)行列舉和講解，學(xué)生對(duì)于一元二次方程的概念的認(rèn)知肯定是不全的，也就影響了后面進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí).

3.辨析概念過快

新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，第一印象往往是最深刻的，所以才會(huì)有做題時(shí)一錯(cuò)再錯(cuò)的現(xiàn)象，形成第一印象再糾正就變得非常困難，所以在一開始就形成正確的認(rèn)識(shí)非常重要.教案中當(dāng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念之后，首先設(shè)計(jì)的練習(xí)環(huán)節(jié)是判斷題，這實(shí)際上容易讓學(xué)生產(chǎn)生誤區(qū)，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)還不夠牢固，一下子進(jìn)行辨認(rèn)非常困難，反而容易造成錯(cuò)誤的印象.學(xué)習(xí)完概念之后的鞏固練習(xí)可以安排一元二次方程的運(yùn)用，強(qiáng)化正確概念，達(dá)到正向遷移，鞏固概念.

4.運(yùn)用概念太快

初步認(rèn)識(shí)概念之后，運(yùn)用概念可以進(jìn)一步鞏固對(duì)概念的理解，但是學(xué)生在本課的重點(diǎn)是理解一元二次方程的概念，至于運(yùn)用一元二次方程解決問題應(yīng)該放到下一節(jié)課，本課過多地講解應(yīng)用并拓展，偏離了本課的核心目標(biāo)，不僅達(dá)不到鞏固知識(shí)的目的，反而會(huì)弱化學(xué)生對(duì)概念的理解.一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，教師可以聯(lián)系生活，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

完善后的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激趣導(dǎo)入

1.有一張長(zhǎng)30 cm，寬20 cm的矩形紙片，在它的四個(gè)角各切去一個(gè)同樣大小的正方形，然后把四周剩下突出的部分折起來，就能制作成一個(gè)無(wú)蓋的紙盒.若制作的無(wú)蓋紙盒的底面積是100 cm2，那么你知道裁掉的四個(gè)角的正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為x cm，可以列方程為_____________.

2.2020年新年的時(shí)候，八年級(jí)（4）班的同學(xué)互相贈(zèng)送賀卡（每名同學(xué)向其他同學(xué)各贈(zèng)送一張），一共贈(zèng)送賀卡45張.設(shè)八年級(jí)（4）班共有x名同學(xué)，可以列方程為_______________.

3.將一根長(zhǎng)為28 m的帶子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，若要求圍成的長(zhǎng)方形的面積是32 m2.設(shè)一邊長(zhǎng)為x m，可以列方程為________________.

（二）合作交流，探究新知

1.觀察整理后的方程，探究：

（1）剛剛列的方程與之前學(xué)過的一元一次方程有什么不同點(diǎn)？

（2）怎樣給新的方程下定義？

2.歸納概念

（1）一元二次方程的基本概念和一般形式是什么？

（2）一元二次方程有什么基本特征？

（3）一元二次方程的基本形式是怎樣的？

思考：①為什么要規(guī)定a≠0？

②分別說一說一次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)，二次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)是什么.

（4）請(qǐng)你根據(jù)定義，寫一寫一元二次方程有哪些基本形式.

①若b≠0，c=0；②若b=0，c≠0；③若b=c=0.

（三）引領(lǐng)示范，感悟新知

案例：將方程3x（x－1）=5（x+2）轉(zhuǎn)化為一般形式的一元二次方程.

練習(xí)鞏固：將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式.

（1）3x（x－1）=5（x－2）；（2）x2=2；（3）x（3－x）=0.

（四）鞏固拓展，運(yùn)用新知

練習(xí)鞏固：1.根據(jù)問題列方程，并將所列方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式.

（1）若有4個(gè)完全相同的正方形，它們的面積之和為25，請(qǐng)問正方形的邊長(zhǎng)是多少？

（2）有一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差3 cm，這個(gè)直角三角形的面積是9 cm2，請(qǐng)問這個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的那條直角邊長(zhǎng)多少？

（3）班級(jí)活動(dòng)中，每位同學(xué)和全班其他同學(xué)搭檔組合一次，一共組合了55次，請(qǐng)問這個(gè)班有多少人？

2.請(qǐng)問下列哪些數(shù)是方程x2+x－12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)不是匆匆忙忙地完成幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)就達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，完成了教學(xué)任務(wù)，教學(xué)中要思考學(xué)生的需求是什么，學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是什么，學(xué)生感興趣的是什么，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的作用是什么.當(dāng)教師多去從學(xué)生的角度思考問題，自然我們就可以把教學(xué)的腳步放得慢一點(diǎn)，不會(huì)埋怨學(xué)生沒有跟上教師的步伐，可以師生同步，更好地實(shí)現(xiàn)互動(dòng)課堂，共同遨游在知識(shí)的海洋.

教學(xué)中的“慢工出細(xì)活”不是浪費(fèi)時(shí)間，恰恰是教師對(duì)教學(xué)的精細(xì)推敲和深入研究所展現(xiàn)出的嫻熟的教學(xué)基本功.教學(xué)中的“慢”是教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)對(duì)課堂節(jié)奏的精準(zhǔn)把控，在需要深入探究的教學(xué)環(huán)節(jié)“慢一點(diǎn)”，可以讓學(xué)生真正理解知識(shí)，通過對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)技能的運(yùn)用和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟.

總之，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不能急躁和激進(jìn)，教師要給學(xué)生保留足夠的思考空間和時(shí)間，讓學(xué)生真正感受學(xué)習(xí)正在發(fā)生，去主動(dòng)探究和交流合作，提升思維能力.讓我們的教學(xué)活動(dòng)慢一點(diǎn)、細(xì)一點(diǎn)、實(shí)一點(diǎn)，通過學(xué)習(xí)感受數(shù)學(xué)之美，體會(huì)數(shù)學(xué)之神奇，在慢節(jié)奏的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).