考慮摩擦耗能的橋梁盆式橡膠支座三維有限單元構(gòu)建

魏思聰，李鵬飛，董振華，梅 波，羅吉慶

(1.交通運(yùn)輸部公路科學(xué)研究院，北京 100088；2.廣東省公路建設(shè)有限公司，廣東 東莞 510660)

0 引言

滑動(dòng)型橋梁支座相較于傳統(tǒng)鋼鉸支座，有可動(dòng)性好、耐久性高的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外各類公路橋梁結(jié)構(gòu)中。其中，盆式橡膠橋梁支座是滑動(dòng)型橋梁支座的代表之一?，F(xiàn)代盆式橡膠支座的滑動(dòng)面上通常有聚四氟乙烯(PTFE)涂層，此類盆式橡膠支座被稱為聚四氟乙烯盆式橡膠支座。聚四氟乙烯化學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定，是一種優(yōu)秀的工程材料，特別是在與金屬材料相互摩擦?xí)r，聚四氟乙烯-金屬摩擦面上的摩擦系數(shù)小于金屬-金屬摩擦面。所以，支座滑動(dòng)面上的聚四氟乙烯涂層可以減小支座損耗，提升支座耐久性。

在橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，支座滑動(dòng)面一般被認(rèn)為是光滑面，而支座摩擦則被包含進(jìn)結(jié)構(gòu)阻尼中，通過(guò)設(shè)置結(jié)構(gòu)阻尼比予以考慮。一些精細(xì)化橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析則采用Coulomb摩擦模型模擬支座摩擦。隨著對(duì)摩擦力學(xué)的深入研究，很多學(xué)者指出，鋼-聚四氟乙烯界面的摩擦機(jī)理與Coulomb摩擦模型所表征的線性摩擦存在較大差異，前者的動(dòng)摩擦系數(shù)并非是一個(gè)由界面材料特性確定的常數(shù)，而是隨滑動(dòng)速度和界面正壓力變化而變化，即存在明顯的速變和壓變特征，體現(xiàn)出較大的非線性[1]。

在滑動(dòng)加速度較小和界面正壓力較穩(wěn)定時(shí)，鋼-聚四氟乙烯界面摩擦可以采用Coulomb摩擦模型表征。但在車輛通過(guò)引發(fā)振動(dòng)、風(fēng)振、地震等公路橋梁振動(dòng)場(chǎng)景中，鋼-聚四氟乙烯界面摩擦的非線性特征對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)影響較大，應(yīng)當(dāng)予以考慮。同時(shí)，隨著對(duì)橋梁支座摩擦研究的深入，部分學(xué)者發(fā)現(xiàn)橋梁支座摩擦對(duì)橋梁自振頻率、結(jié)構(gòu)阻尼等振動(dòng)特性有顯著影響[2]。李愛(ài)麗、高日[3]，魏標(biāo)、劉義偉、蔣麗忠等[4]進(jìn)行不同支座類型橋梁的地震響應(yīng)分析，討論了支座摩擦對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。王常峰、朱春林、陳興沖[5]對(duì)活動(dòng)支座摩擦作用對(duì)橋梁彈塑性地震方向的影響進(jìn)行了數(shù)值模擬研究。

隨著隔振器、阻尼器等減振技術(shù)發(fā)展以及材料科學(xué)進(jìn)步，很多學(xué)者致力于應(yīng)用非線性數(shù)學(xué)模型描述振動(dòng)能量耗散的物理過(guò)程，其中就包括滑動(dòng)摩擦耗能。Mokha和Constantinou等[1]提出了鋼-聚四氟乙烯界面滑動(dòng)摩擦系數(shù)的計(jì)算方法，并應(yīng)用改進(jìn)的Bouc-Wen模型，模擬聚四氟乙烯基礎(chǔ)隔振器的動(dòng)力摩擦響應(yīng)，其成果被廣泛應(yīng)用。張文芳、程文瀼[6]考慮了滑動(dòng)速度對(duì)動(dòng)摩擦系數(shù)的影響，提出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式。劉少波、李愛(ài)群[7]對(duì)泡沫鋁-聚氨酯復(fù)合材料摩擦阻尼器進(jìn)行了試驗(yàn)研究，并應(yīng)用修正的Bouc-Wen模型模擬了試驗(yàn)所得的摩擦滯回曲線。李悅、紀(jì)夢(mèng)為、李沖[8]就溫度對(duì)板式橡膠支座摩擦滑移性能的影響進(jìn)行了有限元模擬分析，提出了滑動(dòng)摩擦耗能與環(huán)境溫度間的關(guān)系。Lomiento等[9]研究了地震激勵(lì)下滑動(dòng)支座的摩擦模型。

圖1 盆式橡膠支座半剖面圖

以上研究富有成效，從不同方面豐富完善了支座摩擦理論，加深了關(guān)于支座摩擦對(duì)橋梁動(dòng)力響應(yīng)影響的理解。但由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中考慮支座摩擦效應(yīng)所涉及因素較多，計(jì)算難度較大，如何充分考慮支座摩擦的速變、壓變等非線性特征，以及在工程實(shí)踐中，有效考慮支座摩擦對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的影響，仍需進(jìn)一步研究。

本研究基于Bouc-Wen滯回模型和以往對(duì)鋼-聚四氟乙烯(PTFE)界面摩擦機(jī)理的研究及相關(guān)摩擦試驗(yàn)數(shù)據(jù)，針對(duì)公路橋梁振動(dòng)場(chǎng)景，對(duì)盆式支座的滑動(dòng)摩擦進(jìn)行分析，構(gòu)建了一套完整描述橋梁盆式支座任意方向滑動(dòng)摩擦的數(shù)學(xué)模型，并基于該數(shù)學(xué)模型，開(kāi)發(fā)了一種適用于橋梁有限元?jiǎng)恿Ψ治龅娜S盆式支座有限單元。

1 盆式橡膠支座鋼-聚四氟乙烯滑動(dòng)面摩擦機(jī)理

以往摩擦試驗(yàn)顯示[1，10-11]，鋼-聚四氟乙烯滑動(dòng)面上的滑動(dòng)摩擦存在兩個(gè)階段：相對(duì)滑動(dòng)發(fā)生前的靜摩擦和相對(duì)滑動(dòng)發(fā)生后的動(dòng)摩擦。相對(duì)滑動(dòng)發(fā)生前，界面處于固結(jié)狀態(tài)(靜摩擦)，靜摩擦力隨外力增大而增大，直至達(dá)到靜摩擦極限Fs,max=μs,maxN，μs,max為最大靜摩擦系數(shù)，由界面性質(zhì)決定。隨后，靜摩擦力被克服，界面進(jìn)入滑動(dòng)狀態(tài)(動(dòng)摩擦)，滑動(dòng)摩擦力Fk=μkN，μk為滑動(dòng)摩擦系數(shù)。這一過(guò)程被稱為“固結(jié)-滑動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變 (stick-slip transition)”。

Mokha和Constantinou等學(xué)者的早期試驗(yàn)研究顯示[1]，鋼-聚四氟乙烯滑動(dòng)面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)并非如Coulomb摩擦理論所假設(shè)，在滑動(dòng)過(guò)程中為恒定常數(shù)，而是具有速變性和壓變性的特點(diǎn)。Constantinou等提出，滑動(dòng)摩擦系數(shù)可表示為如式(1)所示的速度的函數(shù)：

(1)

式(1)并未體現(xiàn)出滑動(dòng)摩擦系數(shù)的壓變性特點(diǎn)，Constantinou等[1]給出了4種壓力條件下，μmax，μmin和α的取值，如表1所示。

表1 不同壓力下μmax，μmin和α的取值

作用在支座頂部的壓力隨橋梁豎向振動(dòng)而連續(xù)變化，這種參數(shù)取值方法，顯然，無(wú)法滿足橋梁振動(dòng)時(shí)任意時(shí)刻的摩擦系數(shù)計(jì)算。本研究對(duì)表1數(shù)據(jù)，采用壓力p的對(duì)數(shù)函數(shù)和二次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行擬合，得到式(2)參數(shù)取值的連續(xù)表達(dá)式，具體擬合過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn) [12]。

μmax=-0.033 27ln(p)+0.178 2，μmax=-0.009 356ln(p)+0.043 62，α=-2.39×10-5p2+0.001 2p+0.015。

(2)

2 盆式橡膠支座三維有限單元構(gòu)建

2.1 盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型

2.1.1 Bouc-Wen滯回模型與鋼-聚四氟乙烯界面摩擦固結(jié)-滑動(dòng)轉(zhuǎn)變過(guò)程模擬

Bouc-Wen滯回模型是一種常用的描述黏彈性材料滯回曲線的模型，由Bouc[13]首先提出并由Wen[14]在隨機(jī)振動(dòng)和滯回現(xiàn)象分析中拓展和應(yīng)用。該模型描述恢復(fù)力Fr和變形u之間存在以下黏彈性關(guān)系：

Fr=ak0u+(1-a)Dk0z,

(3)

式中，k0為材料初始(彈性)剛度；a=ky/k0為材料完全屈服后剛度；ky為與初始剛度的比值；D為變形屈服極限，z被稱為滯回參數(shù)。其值由以下微分方程確定：

(4)

(5)

Bouc-Wen滯回模型可由以下示例解釋，如圖2所示，材料完全屈服后，總恢復(fù)力Fr,1可表示為：

圖2 Bouc-Wen滯回模型的力-位移關(guān)系曲線

Fr,1=kyu1+Fy-kyD，

(6)

式中，u1為材料完全屈服時(shí)的變形；Fy為材料的屈服極限力;Fy=k0D。記ky為k0的線性函數(shù)，即ky=ak0，式(6)可寫(xiě)為：

Fr=ak0u1+(1-a)Dk0。

(7)

比較式(3)和(7)可以發(fā)現(xiàn)，滯回參數(shù)z取值±1時(shí)，材料進(jìn)入完全屈服狀態(tài)。而|z|<1時(shí)，材料處于由線彈性狀態(tài)向完全屈服狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過(guò)程中。因此，滯回參數(shù)z可以被視為一個(gè)狀態(tài)控制參數(shù)，z的取值確定了材料處于何種工作狀態(tài)，以及材料展現(xiàn)出何種變形方式。

鋼-聚四氟乙烯界面摩擦在發(fā)生界面相對(duì)滑動(dòng)前，需要克服最大靜摩擦力，由固結(jié)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榛瑒?dòng)狀態(tài)。這一過(guò)程在考慮支座摩擦的橋梁振動(dòng)分析中起到控制性作用。如果采用Coulomb摩擦模型考慮這一過(guò)程，則需要建立一個(gè)分段函數(shù)，將滑動(dòng)力和最大靜摩擦力的比值作為判定條件，確定支座界面是否發(fā)生滑動(dòng)，如圖3(a)所示。當(dāng)橋梁振動(dòng)分析中自由度較多，支座滑動(dòng)方向不確定時(shí)，Coulomb摩擦模型需要不斷判定界面是否發(fā)生滑動(dòng)，將增加數(shù)值計(jì)算量，并造成收斂困難。同時(shí)，在經(jīng)典Coulomb模型中，支座固結(jié)-滑動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變是發(fā)生在一瞬間的，無(wú)法模擬盆式橡膠支座發(fā)生宏觀相對(duì)滑動(dòng)前，由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形而產(chǎn)生的鋼-聚四氟乙烯界面微小相對(duì)位移[1]。

為解決Coulomb摩擦模型在鋼-聚四氟乙烯界面摩擦模擬中存在的上述問(wèn)題，考慮Bouc-Wen滯回模型中滯回參數(shù)z具有狀態(tài)控制的特點(diǎn)，本研究采用Bouc-Wen滯回模型參數(shù)z實(shí)現(xiàn)摩擦界面的固結(jié)-滑動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變控制。同時(shí)，由于參數(shù)取值z(mì)是連續(xù)的，通過(guò)調(diào)整式(3)參數(shù)D的取值，可以較好地模擬出盆式橡膠支座發(fā)生宏觀相對(duì)滑動(dòng)前，由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形而產(chǎn)生的鋼-聚四氟乙烯界面微小相對(duì)位移。

2.1.2 基于拓展Bouc-Wen滯回模型的盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

以動(dòng)摩擦力Ff,k=μkN代替Bouc-Wen模型中的屈服極限力Fy，得到下式：

μkpAPTFE=k0D，

(8)

式中，p為均勻作用在鋼-聚四氟乙烯界面上的壓強(qiáng)；APTFE為鋼-聚四氟乙烯界面面積。對(duì)于鋼-聚四氟乙烯界面，μk的取值由式(1)，(2)確定。

將式(8)代入式(3)，設(shè)a=0，則Bouc-Wen滯回模型可以用于從數(shù)學(xué)上表征鋼-聚四氟乙烯界面的滑動(dòng)摩擦，本研究稱為拓展Bouc-Wen滯回模型，如下式：

Fr=μkpAPTFEz。

(9)

由式(8)可知，變形屈服極限D(zhuǎn)可寫(xiě)為：

(10)

根據(jù)Bouc-Wen滯回模型中變形屈服極限D(zhuǎn)的定義和鋼-聚四氟乙烯界面發(fā)生宏觀相對(duì)滑動(dòng)的瞬間力學(xué)平衡條件可以推出，在拓展Bouc-Wen模型中，D是滑動(dòng)前因聚四氟乙烯層剪切變形而產(chǎn)生的鋼-聚四氟乙烯界面微小相對(duì)位移，通常取值為0.13～0.5 mm[1]，k0為聚四氟乙烯層的抗剪剛度。

當(dāng)動(dòng)摩擦系數(shù)μk為常量，且k0取值足夠大，D取值足夠小時(shí)，式(9)所示的拓展Bouc-Wen滯回模型與Coulomb摩擦模型相近，如圖3所示。

圖3 Coulomb摩擦模型和拓展Bouc-Wen滯回模型的摩擦力-位移關(guān)系曲線

滯回參數(shù)z控制鋼-聚四氟乙烯界面的狀態(tài)。當(dāng)界面發(fā)生宏觀相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，|z|=1，對(duì)應(yīng)Bouc-Wen滯回模型中的材料進(jìn)入完全屈服狀態(tài)；當(dāng)界面沒(méi)有發(fā)生宏觀相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，|z|<1，對(duì)應(yīng)Bouc-Wen滯回模型中材料由線彈性狀態(tài)向完全屈服狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過(guò)程。

2.1.3 盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型在滑動(dòng)平面內(nèi)的任意方向上的應(yīng)用

式(9)所示的盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型僅適用于方向確定的單向滑動(dòng)，而實(shí)際公路橋梁中使用的多向盆式橡膠支座頂板可以向平面內(nèi)的任意方向滑動(dòng)。因此，需要將式(9)所示數(shù)學(xué)模型從線運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展為面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，用以表征盆式橡膠支座頂板在平面內(nèi)任意方向滑動(dòng)時(shí)的摩擦力和滑動(dòng)位移。

建立平面內(nèi)正交坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系內(nèi)，平面內(nèi)任意方向滑動(dòng)可由2個(gè)沿坐標(biāo)軸方向正交的位移自由度表征，如圖4所示。

圖4 平面內(nèi)任意方向滑動(dòng)

Park等[15]和Mosqueda等[16]將Bouc-Wen滯回模型的應(yīng)用范圍從單向運(yùn)動(dòng)拓展到平面內(nèi)正交的雙向運(yùn)動(dòng)。平面內(nèi)正交的雙向運(yùn)動(dòng)條件下的滯回曲線可以由如式(11)的微分方程組描述：

(11)

式(11)也可以寫(xiě)為如下矩陣形式：

(12)

在如圖4所示，對(duì)于盆式橡膠支座滑動(dòng)平面內(nèi)任意方向的滑動(dòng)，其任意時(shí)刻滑動(dòng)方向與x軸的夾角為θ，則其運(yùn)動(dòng)變量在2個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為：

(13)

(14)

將式(4)中的參數(shù)n取值2，即得到式(14)。式(11)和(14)說(shuō)明，平面內(nèi)正交的雙向運(yùn)動(dòng)條件下的滯回曲線可由任意時(shí)刻滑動(dòng)方向上的滯回參數(shù)和合速度描述。

當(dāng)盆式橡膠支座處于滑動(dòng)狀態(tài)下，且x和z方向上的速度分量均不為0時(shí)，滯回參數(shù)zx和zz取其最大值即1，則下式成立：

(15)

則式(11)可寫(xiě)為一下微分方程組：

(16)

zx=cosθ,

zz=sinθ。

(17)

由式(9)和式(17)可知，x和z方向上的滑動(dòng)摩擦力分量為：

Ff,x=μkpAPTFEzx,Ff,z=μkpAPTFEzz。

(18)

Ff=μkpAPTFEz。

(19)

由式(11),(18)和(19)組成的方程組，即為平面內(nèi)任意方向上的盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型。

2.2 盆式橡膠支座三維有限單元

2.2.1 單自由度體系盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解

對(duì)于僅有1個(gè)滑動(dòng)自由度的盆式橡膠支座，其恢復(fù)力(即滑動(dòng)摩擦力)的方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，起阻礙滑動(dòng)的作用。應(yīng)用2.1.2節(jié)推導(dǎo)的拓展Bouc-Wen滯回模型計(jì)算滑動(dòng)摩擦力，則單自由度盆式橡膠支座滑動(dòng)方向上的運(yùn)動(dòng)方程為：

(20)

式中，m和c分別為盆式橡膠支座頂板的質(zhì)量和滑動(dòng)方向上的阻尼；F(t)為外力。聯(lián)立式(4)和式(20)，得到下列矩陣形式的微分方程組：

(21)

(1)隱示解法

(22)

式(22)可寫(xiě)為以下形式：

(23)

式中，w是變量u，v和z組成的向量，w=[u,v,z]T；f(w,t)為w關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。式(23)所示形式通常被稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

采用Crank-Nicolson有限差分法對(duì)式(23)進(jìn)行離散。時(shí)間步長(zhǎng)為Δt，任意時(shí)刻ti和ti+1間，式(23)可寫(xiě)為：

(24)

將式(24)寫(xiě)為ti+1時(shí)刻的求根函數(shù)形式，即求解使F(wi+1)=0的wi+1值。

(25)

采用Newton-Raphson法求解式(25)，每個(gè)時(shí)間步內(nèi)的求解迭代如式(26)～(28)所示：

Jδw=-F(w-)，

(26)

δw=-F(w-)J-1，

(27)

(28)

式中，w-為每次迭代中函數(shù)F(wi+1)的根；J是函數(shù)F(wi+1)的雅可比矩陣；δw是w-在每次迭代中的增量。

通過(guò)以上方法求解狀態(tài)空間表達(dá)式(23)，即可得到任意時(shí)刻盆式橡膠支座頂板的滑動(dòng)和摩擦狀態(tài)。

(2)顯式解法

目前，橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析通常使用已成熟的商業(yè)有限元軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，此類軟件一般預(yù)留了用戶自定義有限單元接口。將盆式橡膠支座作為一個(gè)用戶自定義有限單元，在有限元建模中應(yīng)用，相比于采用上述隱式解法同時(shí)求解運(yùn)動(dòng)方程和盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型，具備更大的適用范圍。

在顯式解法中，將滯回參數(shù)z作為任意時(shí)刻t時(shí)，方程式(4)的唯一變量。此時(shí)方程式(4)由二元一階微分方程變?yōu)橐辉浑A微分方程。

采用Euler差分法對(duì)式(4)進(jìn)行離散，得到式(29)：

(29)

將式(29)ti+1寫(xiě)為ti+1時(shí)刻的求根函數(shù)形式，即求解使F(zi+1)=0的zi+1值。

(30)

采用Newton-Raphson法求解式(30)，每個(gè)時(shí)間步內(nèi)的求解迭代如式(31)～(33)所示：

F′(z-)δz=-F(z-)，

(31)

(32)

(33)

通過(guò)以上方法求解式(4)可得到任意時(shí)刻的滯回參數(shù)z，再應(yīng)用常規(guī)數(shù)值方法求解式(20)所示單元運(yùn)動(dòng)方程，得到運(yùn)動(dòng)變量，求解過(guò)程不再累述。由此即可確定任意時(shí)刻盆式橡膠支座頂板任意方向滑動(dòng)的位移和摩擦狀態(tài)。

2.2.2 盆式橡膠支座三維有限單元構(gòu)建

(1)假設(shè)和簡(jiǎn)化

在構(gòu)建盆式橡膠支座三維有限單元過(guò)程中，本研究做出以下假設(shè)和簡(jiǎn)化：

①由于盆式橡膠支座的幾何尺寸相較于橋梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸很小，因此忽略盆式橡膠支座的幾何尺寸和形狀，僅將支座視為由2個(gè)節(jié)點(diǎn)連接而成的1個(gè)單元。

②忽略盆式橡膠支座鋼-聚四氟乙烯界面的不均勻性，假設(shè)此界面的材料均勻且各向同性，則支座的摩擦力大小與滑動(dòng)方向無(wú)關(guān)。

③忽略支座磨損和支座接觸溫度變化對(duì)摩擦的影響。

④由于在正常使用極限狀態(tài)下，支座滑動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)通常較小，因此假設(shè)橋梁上部結(jié)構(gòu)壓力均勻作用在鋼-聚四氟乙烯界面上，忽略支座滑動(dòng)造成的上部結(jié)構(gòu)偏心壓力。

(2)盆式橡膠支座有限單元

盆式橡膠支座三維有限單元由2個(gè)節(jié)點(diǎn)連接而成，分別模擬盆式橡膠支座的頂板和底板，如圖5所示。兩節(jié)點(diǎn)間相對(duì)滑動(dòng)由盆式橡膠支座摩擦數(shù)學(xué)模型控制，調(diào)節(jié)模型參數(shù)可約束任意滑動(dòng)自由度ux和uz，從而模擬單向滑動(dòng)支座和任意向滑動(dòng)支座；由于橡膠三向受約束時(shí)，抗壓強(qiáng)度極大，表現(xiàn)為剛性[17-18]，因此在模型中約束節(jié)點(diǎn)間豎向相對(duì)位移uy；允許繞滑動(dòng)平面內(nèi)兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即θxy和θyz；約束繞法向軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即θxz。節(jié)點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)約束構(gòu)成虛擬連接，模型空間中不存在連接實(shí)體。

圖5 盆式橡膠支座三維有限單元示意圖

(3)支座工作中的恢復(fù)力與滑動(dòng)位移關(guān)系變化

橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)中，盆式橡膠支座滑動(dòng)界面不斷地在滑動(dòng)和固結(jié)狀態(tài)間變化。同時(shí)，對(duì)于任意向滑動(dòng)支座，其滑動(dòng)方向也受橋梁振動(dòng)影響而不斷改變。支座工作中的恢復(fù)力與滑動(dòng)位移關(guān)系發(fā)生如下變化。

狀態(tài)1：界面固結(jié)。此狀態(tài)下，支座沒(méi)有發(fā)生任何宏觀滑動(dòng)位移，處于靜摩擦狀態(tài)。但由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形，頂板和底板間仍存在微小的相對(duì)位移，并隨著滑動(dòng)趨勢(shì)增大而增大，直至滑動(dòng)力超過(guò)最大靜摩擦力Ff,k，如圖6(a)所示。

狀態(tài)2：界面滑動(dòng)。此狀態(tài)下，支座開(kāi)始發(fā)生宏觀滑動(dòng)位移，處于動(dòng)摩擦狀態(tài)。但由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形，頂板和底板間仍存在微小的相對(duì)位移，并隨著滑動(dòng)趨勢(shì)增大而增大，直至滑動(dòng)力超過(guò)最大靜摩擦力，如圖 6(b)所示。

狀態(tài)3：界面滑動(dòng)轉(zhuǎn)向。隨著橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)，支座滑動(dòng)速度逐漸減小，動(dòng)摩擦系數(shù)隨之減小，直至橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)達(dá)到最大位移，此時(shí)支座滑動(dòng)停止。隨著橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)轉(zhuǎn)向，支座滑動(dòng)轉(zhuǎn)向，并在相反方向上重復(fù)狀態(tài)1和狀態(tài)2。在坐標(biāo)圖上體現(xiàn)為曲線從第1象限進(jìn)入第3，4象限，并呈現(xiàn)滯回現(xiàn)象，如圖6(c)所示。

圖6 支座工作中的恢復(fù)力與滑動(dòng)位移關(guān)系變化情況

狀態(tài)4：界面滑動(dòng)二次轉(zhuǎn)向。隨著橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)在另一方向上達(dá)到最大位移并發(fā)生轉(zhuǎn)向，支座滑動(dòng)再次轉(zhuǎn)向，并在相反方向上重復(fù)狀態(tài)1、狀態(tài)2和狀態(tài)3。在坐標(biāo)圖上體現(xiàn)為曲線從第3象限進(jìn)入第2象限，直至回到第1象限，完成一個(gè)完整的滯回環(huán)，如圖6(d)所示。

3 有限單元工作能力計(jì)算驗(yàn)證

設(shè)計(jì)3組支座摩擦動(dòng)力工況，應(yīng)用本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座有限單元進(jìn)行支座摩擦響應(yīng)計(jì)算分析，驗(yàn)證該有限單元的工作能力。

3.1 任意方向滑動(dòng)的摩擦響應(yīng)一致性驗(yàn)證

由于假設(shè)鋼-聚四氟乙烯界面是均勻且各向同性的，所以任意方向上的滑動(dòng)摩擦力因具有一致性。當(dāng)不同方向上滑動(dòng)速度大小相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)摩擦力大小也應(yīng)相同。

(1)工況設(shè)置

向頂部節(jié)點(diǎn)輸入簡(jiǎn)諧位移波。通過(guò)調(diào)整位移波在x和z軸上分量振幅大小調(diào)整合位移方向，如式(34)所示。簡(jiǎn)諧位移波輸入?yún)?shù)見(jiàn)表2。

表2 簡(jiǎn)諧位移波輸入?yún)?shù)

(34)

(2)支座單元邊界條件設(shè)置

固定單元底部節(jié)點(diǎn)，約束所有滑動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；約束單元頂部節(jié)點(diǎn)的豎向位移uy和繞法向軸轉(zhuǎn)動(dòng)θxz允許頂部節(jié)點(diǎn)沿x，z坐標(biāo)軸滑動(dòng)和繞x，z坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

(3)支座摩擦響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

計(jì)算結(jié)果顯示，應(yīng)用本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計(jì)算得到的3個(gè)滑動(dòng)方向(滑動(dòng)方向與x軸夾角分別為0°，30°和45°)上的滑動(dòng)摩擦力大小完全一致，如圖7所示，其摩擦力-位移滯回曲線完全重合。本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計(jì)算不同方向上的滑動(dòng)摩擦響應(yīng)結(jié)果符合理論預(yù)期。

圖7 3個(gè)不同方向上的摩擦響應(yīng)計(jì)算值

3.2 滑動(dòng)方向連續(xù)改變條件下的摩擦響應(yīng)計(jì)算能力驗(yàn)證

在實(shí)際公路橋梁振動(dòng)分析中，支座的滑動(dòng)方向隨橋梁振動(dòng)不斷改變，因此盆式橡膠支座三維有限單元應(yīng)具備計(jì)算滑動(dòng)方向連續(xù)改變條件下支座摩擦響應(yīng)的能力。

(1)工況設(shè)置

固定單元底部節(jié)點(diǎn)，向頂部節(jié)點(diǎn)輸入2個(gè)坐標(biāo)軸方向的簡(jiǎn)諧位移波。調(diào)整x和z軸方向位移波的圓頻率ω，如式(35)所示：

(35)

如圖8所示，輸入滑動(dòng)位移軌跡在滑動(dòng)平面上呈現(xiàn)“∞”字形。

圖8 輸入滑動(dòng)位移軌跡

(2)支座單元邊界條件設(shè)置

邊界條件與3.1中的設(shè)置相同。

(3)支座摩擦響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

如圖9所示，x軸方向摩擦力-位移滯回曲線上的點(diǎn)1～5對(duì)應(yīng)圖8滑動(dòng)位移軌跡上的點(diǎn)1～5。由于z方向上的滑動(dòng)速度始終是x方向上的兩倍，在滑動(dòng)路徑1～2上，滑動(dòng)方向與x軸夾角θ從45°逐漸減小到0，此過(guò)程中x軸方向上的摩擦力分量逐漸增大，z軸方向上的摩擦力分量逐漸減小?；瑒?dòng)達(dá)到點(diǎn)2時(shí)，θ=0，x軸方向上的摩擦力分量達(dá)到最大值，z軸方向上的摩擦力分量為0。在滑動(dòng)路徑2～3上，x軸方向上滑動(dòng)速度減小至0，z軸方向上滑動(dòng)速度改變方向并逐漸增大，x軸方向上的摩擦力分量減小至0，z軸方向上的摩擦力分量增大至最大值?；瑒?dòng)路徑3～5是路徑1～3的重復(fù)。圖9所示計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計(jì)算滑動(dòng)方向連續(xù)改變條件下的摩擦響應(yīng)結(jié)果符合理論預(yù)期。

圖9 “∞”字形滑動(dòng)位移的摩擦響應(yīng)結(jié)果

3.3 計(jì)算摩擦響應(yīng)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

(1)工況設(shè)置

為驗(yàn)證本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，參考Dolce等[10]，Li等開(kāi)展的盆式橡膠支座滑動(dòng)摩擦試驗(yàn)。如表3所示，按上述試驗(yàn)工況輸入單元頂部節(jié)點(diǎn)位移和單元參數(shù)，計(jì)算單元摩擦響應(yīng)。

表3 支座摩擦試驗(yàn)參數(shù)

(2)支座單元邊界條件設(shè)置

邊界條件與3.1中的設(shè)置相同。

(3)支座摩擦響應(yīng)計(jì)算結(jié)果及與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析

計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

圖10 試驗(yàn)數(shù)值模擬結(jié)果

試驗(yàn)1如圖10(a)所示，試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬對(duì)比顯示，數(shù)值模擬得到的滯回曲線與試驗(yàn)結(jié)果得到曲線吻合較好。兩者最大滑動(dòng)位移存在一定偏差，原因?qū)嶋H試驗(yàn)中位移控制存在偏差，使試驗(yàn)最大滑動(dòng)位移略大于設(shè)定的位移幅值±50 mm。摩擦力數(shù)值計(jì)算結(jié)果最大誤差為9.71%，出現(xiàn)在支座發(fā)生固結(jié)-滑動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，隨后誤差隨滑動(dòng)位移增大而逐漸減小。

試驗(yàn)2，3如圖10(b),(c)所示，試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬對(duì)比顯示，數(shù)值模擬得到的滯回曲線與試驗(yàn)結(jié)果得到曲線吻合較好。試驗(yàn)2摩擦力數(shù)值計(jì)算結(jié)果最大誤差為35.4%，出現(xiàn)在支座發(fā)生固結(jié)-滑動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)；進(jìn)入滑動(dòng)摩擦階段后誤差較小，最大為9.3%；支座滑動(dòng)逐漸停止，并再次發(fā)生固結(jié)-滑動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，誤差明顯增大。試驗(yàn)3摩擦力數(shù)值計(jì)算結(jié)果最大誤差為48.1%，出現(xiàn)在支座滑動(dòng)逐漸停止，并再次發(fā)生固結(jié)-滑動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)；滑動(dòng)摩擦階段誤差較小，最大為15.6%。

試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析說(shuō)明，試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置準(zhǔn)確時(shí)，滑動(dòng)摩擦階段的試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果誤差較小，該有限單元可以較好地模擬橋梁盆式橡膠支座在實(shí)際條件下的支座摩擦響應(yīng)。

4 結(jié)論

本研究基于Bouc-Wen滯回模型和以往對(duì)鋼-聚四氟乙烯界面摩擦機(jī)理的研究及相關(guān)摩擦試驗(yàn)數(shù)據(jù)，開(kāi)發(fā)了一種適用于橋梁有限元振動(dòng)分析的盆式橡膠支座三維有限單元。主要研究工作及結(jié)論如下：

(1)對(duì)動(dòng)力條件下盆式橡膠支座的滑動(dòng)摩擦進(jìn)行分析，通過(guò)拓展Bouc-Wen滯回模型應(yīng)用范圍，結(jié)合以往對(duì)鋼-聚四氟乙烯界面摩擦機(jī)理的研究，構(gòu)建了一套完整描述橋梁盆式橡膠支座任意方向滑動(dòng)摩擦的數(shù)學(xué)模型，并給出了該數(shù)學(xué)模型的顯式和隱式數(shù)值解法。

(2)基于盆式橡膠支座任意方向滑動(dòng)摩擦的數(shù)學(xué)模型及其數(shù)值解法，對(duì)支座本身及其力學(xué)性能適當(dāng)簡(jiǎn)化，構(gòu)建了一種適用于橋梁有限元振動(dòng)分析的橋梁盆式橡膠支座三維2節(jié)點(diǎn)有限單元，該有限單元各項(xiàng)工作性能符合理論預(yù)期。

(3)盆式橡膠支座三維有限單元計(jì)算結(jié)果和以往支座摩擦試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，說(shuō)明試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置準(zhǔn)確時(shí)，該單元能夠較好地模擬橋梁盆式橡膠支座在實(shí)際條件下的摩擦響應(yīng)，可以應(yīng)用于橋梁振動(dòng)分析中。