幾何畫(huà)板與初中數(shù)學(xué)教學(xué)有效融合的探索

廖小舟

［摘 要］幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)圖形的教學(xué)中起到較大的作用。應(yīng)用幾何畫(huà)板可以讓學(xué)生按給定的數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系來(lái)制作圖形（或圖像、表格），發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律及幾何關(guān)系；應(yīng)用幾何畫(huà)板可以模擬知識(shí)的發(fā)生過(guò)程和展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程；應(yīng)用幾何畫(huà)板，可有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)；應(yīng)用幾何畫(huà)板能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

［關(guān)鍵詞］幾何畫(huà)板；數(shù)學(xué)概念；作用；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2022）23-0001-03

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的不斷發(fā)展，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)方式也隨之發(fā)生了新變化，教學(xué)方法更加多樣化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，現(xiàn)代信息技術(shù)越來(lái)越得到重視，逐漸成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。幾何畫(huà)板是一種強(qiáng)有力的可視化動(dòng)態(tài)軟件，它能有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，對(duì)初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可有效應(yīng)用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)，創(chuàng)設(shè)多種有助于學(xué)生思考、觀察的問(wèn)題情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，活躍學(xué)生的思維，提升學(xué)生的動(dòng)手操作能力。本文主要討論幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)圖像的教學(xué)和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的作用及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的作用

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)抽象的過(guò)程，傳統(tǒng)的教學(xué)方法不能將這個(gè)抽象的過(guò)程具體化和形象化，學(xué)生無(wú)法深入理解概念，更不能很好地把握概念的本質(zhì)。而幾何畫(huà)板可以將靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，能夠清晰、直觀地“展示”概念的抽象過(guò)程。借助幾何畫(huà)板，學(xué)生可以進(jìn)行觀察、思考、比較和分析，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

例如，對(duì)于“三角形的中位線(xiàn)”這一內(nèi)容，教材大多是直接給出相關(guān)的概念，使得學(xué)生學(xué)習(xí)和理解概念時(shí)產(chǎn)生了不少疑惑。借助幾何畫(huà)板，可以使教學(xué)過(guò)程更加形象。如圖1，當(dāng)點(diǎn)[P]在[BC]邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段[AP]的中點(diǎn)[Q]的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣的呢？借助幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)功能，學(xué)生可以直觀地看到動(dòng)點(diǎn)[Q]在線(xiàn)段[MN]上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)段[AP]的所有中點(diǎn)軌跡的點(diǎn)正好形成三角形的中位線(xiàn)[MN]。通過(guò)觀察，學(xué)生很容易理解中位線(xiàn)的概念，而且對(duì)中位線(xiàn)概念的形成也有深刻的認(rèn)識(shí)。

二、幾何畫(huà)板在展示知識(shí)間聯(lián)系時(shí)的作用

（一）可以準(zhǔn)確展示不同概念間的聯(lián)系

例如對(duì)于圓的切線(xiàn)，在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生往往只是停留在對(duì)教材概念“直線(xiàn)與圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該直線(xiàn)即為圓的切線(xiàn)”的文字理解上，而若應(yīng)用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)功能來(lái)展示圓的割線(xiàn)到圓的切線(xiàn)的變化，則能很好地揭示圓的割線(xiàn)與切線(xiàn)之間的區(qū)別與聯(lián)系。這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的切線(xiàn)性質(zhì)與判定時(shí)，就會(huì)更加清楚它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且學(xué)生學(xué)習(xí)其他曲線(xiàn)的切線(xiàn)時(shí)也都可以通過(guò)類(lèi)似的關(guān)系去理解。

（二）能形象展示一些性質(zhì)定理間的聯(lián)系

例如，在探索等腰三角形“三線(xiàn)合一”這一性質(zhì)時(shí)，借助幾何畫(huà)板的移動(dòng)功能，不僅能讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到等腰三角形的特殊性，還豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。如圖2，在[△ABC]中，[BA=BD]， 點(diǎn)[C]可以在[AD]延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)，[AC]邊上的高[BP]、中線(xiàn)[BN]和[∠ABC]的平分線(xiàn)[BM]是三條不同的線(xiàn)段，當(dāng)點(diǎn)[C]在靠近點(diǎn)[D]運(yùn)動(dòng)時(shí)， [△ABC]由不等邊三角形逐漸向等腰三角形轉(zhuǎn)化，中線(xiàn)[BN]及角平分線(xiàn)[BM]隨著點(diǎn)[C]的移動(dòng)也不斷向高[BP]“靠近”，直至與高[BP]重合。這樣的動(dòng)態(tài)過(guò)程能更好地幫助學(xué)生理解等腰三角形“三線(xiàn)合一”這一特殊性質(zhì)的由來(lái)。

三、幾何畫(huà)板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）幾何畫(huà)板在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“多個(gè)絕對(duì)值之和的最值問(wèn)題”是初中數(shù)學(xué)比較難的內(nèi)容，學(xué)生感到非常抽象，難以入手。應(yīng)用幾何畫(huà)板的度量功能，能幫助學(xué)生直觀、形象地進(jìn)行求解。教師應(yīng)進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生分析、探索這類(lèi)問(wèn)題的一般求解方法，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)。

［例1］如圖3，一條街道旁有[A]，[B]，[C]，[D]，[E]五幢居民樓。某大桶水經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)各幢樓內(nèi)居民每周所需大桶水的數(shù)量如下表。

該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點(diǎn)。若要使這五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小，那么可以選擇的地點(diǎn)應(yīng)在什么地方？

經(jīng)討論，學(xué)生給出了如下方案。

設(shè)[AB=a]，[BC=b]，[CD=c]，[DE=d]。每戶(hù)居民每次取一桶水。

（1）若以點(diǎn)[A]為取水點(diǎn)，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[55AB+50AC+72AD+85AE=262a+207b+157c+85d]。

（2）若以點(diǎn)[B]為取水點(diǎn)，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AB+50BC+72BD+85BE=38a+207b+157c+85d]。

（3）若以點(diǎn)[C]為取水點(diǎn)，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AC+55BC+72CD+85CE=38a+93b+157c+85d]。

（4）若以點(diǎn)[D]為取水點(diǎn)，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AD+55BD+50CD+85DE=38a+93b+143c+85d]。

（5） 若以點(diǎn)[E]為取水點(diǎn)，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AE+55BE+50CE+72DE=38a+93b+143c+215d]。

故以點(diǎn)[D]為取水點(diǎn)，五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小。

這時(shí)，筆者再提出問(wèn)題：如果將“該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點(diǎn)”改為“該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃在這條街道上租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點(diǎn)”，那么可以選擇的地點(diǎn)在什么地方？

一石激起千層浪，學(xué)生給出了各種各樣的答案，而且爭(zhēng)論激烈，互不相讓。筆者告訴學(xué)生，可以應(yīng)用幾何畫(huà)板的度量功能和計(jì)算功能來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題。

如圖4，在該直線(xiàn)上任取一個(gè)點(diǎn)[P]，選擇度量距離，在繪圖區(qū)顯示出度量出來(lái)的長(zhǎng)度，可以得到[PA]，[PB]，[PC]，[PD]，[PE]的長(zhǎng)度。拖動(dòng)點(diǎn)[P]，隨著點(diǎn)[P]位置的變化，[PA]，[PB]，[PC]，[PD]，[PE]的值和[38PA+55PB+50PC+72PD+85PE]的值都在改變。當(dāng)點(diǎn)[P]與點(diǎn)[D]重合時(shí)，[38PA+55PB+50PC+72PD+85PE]的值最小。因此，如果將“該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點(diǎn)”改為“該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃在這條街道上租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點(diǎn)”，則在[D]處設(shè)立大桶水供應(yīng)點(diǎn)，五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小。

這時(shí)，有學(xué)生提出問(wèn)題：如果將某幢樓居民每周所需大桶水的數(shù)量改動(dòng)一下，結(jié)論還一樣嗎？

可重新編輯該運(yùn)算，如果將[E]幢樓居民每周所需大桶水的數(shù)量改為22桶，即[PE]前的數(shù)量由85改為22，拖動(dòng)點(diǎn)[P]，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)[P]與點(diǎn)[C]重合時(shí)，[38PA+55PB+50PC+72PD+22PE]的值最小。

學(xué)生一下子興奮起來(lái)，躍躍欲試。于是，筆者讓學(xué)生自由修改其中的數(shù)據(jù)，然后改變點(diǎn)[P]的位置，告訴大家所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

當(dāng)一個(gè)學(xué)生將[PE]前的數(shù)量85改為71后，學(xué)生沸騰了，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)[P]位于點(diǎn)[C]和點(diǎn)[D]之間（含點(diǎn)[C]，[D]）時(shí)，3[8PA+55PB+50PC+72PD+71PE]的值保持不變，而且最小。這時(shí)，學(xué)生充滿(mǎn)了好奇，他們很想知道到底是怎么一回事。

于是，筆者便從[x-3+x-5]的最小值談起。由絕對(duì)值的幾何意義知，[x-3]和[x-5]在數(shù)軸上分別表示[x]到3和[x]到5的距離。在[x]軸上任取一點(diǎn)[x]作為動(dòng)點(diǎn)，仿照上一環(huán)節(jié)中的步驟，即可研究[x-3+x-5]的最小值。仿照[x-3+x-5]最小值的研究方法，再探究[x-3+x-5+x-2]，[x-3+x-5+x-2+x+1]，[x-3+x-5+x-2+x+1+x+7]的最小值。結(jié)合數(shù)軸、絕對(duì)值的幾何意義等相關(guān)知識(shí)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律。

若[a1≤a2≤a3≤…≤an-1≤an] ，對(duì)于[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]。

（1）若[n]為奇數(shù)，則當(dāng)[x=an+1]時(shí)，原式有最小值。

（2）若[n]為偶數(shù)，則當(dāng)[an≤x≤an+1]時(shí)，原式有最小值。

至此，學(xué)生恍然大悟。原來(lái)例1中的街道相當(dāng)于數(shù)軸，[A]，[B]，[C]，[D]，[E]五幢樓則是數(shù)軸上的點(diǎn)[a1]，[a2]，[a3]，[a4]，[a5]。要計(jì)算設(shè)立大桶水供應(yīng)點(diǎn)的位置，使得五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小，則相當(dāng)于在數(shù)軸上尋找點(diǎn)[x]，使[38x-a1+55x-a2+50x-a3+72x-a4+85x-a5]的值最小。這樣，此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)得到了很好的揭示。

（二）幾何畫(huà)板在幾何教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫(huà)板為學(xué)生自主探索和自主學(xué)習(xí)提供了一個(gè)很好的平臺(tái)，它是學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的強(qiáng)有力的工具。教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生應(yīng)用幾何畫(huà)板畫(huà)圖分析、探索思考、合作交流，讓學(xué)生親歷知識(shí)的產(chǎn)生與形成過(guò)程，使“知識(shí)”發(fā)現(xiàn)、“方法”習(xí)得與“態(tài)度”形成達(dá)到高度統(tǒng)一，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自主建構(gòu)。

近年來(lái)，一類(lèi)以“鏈?zhǔn)健眴?wèn)題形式出現(xiàn)的幾何探究題可謂精彩紛呈，命題者充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在一定的情境中完成探究，使學(xué)生的才能得到充分的展示，因此此類(lèi)探究題成為中考數(shù)學(xué)的一大亮點(diǎn)。這類(lèi)探究題往往缺少一定的條件或無(wú)明確的結(jié)論，需要經(jīng)過(guò)推斷、補(bǔ)充并加以證明。根據(jù)其特征大致可分為條件探究題、結(jié)論探究題、規(guī)律探究題和存在探究題等。探究題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎、構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度。

［例2］如圖5，點(diǎn)[A]為等邊三角形[BCE]內(nèi)任一點(diǎn)，以[AB]為一邊作等邊三角形[ABD]，連接[DE]，[AC]，則圖中哪兩個(gè)三角形全等？請(qǐng)說(shuō)明理由。

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)并證明[△ABC≌△DBE]，然后以[AC]為一邊作等邊三角形[ACF]，連接[EF]（如圖6），同理可證[△ABC≌△FEC]。這時(shí)，教師提出問(wèn)題，并進(jìn)行師生交流。

師：除全等三角形外，你還發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？你能說(shuō)明其中的道理嗎？

生1：四邊形[AFED]是平行四邊形。易得[△ABC≌△DBE]和[△ABC≌△FEC]，所以[△DBE≌△FEC]，所以[EF=DB=AD]，[DE=FC=AF]，用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可證。

師：拖動(dòng)點(diǎn)[A]，改變它在[△BCE]中的位置，有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：四邊形[AFED]還有可能是矩形、菱形、正方形。

師：當(dāng)[△ABC]滿(mǎn)足什么條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)上述情形？

生3：只要[△ABC]滿(mǎn)足[∠BAC=150°]，四邊形[AFED]就是矩形。

師：你是怎么探索的？

生4：因?yàn)樗倪呅蝃AFED]是平行四邊形，所以要使四邊形[AFED]是矩形，只要有一個(gè)角等于90°或?qū)蔷€(xiàn)相等即可。而點(diǎn)[A]是[△ABC]與四邊形[AFED]的公共點(diǎn)，分析與點(diǎn)[A]相關(guān)的元素。四邊形[AFED]與[△ABC]相關(guān)的角是[∠DAF]，只要使[∠DAF=90°]即可，[△ABC]只要滿(mǎn)足[∠BAC=360°-90°-2×60°=150°]即可。

很快，學(xué)生的興趣被激發(fā)了，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要使四邊形[AFED]是正方形，首先要保證它為矩形，即[△ABC]滿(mǎn)足[∠BAC=150°]，而這樣的點(diǎn)[A]有無(wú)數(shù)多個(gè)，同時(shí)還應(yīng)滿(mǎn)足“鄰邊相等”，而四邊形[AFED]與[△ABC]相關(guān)的鄰邊為[AD]，[AF]，所以只要[AD=AF]即可，而[AD=AB]，[AF=AC]，需要再補(bǔ)充[AB=AC]這個(gè)條件，所以當(dāng)[△ABC]滿(mǎn)足[AB=AC]且[∠BAC=150°]時(shí)，四邊形[AFED]是正方形。

在探索當(dāng)[△ABC]滿(mǎn)足什么條件，四邊形[AFED]是菱形時(shí)，學(xué)生首先進(jìn)行了分析和猜想：在上面正方形的探索中，當(dāng)[△ABC]滿(mǎn)足[AB=AC]時(shí)，[AF=AC]一定成立，這時(shí)四邊形[AFED]是菱形。

生5：在操作幾何畫(huà)板尋找滿(mǎn)足條件的點(diǎn)[A]的位置時(shí)，總是很難精準(zhǔn)地找到相應(yīng)的位置，不知有什么辦法？

生6：因?yàn)辄c(diǎn)[A]滿(mǎn)足[AB=AC]，且點(diǎn)[A]在[△BCE]內(nèi)，所以點(diǎn)[A]的軌跡為線(xiàn)段[BC]的中垂線(xiàn)在[△BCE]內(nèi)的那一部分，那么作線(xiàn)段[BC]的中垂線(xiàn)[EM]，在線(xiàn)段[EM]（不含端點(diǎn)[E]）上的任何一點(diǎn)均可使四邊形[AFED]是菱形。

由于學(xué)生的知識(shí)限制，對(duì)于使四邊形[AFED]是矩形及正方體時(shí)，找點(diǎn)的精確位置需要進(jìn)行詳細(xì)的講解。因?yàn)閇△ABC]滿(mǎn)足[∠BAC=150°]，而“同弧所對(duì)的圓周角相等”，所以只要找到一個(gè)特殊點(diǎn)[N]，使[∠BNC=150°]，劣弧[BNC]即為所求點(diǎn)[A]的軌跡，將點(diǎn)[A]與劣弧[BNC]合并即可。

通過(guò)上述分析與操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)[A]的運(yùn)動(dòng)引起[△ABC]的形狀發(fā)生變化，進(jìn)而使得四邊形[AFED]變成不同的形狀。這樣的課堂生動(dòng)形象而又有趣，減少了教師畫(huà)圖的時(shí)間，提高了教學(xué)效率，激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究熱情。

綜上，數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效；要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開(kāi)發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂(lè)意投入到探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。數(shù)學(xué)課程改革要反映信息技術(shù)所引發(fā)的變革，就必須將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與信息技術(shù)進(jìn)行整合。幾何畫(huà)板在作圖的過(guò)程中動(dòng)態(tài)地保持了幾何圖形中內(nèi)在的、恒定不變的幾何關(guān)系及幾何規(guī)律。利用幾何畫(huà)板可以按給定的數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系來(lái)制作圖形（或圖像、表格）。學(xué)生在通過(guò)觀察、類(lèi)比和分析提出問(wèn)題后，還可以借助幾何畫(huà)板驗(yàn)證問(wèn)題的真假，從而發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。

課堂教學(xué)魅力無(wú)窮、潛力巨大，結(jié)合信息技術(shù)，可使課堂教學(xué)精彩紛呈。幾何畫(huà)板具備強(qiáng)大的圖形生成功能，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，大大提高了教學(xué)效率和教學(xué)效果，但課堂教學(xué)也不能由信息技術(shù)“牽”著走，教師應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容擇優(yōu)使用，不能太過(guò)依賴(lài)信息技術(shù)。信息技術(shù)的本質(zhì)是輔助教學(xué)，幾何畫(huà)板的使用應(yīng)以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生思考、提高學(xué)習(xí)效率為目的，讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)探究，理解概念和結(jié)論，知其所以然。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) ［M］.北京：人民教育出版社，2013：47．

［2］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2013：2-27．

［3］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2012：2-35．

［4］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2013：94．

［5］ ?張景中，江春蓮，彭翕成.《動(dòng)態(tài)幾何》課程的開(kāi)設(shè)在數(shù)學(xué)教與學(xué)中的價(jià)值［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（3）：1-5．

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）