趙萍
二面角問(wèn)題在立體幾何中比較常見(jiàn),常見(jiàn)的命題形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值,證明兩個(gè)平面互相垂直等.此類問(wèn)題的難度一般較大,需綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)、平面幾何知識(shí)、解三角形知識(shí)、三角函數(shù)知識(shí),才能順利求得問(wèn)題的答案.本文結(jié)合實(shí)例,重點(diǎn)探討一下求解二面角問(wèn)題的幾種常用方法.
一、定義法
二面角是由從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的,而二面角的大小往往是用其平面角的大小來(lái)表示,因此在求二面角的大小時(shí),通常要用到二面角的平面角的定義:過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線,兩射線所成的角.然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小,即可求得二面角的大小.
例1.
解答本題主要運(yùn)用了定義法,需根據(jù)二面角的平面角的定義,在二面角B-PC-A的棱PC上任取一點(diǎn)D,過(guò)D分別作DE⊥PC,DF⊥PC,從而確定了二面角B-PC-A的平面角∠EDF,再根據(jù)余弦定理求得cos∠EDF的值.
二、垂面法
垂面法是指作一個(gè)垂直的平面,根據(jù)其中的垂直關(guān)系求得問(wèn)題的答案.在求解二面角問(wèn)題時(shí),若題目中涉及的垂直關(guān)系較多,可過(guò)二面角棱上的一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線;也可將兩個(gè)半平面內(nèi)的垂線平移,使其交于一點(diǎn);還可過(guò)一條垂線上的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線,從而構(gòu)成一個(gè)垂面,則垂面上的兩條垂線或其平行線所形成的夾角即為二面角的平面角.最后根據(jù)勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.
例2.
本題中的垂直關(guān)系較多,于是分別過(guò)B、D作DH⊥PC,BH⊥PC,得到PC的垂面BHD,據(jù)此確定二面角B-PC-D的平面角∠BHD,再在△BHD中由余弦定理即可求得∠BHD的大小,進(jìn)而求得二面角B-PC-D的大小.值得注意的是,二面角α的范圍為:[0,π].
三、三垂線法
三垂線法是利用三垂線定理解題的方法.運(yùn)用三垂線法求解二面角問(wèn)題,需先找到平面的垂線,然后過(guò)垂線上的一點(diǎn)作平面的斜線,若平面內(nèi)的一條直線與平面的斜線垂直,那么這條直線與斜線在平面內(nèi)的射影垂直,根據(jù)這些垂直關(guān)系就可以確定二面角的平面角,最后根據(jù)勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.
例3.
根據(jù)題意作AH⊥BC,便可知AH為PH在平面ABCD內(nèi)的射影,由三垂線定理可得BC⊥PH,由此可確定∠PHA是二面角P-BC-A的平面角,再在Rt△PHA中根據(jù)正切函數(shù)的定義求得∠PHA的大小,進(jìn)而可得到二面角P-BC-A的大小.
由此可見(jiàn),求解二面角問(wèn)題的關(guān)鍵有兩步:第一步,根據(jù)二面角的平面角的定義、三垂線定理、垂面的性質(zhì),確定二面角的平面角;第二步,根據(jù)勾股定理、正余弦定理、三角函數(shù)的定義求得平面角的大小.
(作者單位:江西省贛州市南康第三中學(xué))