怎樣求解二面角問(wèn)題

趙萍

二面角問(wèn)題在立體幾何中比較常見(jiàn)，常見(jiàn)的命題形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，證明兩個(gè)平面互相垂直等.此類問(wèn)題的難度一般較大，需綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)、平面幾何知識(shí)、解三角形知識(shí)、三角函數(shù)知識(shí)，才能順利求得問(wèn)題的答案.本文結(jié)合實(shí)例，重點(diǎn)探討一下求解二面角問(wèn)題的幾種常用方法.

一、定義法

二面角是由從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小來(lái)表示，因此在求二面角的大小時(shí)，通常要用到二面角的平面角的定義：過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角.然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.

例1.

解答本題主要運(yùn)用了定義法，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角B-PC-A的棱PC上任取一點(diǎn)D，過(guò)D分別作DE⊥PC，DF⊥PC，從而確定了二面角B-PC-A的平面角∠EDF，再根據(jù)余弦定理求得cos∠EDF的值.

二、垂面法

垂面法是指作一個(gè)垂直的平面，根據(jù)其中的垂直關(guān)系求得問(wèn)題的答案.在求解二面角問(wèn)題時(shí)，若題目中涉及的垂直關(guān)系較多，可過(guò)二面角棱上的一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線；也可將兩個(gè)半平面內(nèi)的垂線平移，使其交于一點(diǎn)；還可過(guò)一條垂線上的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，從而構(gòu)成一個(gè)垂面，則垂面上的兩條垂線或其平行線所形成的夾角即為二面角的平面角.最后根據(jù)勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.

例2.

本題中的垂直關(guān)系較多，于是分別過(guò)B、D作DH⊥PC，BH⊥PC，得到PC的垂面BHD，據(jù)此確定二面角B-PC-D的平面角∠BHD，再在△BHD中由余弦定理即可求得∠BHD的大小，進(jìn)而求得二面角B-PC-D的大小.值得注意的是，二面角α的范圍為：[0，π].

三、三垂線法

三垂線法是利用三垂線定理解題的方法.運(yùn)用三垂線法求解二面角問(wèn)題，需先找到平面的垂線，然后過(guò)垂線上的一點(diǎn)作平面的斜線，若平面內(nèi)的一條直線與平面的斜線垂直，那么這條直線與斜線在平面內(nèi)的射影垂直，根據(jù)這些垂直關(guān)系就可以確定二面角的平面角，最后根據(jù)勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.

例3.

根據(jù)題意作AH⊥BC，便可知AH為PH在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理可得BC⊥PH，由此可確定∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，再在Rt△PHA中根據(jù)正切函數(shù)的定義求得∠PHA的大小，進(jìn)而可得到二面角P-BC-A的大小.

由此可見(jiàn)，求解二面角問(wèn)題的關(guān)鍵有兩步：第一步，根據(jù)二面角的平面角的定義、三垂線定理、垂面的性質(zhì)，確定二面角的平面角；第二步，根據(jù)勾股定理、正余弦定理、三角函數(shù)的定義求得平面角的大小.

（作者單位：江西省贛州市南康第三中學(xué)）