如何根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式

毛佳艷

數(shù)列的遞推關(guān)系式一般是指相鄰兩項(xiàng)或三項(xiàng)之間的關(guān)系，通常用an+1、an、an-1來表示.由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需仔細(xì)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式，對(duì)其進(jìn)行合理的變形，才能順利求得問題的答案.本文主要談一談如何根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式的形式求其通項(xiàng)公式.

一、形如an+1-an=f（n）的遞推關(guān)系式

形如an+1-an=f（n）的遞推關(guān)系式，表示的是數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差項(xiàng)是一個(gè)關(guān)于n的式子，可以將通項(xiàng)公式an用相鄰兩項(xiàng)之差的和來表示，即an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1.根據(jù)遞推關(guān)系式求得這些相鄰項(xiàng)之差的和，便可用關(guān)于n的式子來表示an，化簡所得的結(jié)果，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例1.

令n=1，2，3，…，n-1，便可根據(jù)已知的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列中所有相鄰兩項(xiàng)之差，將其累加，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于形如an+1an=f（n）的遞推關(guān)系式，也可采用類似的思路，令n=1，2，3，…，n-1，將這些式子累乘，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

二、形如an+1=Aan+B的遞推關(guān)系式

形如an+1=Aan+B的遞推關(guān)系式比較常見，通常需引入?yún)?shù)k，將其設(shè)為an+1-k=A（an-k），然后將其與已知遞推關(guān)系式的系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，即可求得k的值，這樣便構(gòu)造出等比數(shù)列{an-B1-A}.根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，就能求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例2.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

引入?yún)?shù)k，便可構(gòu)造出等比數(shù)列｛bn｝，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例3.

通過取倒數(shù)，便可將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an+1=Aan+B的形式，再引入?yún)?shù)，便可構(gòu)造等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來求得問題的答案.

可見，遞推關(guān)系式不同，求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也不相同.因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，要重點(diǎn)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式，將其進(jìn)行合理的變形，如令n=1，2，3，…，n-1，再將其累加或累乘；引入?yún)?shù)或取倒數(shù)，再將其構(gòu)造成等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，這樣便可將問題順利轉(zhuǎn)化為簡單問題來求解，達(dá)到化難為易的目的.

（作者單位：陜西省神木市職業(yè)技術(shù)教育中心）