幾何直觀促理解，問題解決不“迷?！?/h1>
2022-11-28 08:52:58首都師范大學附屬順義實驗小學李朝霞任志梅
青年心理 2022年13期
首都師范大學附屬順義實驗小學 李朝霞 任志梅
數(shù)學是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，具有嚴密的符號體系、獨特的公式結(jié)構(gòu)、形象的圖像語言。它有三個顯著的特點：高度抽象，邏輯嚴密，廣泛應用。小學階段的學生具有活潑好動，注意持久性差，無意注意、機械識記和形象思維占優(yōu)勢的特點。作為教師，我們必須深刻把握兩者的特點，找到連接直觀和抽象的路徑，從而明確學習目的，改進學習方法，提高學習效果。很多有經(jīng)驗的教師都選擇“幾何直觀”。幾何直觀，即直接看到的圖形、實物等，由于有圖、物、符號等做支撐，復雜的數(shù)學問題經(jīng)過看、想、說、做等數(shù)學活動變得簡明、形象。因此幾何直觀可以幫助學生理解數(shù)學。
一、幾何直觀讓數(shù)學知識變“溫暖”
數(shù)學枯燥、數(shù)學難學，是現(xiàn)在很多小學生不喜歡學習數(shù)學的一個理由，究其原因，其實并不是孩子天生不喜歡，而是作為教師對教材的處理、學習活動的設(shè)計沒有遵循孩子的認知規(guī)律，過分強調(diào)抽象思維的邏輯。往往我們感覺很簡單的問題，孩子們聽起來總是一頭霧水，師生很難同步，原因就是我們?nèi)鄙倭酥虚g環(huán)節(jié)——理解，造成學生只會單純模仿，遇到變式就錯誤百出，更別談應用了。
（一）幾何直觀促進概念的理解
概念教學貫穿整個小學階段，可以說支撐了數(shù)學教學的整體結(jié)構(gòu)。由此可見，小學生對數(shù)學概念的正確掌握是進行數(shù)學學習、積累經(jīng)驗、指導今后學習的基礎(chǔ)。但是概念教學中關(guān)注形式化的表達，忽視概念內(nèi)涵理解的現(xiàn)象仍然很普遍。
【案例】“到底是幾個？”
乘法分配律的教學歷來是教師關(guān)注的焦點，翻看各版本教材，幾乎所有的教材采取的流程都是：問題情境引入主題—兩種方法解決問題判定相等關(guān)系—模仿等式結(jié)構(gòu)概括乘法分配律。
通過模仿，孩子們判斷哪些等式應用了乘法分配律以及根據(jù)乘法分配律填空問題并不大，但是只限于基本模式，稍有改動孩子們就會出錯。
師：題目要求填一個數(shù)，你為什么這么寫呢？
生1 答案：63×99+63×1=（99+1）×63
生1：前面都是4 個數(shù)合成3 個數(shù)呀。
生2 答案：63×99+ 1 =（99+1）×63
師：為什么填1 呢？
生2：后面括號里是1，前面差1，后面差99。
通過調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)，孩子們在學習乘法分配律的時候關(guān)注更多的是它的外在形式，再加上課上我們的例題、練習都是乘法分配律的基本格式，孩子們本身就比較容易受視覺干擾，一旦脫離乘法分配律核心本質(zhì)——乘法的意義，孩子們對乘法分配律的理解是不深刻的，尤其是后面利用乘法分配律進行簡便運算的時候更會錯樣百出：
1 0 2×9 9=1 0 2×（9 9+1），102×99=102×100-1，等等。
于是在實際教學中，我創(chuàng)設(shè)生活情境，緊抓乘法意義，采用動態(tài)圖形演示加幾何圖形描述多管齊下認識運算定律。
活動一：借助具體情境，利用動態(tài)演示，初步感知乘法分配律。
以貼近學生生活的實例呈現(xiàn)問題，展開乘法分配律的探究。
求一共貼了多少塊瓷磚？學生得出兩種不同答案。
（1）4×8+6×8 （2）（4+6）×8
師：能說說每種方法每一步求的是什么嗎?
生1：4×8 是在計算左面鋪了多少塊，6×8 是在計算右面鋪了多少塊，求一共鋪了多少用加法。
生2：（4+6）×8 是把左右的瓷磚看成一個整體，4+6 就是整體的一行是10 個，共有8 行。
在學生講述計算過程時，教師通過動態(tài)課件的演示，兩個圖形合并成一個圖形。學生在動態(tài)的圖形支撐下，初步感知到乘法分配律如何將兩部分看成一個整體的過程，明確了兩個算式的相等關(guān)系：
4×8+6×8 =（4+6）×8
緊接著教師追問：你能結(jié)合圖，從算式意義的角度說說為什么它們相等嗎？（出示實物模型）如果我再把第三面墻也鑲上1 列瓷磚，你知道如何列式嗎？
借助實物模型，比較抽象的空間想象在這節(jié)課降低了難度，孩子們有擺、有畫、有觀察、有想象的，多渠道寫出算式。當孩子把三部分合成一個整體，并自覺地說出各部分的含義時，對乘法分配律的認識就更深了一步。
活動二:借助幾何圖形，抽象運算模型，深化理解乘法分配律。
師：孩子們，想象一下將墻上鋪好的瓷磚展開鋪平，會是一個什么圖形？
生：長方形。
隨著學生的回答出示圖形。
師：你能計算出這個長方形的面積嗎？
生3：我把大長方形看成兩個小長方形的面積和，一個是ac，另一個是bc，所以大長方形的面積就是ac+bc。
師：誰有不同的做法？
生4：大長方形的長是a+b，寬是c，那利用面積公式就是(a+b)×c。
師：那我們就可以說ac+bc=(a+b)×c。
將具體形象的因素抽離，利用學生學過的圖形面積基礎(chǔ)，求出上面大的長方形的面積，很巧妙地融合在三個矩形之間的面積關(guān)系之中，既有代數(shù)的抽象，更有幾何圖形的抽象。學生理解乘法分配律更加透徹。一句繞嘴難理解，使人迷惑卻又十分重要的定律很輕易地通過課件的動態(tài)演示和圖形說理被學生接受了。
（二）幾何直觀促進算理的明晰
在小學階段計算也占有較大的比重，以往的課堂，這部分的內(nèi)容最不容易引起教師們的重視。學生出現(xiàn)的錯誤也被簡單地定義為粗心馬虎。隨著課改的推進，教師們的教學觀念也隨之轉(zhuǎn)變，開始注重讓學生經(jīng)歷明晰算理的過程，逐步完成“動作思維—形象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。
【案例】兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法
一年級學習《兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法》時，面對新問題23+18 等于多少，學生幾乎脫口而出41。那41是怎么來的？我們可以讓學生利用畫圖的方法將自己的思維展現(xiàn)出來，從而明晰其中的道理。
通過看學生作品不難發(fā)現(xiàn)：學生已經(jīng)明晰了單根小棒和單根小棒相加，整捆小棒和整捆小棒相加，當單根小棒夠10 根時，會捆成一捆小棒，計數(shù)器同理。這樣就為理解豎式計算時相同數(shù)位對齊、個位滿十進一起到了很好的鋪墊，尤其在辨析豎式書寫是否正確時，學生會巧妙地結(jié)合圖來說明理由。
師：有幾位同學是用豎式計算的，看到他們的豎式你有什么想問的嗎？
生1：答案明明是41，他怎么寫成311 了呢？
生2：11 不能放在個位上。
生3：答案是41，他寫的31，少了一個10。
師：那你們能說說他們這樣寫豎式為什么不行嗎？
生4：我們可以看上面的圖，計數(shù)器個位最多放9 個珠子，夠10 個珠子就要換成十位上的1 個珠子，不能把11 寫在那。
生5：3 根小棒加8 根小棒一共是11 根小棒，夠10 根捆成一捆，整捆的小棒就變成4 捆了。
……
這種讓學生借助圖形進行說理，借助幾何直觀進行明理，在畫理、講理中真正落實理解算理掌握算法這一計算課繞不開的教學目標。
教材的改變同樣證明了幾何直觀對理解算理的重要性，以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，翻看了舊版教材，無論是北京版、北師大版還是人教版，里面都沒有出現(xiàn)點子圖，那在新版教材的這部分知識的教學中都有不同程度的使用。教材的這一改變是希望可以借助點子圖這樣的直觀模型，更好地刻畫學生的思維軌跡，幫助學生理解筆算過程中每一步的意義及豎式中的兩層積的由來，明確用因數(shù)十位上的數(shù)去乘時，所得的結(jié)果末尾要和十位對齊的道理，同時促使學生經(jīng)歷豎式的形成過程，真正接受豎式的書寫格式。
二、幾何直觀讓數(shù)學學習變“有趣”
畫圖是解決問題時經(jīng)常使用的策略，通過畫圖能直觀地顯示題意，有條理地表示數(shù)量，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，從而形成解題的思路。在數(shù)學學習中，應幫助學生從小養(yǎng)成一種用直觀的圖形語言刻畫、思考問題的習慣。
【案例】畫圖理解“行程問題”題意
王偉和李想在400 米的環(huán)形跑道上，從同一地點同時出發(fā)，反向而行。王偉每秒跑4.5 米，李想每秒跑5.5米。多少秒后兩個人第二次相遇？
面對較長的文字敘述題，很多孩子不自覺地動筆開始畫，由此可以看出孩子們在這個時候是有畫圖的需求的，同時也有的學生上來就算，抽象邏輯好的孩子可以抓住關(guān)鍵點厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，但一部分孩子還是缺乏這方面的能力。如按400÷（4.5+5.5）=40(秒) 或400÷4.5×2=178（秒），400÷5.5×2=145 秒，178+145=323（秒）。
課上學生交流時，畫圖的孩子思路清晰地說著自己的解題過程，而沒有畫圖的孩子聽得一頭霧水，搖頭表示不太明白。生生互動中，我了解到有的孩子甚至題目中的條件都沒有記清楚，在學生邊講邊畫邊交流的過程中，沒有畫圖的孩子體會出來畫圖是有利于幫助自己分析問題從而解決問題的。
三、 幾何直觀讓數(shù)學思想變“牢固”
愛因斯坦說過：“所謂教育，就是一個人把在學校所學忘光后剩下的東西?！倍嗄甑臄?shù)學學習留給我們的唯有數(shù)學的思想方法。小學數(shù)學教材中并沒有給出數(shù)學思想方法的具體名稱，只是在知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中隱含著，學生理解起來是很抽象的。
【案例】“兩位數(shù)加一位數(shù)口算進位加法”中假設(shè)思想的滲透
師：我們用了很多方法解決了69+4 等于多少的問題，那老師這還有一種解法，你看看你能看懂嗎？
70+4=74
74-1=73
生1：70 是哪來的呢？
生2：69+1 不就是70 嗎？
生3：可是為什么還要減1？
生4：這個就是把69 看成了70，但是我們算的是69+4，還要把多的那個1 減去。
討論到這里有學生明白了，但是仍然有部分學生不理解。
師：還有部分學生不理解，誰有什么辦法可以讓大家更清楚是怎么回事？
生5：老師，我用黑板上的小棒邊擺邊說。
學生利用實物模型，動手擺一擺讓抽象的假設(shè)思想理解起來更容易。
【案例】轉(zhuǎn)化思想
師：用你自己的方法解決？
學生都是利用通分求解的，有的甚至由于通分步驟太多導致出錯。
師：很多同學都覺得通分起來太麻煩了，老師這有一種簡便算法：有人知道是怎么來的嗎？
這時學生開始議論起來。有人說是因為老師知道了答案，然后看出來的；有人說他在奧數(shù)班學過，問其原因卻回答不出。其實這是高中等比數(shù)列求和公式的滲透，在高中，面對這個問題的推導我們會利用到錯位相減法，具體做法如下：
設(shè)
很顯然利用這樣的代數(shù)方法進行推導，對于小學生而言理解起來是很困難的，于是就巧妙地借助幾何直觀將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題進行解決。
這時我出示了下圖：
師：你能結(jié)合這幅圖來想一想原因嗎？有誰看懂了？
一道復雜的代數(shù)題轉(zhuǎn)化為幾何來思考和解決是那么直觀、形象、簡捷，這就是幾何直觀的力量。
綜上所述，借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于促進學生的數(shù)學理解，有機滲透數(shù)學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解決問題的能力。
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一、幾何直觀讓數(shù)學知識變“溫暖”
數(shù)學枯燥、數(shù)學難學，是現(xiàn)在很多小學生不喜歡學習數(shù)學的一個理由，究其原因，其實并不是孩子天生不喜歡，而是作為教師對教材的處理、學習活動的設(shè)計沒有遵循孩子的認知規(guī)律，過分強調(diào)抽象思維的邏輯。往往我們感覺很簡單的問題，孩子們聽起來總是一頭霧水，師生很難同步，原因就是我們?nèi)鄙倭酥虚g環(huán)節(jié)——理解，造成學生只會單純模仿，遇到變式就錯誤百出，更別談應用了。
（一）幾何直觀促進概念的理解
概念教學貫穿整個小學階段，可以說支撐了數(shù)學教學的整體結(jié)構(gòu)。由此可見，小學生對數(shù)學概念的正確掌握是進行數(shù)學學習、積累經(jīng)驗、指導今后學習的基礎(chǔ)。但是概念教學中關(guān)注形式化的表達，忽視概念內(nèi)涵理解的現(xiàn)象仍然很普遍。
【案例】“到底是幾個？”
乘法分配律的教學歷來是教師關(guān)注的焦點，翻看各版本教材，幾乎所有的教材采取的流程都是：問題情境引入主題—兩種方法解決問題判定相等關(guān)系—模仿等式結(jié)構(gòu)概括乘法分配律。
通過模仿，孩子們判斷哪些等式應用了乘法分配律以及根據(jù)乘法分配律填空問題并不大，但是只限于基本模式，稍有改動孩子們就會出錯。
師：題目要求填一個數(shù)，你為什么這么寫呢？
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生1：前面都是4 個數(shù)合成3 個數(shù)呀。
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師：為什么填1 呢？
生2：后面括號里是1，前面差1，后面差99。
通過調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)，孩子們在學習乘法分配律的時候關(guān)注更多的是它的外在形式，再加上課上我們的例題、練習都是乘法分配律的基本格式，孩子們本身就比較容易受視覺干擾，一旦脫離乘法分配律核心本質(zhì)——乘法的意義，孩子們對乘法分配律的理解是不深刻的，尤其是后面利用乘法分配律進行簡便運算的時候更會錯樣百出：
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活動一：借助具體情境，利用動態(tài)演示，初步感知乘法分配律。
以貼近學生生活的實例呈現(xiàn)問題，展開乘法分配律的探究。
求一共貼了多少塊瓷磚？學生得出兩種不同答案。
（1）4×8+6×8 （2）（4+6）×8
師：能說說每種方法每一步求的是什么嗎?
生1：4×8 是在計算左面鋪了多少塊，6×8 是在計算右面鋪了多少塊，求一共鋪了多少用加法。
生2：（4+6）×8 是把左右的瓷磚看成一個整體，4+6 就是整體的一行是10 個，共有8 行。
在學生講述計算過程時，教師通過動態(tài)課件的演示，兩個圖形合并成一個圖形。學生在動態(tài)的圖形支撐下，初步感知到乘法分配律如何將兩部分看成一個整體的過程，明確了兩個算式的相等關(guān)系：
4×8+6×8 =（4+6）×8
緊接著教師追問：你能結(jié)合圖，從算式意義的角度說說為什么它們相等嗎？（出示實物模型）如果我再把第三面墻也鑲上1 列瓷磚，你知道如何列式嗎？
借助實物模型，比較抽象的空間想象在這節(jié)課降低了難度，孩子們有擺、有畫、有觀察、有想象的，多渠道寫出算式。當孩子把三部分合成一個整體，并自覺地說出各部分的含義時，對乘法分配律的認識就更深了一步。
活動二:借助幾何圖形，抽象運算模型，深化理解乘法分配律。
師：孩子們，想象一下將墻上鋪好的瓷磚展開鋪平，會是一個什么圖形？
生：長方形。
隨著學生的回答出示圖形。
師：你能計算出這個長方形的面積嗎？
生3：我把大長方形看成兩個小長方形的面積和，一個是ac，另一個是bc，所以大長方形的面積就是ac+bc。
師：誰有不同的做法？
生4：大長方形的長是a+b，寬是c，那利用面積公式就是(a+b)×c。
師：那我們就可以說ac+bc=(a+b)×c。
將具體形象的因素抽離，利用學生學過的圖形面積基礎(chǔ)，求出上面大的長方形的面積，很巧妙地融合在三個矩形之間的面積關(guān)系之中，既有代數(shù)的抽象，更有幾何圖形的抽象。學生理解乘法分配律更加透徹。一句繞嘴難理解，使人迷惑卻又十分重要的定律很輕易地通過課件的動態(tài)演示和圖形說理被學生接受了。
（二）幾何直觀促進算理的明晰
在小學階段計算也占有較大的比重，以往的課堂，這部分的內(nèi)容最不容易引起教師們的重視。學生出現(xiàn)的錯誤也被簡單地定義為粗心馬虎。隨著課改的推進，教師們的教學觀念也隨之轉(zhuǎn)變，開始注重讓學生經(jīng)歷明晰算理的過程，逐步完成“動作思維—形象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。
【案例】兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法
一年級學習《兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法》時，面對新問題23+18 等于多少，學生幾乎脫口而出41。那41是怎么來的？我們可以讓學生利用畫圖的方法將自己的思維展現(xiàn)出來，從而明晰其中的道理。
通過看學生作品不難發(fā)現(xiàn)：學生已經(jīng)明晰了單根小棒和單根小棒相加，整捆小棒和整捆小棒相加，當單根小棒夠10 根時，會捆成一捆小棒，計數(shù)器同理。這樣就為理解豎式計算時相同數(shù)位對齊、個位滿十進一起到了很好的鋪墊，尤其在辨析豎式書寫是否正確時，學生會巧妙地結(jié)合圖來說明理由。
師：有幾位同學是用豎式計算的，看到他們的豎式你有什么想問的嗎？
生1：答案明明是41，他怎么寫成311 了呢？
生2：11 不能放在個位上。
生3：答案是41，他寫的31，少了一個10。
師：那你們能說說他們這樣寫豎式為什么不行嗎？
生4：我們可以看上面的圖，計數(shù)器個位最多放9 個珠子，夠10 個珠子就要換成十位上的1 個珠子，不能把11 寫在那。
生5：3 根小棒加8 根小棒一共是11 根小棒，夠10 根捆成一捆，整捆的小棒就變成4 捆了。
……
這種讓學生借助圖形進行說理，借助幾何直觀進行明理，在畫理、講理中真正落實理解算理掌握算法這一計算課繞不開的教學目標。
教材的改變同樣證明了幾何直觀對理解算理的重要性，以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，翻看了舊版教材，無論是北京版、北師大版還是人教版，里面都沒有出現(xiàn)點子圖，那在新版教材的這部分知識的教學中都有不同程度的使用。教材的這一改變是希望可以借助點子圖這樣的直觀模型，更好地刻畫學生的思維軌跡，幫助學生理解筆算過程中每一步的意義及豎式中的兩層積的由來，明確用因數(shù)十位上的數(shù)去乘時，所得的結(jié)果末尾要和十位對齊的道理，同時促使學生經(jīng)歷豎式的形成過程，真正接受豎式的書寫格式。
二、幾何直觀讓數(shù)學學習變“有趣”
畫圖是解決問題時經(jīng)常使用的策略，通過畫圖能直觀地顯示題意，有條理地表示數(shù)量，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，從而形成解題的思路。在數(shù)學學習中，應幫助學生從小養(yǎng)成一種用直觀的圖形語言刻畫、思考問題的習慣。
【案例】畫圖理解“行程問題”題意
王偉和李想在400 米的環(huán)形跑道上，從同一地點同時出發(fā)，反向而行。王偉每秒跑4.5 米，李想每秒跑5.5米。多少秒后兩個人第二次相遇？
面對較長的文字敘述題，很多孩子不自覺地動筆開始畫，由此可以看出孩子們在這個時候是有畫圖的需求的，同時也有的學生上來就算，抽象邏輯好的孩子可以抓住關(guān)鍵點厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，但一部分孩子還是缺乏這方面的能力。如按400÷（4.5+5.5）=40(秒) 或400÷4.5×2=178（秒），400÷5.5×2=145 秒，178+145=323（秒）。
課上學生交流時，畫圖的孩子思路清晰地說著自己的解題過程，而沒有畫圖的孩子聽得一頭霧水，搖頭表示不太明白。生生互動中，我了解到有的孩子甚至題目中的條件都沒有記清楚，在學生邊講邊畫邊交流的過程中，沒有畫圖的孩子體會出來畫圖是有利于幫助自己分析問題從而解決問題的。
三、 幾何直觀讓數(shù)學思想變“牢固”
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74-1=73
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生2：69+1 不就是70 嗎？
生3：可是為什么還要減1？
生4：這個就是把69 看成了70，但是我們算的是69+4，還要把多的那個1 減去。
討論到這里有學生明白了，但是仍然有部分學生不理解。
師：還有部分學生不理解，誰有什么辦法可以讓大家更清楚是怎么回事？
生5：老師，我用黑板上的小棒邊擺邊說。
學生利用實物模型，動手擺一擺讓抽象的假設(shè)思想理解起來更容易。
【案例】轉(zhuǎn)化思想
師：用你自己的方法解決？
學生都是利用通分求解的，有的甚至由于通分步驟太多導致出錯。
師：很多同學都覺得通分起來太麻煩了，老師這有一種簡便算法：有人知道是怎么來的嗎？
這時學生開始議論起來。有人說是因為老師知道了答案，然后看出來的；有人說他在奧數(shù)班學過，問其原因卻回答不出。其實這是高中等比數(shù)列求和公式的滲透，在高中，面對這個問題的推導我們會利用到錯位相減法，具體做法如下：
設(shè)
很顯然利用這樣的代數(shù)方法進行推導，對于小學生而言理解起來是很困難的，于是就巧妙地借助幾何直觀將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題進行解決。
這時我出示了下圖：
師：你能結(jié)合這幅圖來想一想原因嗎？有誰看懂了？
一道復雜的代數(shù)題轉(zhuǎn)化為幾何來思考和解決是那么直觀、形象、簡捷，這就是幾何直觀的力量。
綜上所述，借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于促進學生的數(shù)學理解，有機滲透數(shù)學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解決問題的能力。
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