鎖相環(huán)失步對(duì)同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)功角穩(wěn)定性的影響機(jī)理分析

黎 曉，李劍澤，蘇晨博，王潔聰，劉崇茹，鄭 樂

（1. 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華北電力大學(xué)），北京市 102206；2. 中國(guó)電力科學(xué)研究院有限公司，北京市 100192）

0 引言

為實(shí)現(xiàn)中國(guó)“雙碳”目標(biāo)，據(jù)估計(jì)到2060 年新能源將逐漸成為電力供應(yīng)主體，但傳統(tǒng)的同步電源依然占有一定比例，電網(wǎng)仍通過交流同步機(jī)制實(shí)現(xiàn)功率傳輸［1］。新型電力系統(tǒng)中，多種設(shè)備的多時(shí)間尺度特性給同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)功角穩(wěn)定性問題帶來新的挑戰(zhàn)。 目前，電壓源型變流器（voltage source converter，VSC）是一種常見的新能源并網(wǎng)設(shè)備，其中已被廣泛使用的跟網(wǎng)型變流器（grid-following converter）依靠鎖相環(huán)（phase-locked loop，PLL）與電網(wǎng)保持同步［2］。因此，研究變流器的鎖相環(huán)和傳統(tǒng)同步發(fā)電機(jī)互聯(lián)的暫態(tài)穩(wěn)定性具有重要意義。

在小擾動(dòng)方面，已有較多文獻(xiàn)研究了鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定的關(guān)系，相關(guān)的研究結(jié)論已比較成熟。例如，弱電網(wǎng)情況下鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子軸承的耦合作用可能引發(fā)次同步振蕩［3-4］。鎖相環(huán)參數(shù)不合理時(shí)可能引起同步發(fā)電機(jī)低頻振蕩［5-8］，優(yōu)化鎖相環(huán)參數(shù)可以為同步發(fā)電機(jī)提供正阻尼［9］。

在大擾動(dòng)方面，基于不同的模型和方法得到的結(jié)論并不完全一致。已有的針對(duì)鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)功角的相互影響的研究認(rèn)為：1）當(dāng)鎖相環(huán)穩(wěn)定時(shí)，變流器對(duì)電網(wǎng)主要表現(xiàn)出變流器外環(huán)控制的特征，可以近似等值為恒功率或恒阻抗［10］。較多文獻(xiàn)討論了這種情況下新能源電源經(jīng)變流器接入電網(wǎng)的滲透率［10-12］、接入點(diǎn)位置［13-15］及功率控制方式［16-17］等對(duì)同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定性的影響。2）大擾動(dòng)下鎖相環(huán)失步時(shí)，認(rèn)為鎖相環(huán)動(dòng)態(tài)過程的時(shí)間尺度明顯小于發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子時(shí)間尺度，因此，將鎖相環(huán)簡(jiǎn)化為代數(shù)方程來討論同步發(fā)電機(jī)的功角穩(wěn)定性問題［18］。文獻(xiàn)［18］指出，含變流器電網(wǎng)的同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)功角失穩(wěn)機(jī)理與傳統(tǒng)電網(wǎng)相比，存在新的失穩(wěn)約束。

然而，當(dāng)變流器公共連接點(diǎn)（point of common coupling，PCC）處電壓跌落［19-21］，或者電網(wǎng)強(qiáng)度較弱［22-23］、故障后PCC 處相位跳變［24］等情況發(fā)生時(shí)，鎖相環(huán)可能失去與電網(wǎng)保持同步的能力［18-19］。此時(shí)，將換流器簡(jiǎn)化為恒功率源或恒阻抗無法反映出鎖相環(huán)失步情況下對(duì)同步發(fā)電機(jī)的影響。當(dāng)鎖相環(huán)在大擾動(dòng)后的暫態(tài)過程中失去平衡點(diǎn)時(shí)，將鎖相環(huán)簡(jiǎn)化為代數(shù)方程的條件不再成立?，F(xiàn)有的研究結(jié)論，即變流器失去平衡點(diǎn)后導(dǎo)致同步發(fā)電機(jī)失去同步的條件值得進(jìn)一步研究。

本文針對(duì)上述問題，深入研究鎖相環(huán)動(dòng)態(tài)與同步發(fā)電機(jī)的交互影響機(jī)理，重點(diǎn)考慮故障后系統(tǒng)恢復(fù)過程中兩者交互引起的同步穩(wěn)定問題，而非故障直接引起的失穩(wěn)情況。本文的主要貢獻(xiàn)為：

1）建立了鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)功角的動(dòng)力學(xué)方程，分析了鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)功角耦合的條件，揭示了大量變流器接入電網(wǎng)時(shí)，同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定邊界由不穩(wěn)定平衡點(diǎn)約束轉(zhuǎn)為鎖相環(huán)約束的機(jī)理。基于幾何奇異攝動(dòng)理論，從理論層面解釋了鎖相環(huán)失去平衡點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)軌跡從同步發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)主導(dǎo)過渡到鎖相環(huán)動(dòng)態(tài)主導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)特征。

2）通過發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速的解析，分析了鎖相環(huán)簡(jiǎn)化為代數(shù)方程在功角穩(wěn)定性分析中的局限性，探討了同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定受鎖相環(huán)制約的條件，為大規(guī)模新能源饋入電網(wǎng)的暫態(tài)穩(wěn)定域分析提供了理論支撐。

1 鎖相環(huán)與發(fā)電機(jī)功角動(dòng)態(tài)交互場(chǎng)景描述

系統(tǒng)中的電力電子接口控制環(huán)節(jié)與同步發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)具有明顯的時(shí)間尺度差異。如圖1 所示，內(nèi)環(huán)電流控制的帶寬在100 Hz 及以上，鎖相環(huán)控制的帶寬一般在10～70 Hz，而發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的慣性時(shí)間常數(shù)通常在秒級(jí)。因此，按照不同時(shí)間尺度對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行劃分，能夠簡(jiǎn)化分析過程。圖中：為變流器的電流指令值，在文中用Id和Iq表示；θpll為鎖相環(huán)的輸出角；Z1、Z2、Z3為網(wǎng)絡(luò)阻抗；ZL為PCC 處并聯(lián)阻抗；為大系統(tǒng)母線的電壓相量；Eg和δg分別為發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢(shì)幅值和功角。當(dāng)研究鎖相環(huán)的同步穩(wěn)定性時(shí)，認(rèn)為同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的相位不發(fā)生變化；當(dāng)研究同步發(fā)電機(jī)的功角穩(wěn)定性時(shí)，假設(shè)鎖相環(huán)在合理的控制參數(shù)下能夠始終保持同步，此時(shí)，變流器表現(xiàn)出外環(huán)功率控制或低壓穿越控制的特性。

圖1 變流器接入交流系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of converter connected to AC system

然而，當(dāng)故障持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)導(dǎo)致發(fā)電機(jī)的功角擺開較大時(shí)，振蕩中心區(qū)域的母線電壓大幅下降，進(jìn)一步，可能會(huì)導(dǎo)致其所連接的變流器的鎖相環(huán)因失去平衡點(diǎn)而失去同步。此時(shí)，鎖相環(huán)失穩(wěn)主要受發(fā)電機(jī)功角而不是鎖相環(huán)控制參數(shù)的影響。同時(shí)，鎖相環(huán)失去穩(wěn)定之后，變流器輸出的功率出現(xiàn)振蕩，也會(huì)影響同步發(fā)電機(jī)功角的恢復(fù)過程。因此，在含電壓源型變流器的電網(wǎng)中，同步發(fā)電機(jī)的功角穩(wěn)定性可能受到鎖相環(huán)的制約［18］。

鎖相環(huán)對(duì)發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定域的約束條件與傳統(tǒng)電力系統(tǒng)中恒功率性質(zhì)的負(fù)荷對(duì)同步發(fā)電機(jī)的功角穩(wěn)定域的約束條件，具有一定的相似性，因?yàn)閮烧叨际峭ㄟ^影響交流網(wǎng)絡(luò)的功率傳輸能力，間接地改變了發(fā)電機(jī)的功角穩(wěn)定性［25-26］。但由于存在前文所描述的時(shí)間尺度差異，兩者表現(xiàn)出不同的現(xiàn)象。

簡(jiǎn)而言之，變流器平衡點(diǎn)存在的條件，影響了同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定域的邊界條件。這既是鎖相環(huán)動(dòng)態(tài)與發(fā)電機(jī)功角之間多時(shí)間尺度特性的表現(xiàn)，也是鎖相環(huán)通過交流網(wǎng)絡(luò)與同步發(fā)電機(jī)耦合的特征。

2 變流器-同步發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

2.1 鎖相環(huán)與發(fā)電機(jī)功角的雙時(shí)間尺度建模

發(fā)電機(jī)的簡(jiǎn)化二階方程如式（1）所示。

式中：ω0=（100π）rad/s 為工頻50 Hz 下的角速度；TJ為標(biāo)幺化的發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)；Pm、Pg和D分別為發(fā)電機(jī)的機(jī)械功率、電磁功率和阻尼系數(shù)；ωg為δg的角頻率標(biāo)幺值，穩(wěn)態(tài)下等于1 p.u.。

對(duì)于變流器和同步發(fā)電機(jī)，本文為突出機(jī)理描述，有以下假設(shè)：1）忽略電流內(nèi)環(huán)控制，假設(shè)電流內(nèi)環(huán)控制的帶寬足夠大，使得內(nèi)環(huán)控制與鎖相環(huán)近似解耦［27］；2）忽略外環(huán)控制和直流電壓控制，假設(shè)故障及故障后恢復(fù)期間外環(huán)控制達(dá)到限幅或者故障穿越 控 制 啟 動(dòng)［18，20-23，28-30］，變 流 器 表 現(xiàn) 出 電 流 源 的 特性；3）同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗后的內(nèi)電勢(shì)恒定。

根據(jù)三相同步坐標(biāo)系的鎖相環(huán)（synchronous reference frame phase-locked loop，SRF-PLL）的 控制框圖（見附錄A 圖A1），建立鎖相環(huán)狀態(tài)方程如下：

式中：θp為鎖相環(huán)的直接輸出角度θpll與平衡節(jié)點(diǎn)的相角差，是一個(gè)相對(duì)角，假設(shè)平衡節(jié)點(diǎn)相角的轉(zhuǎn)速等于ω0，ω0和θp均 為 有 名 值；xp為 鎖 相 環(huán) 比 例-積 分（PI）控制器中積分的輸出值；Vq為PCC 處電壓相量在q軸上的分量；ωp為角頻率標(biāo)幺值，穩(wěn)態(tài)下等于1 p.u.；kp為 鎖 相 環(huán)PI 環(huán) 節(jié) 的 比 例 系 數(shù)；ki為 鎖 相 環(huán)PI 環(huán)節(jié)的積分增益。

將圖1（a）中的交流電網(wǎng)用一個(gè)含等值大系統(tǒng)的三節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)代替，本文通過如圖1（b）所示的簡(jiǎn)化系統(tǒng)來進(jìn)行機(jī)理研究。其中，等值大系統(tǒng)的端電壓相角為0°，同步發(fā)電機(jī)和變流器分別代表發(fā)電機(jī)的一個(gè)集合和變流器的一個(gè)集合［11，31］。在風(fēng)機(jī)的穩(wěn)定性研究中，也常常使用單臺(tái)等值風(fēng)機(jī)代替整個(gè)風(fēng)電場(chǎng)以簡(jiǎn)化研究［32］。Pg和Vq可以寫成θp和δg的函數(shù)，見附錄B，組合式（1）和式（2）即可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程。假設(shè)鎖相環(huán)的響應(yīng)速度遠(yuǎn)快于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的響應(yīng)速度，系統(tǒng)具有雙時(shí)間尺度特性。通過引入無量綱參數(shù)ε=1/(kpTJ)和坐標(biāo)變換，可以將系統(tǒng)的狀態(tài)方程改寫成如式（3）所示的奇異攝動(dòng)的形式。

式中：yp=xpkp，為鎖相環(huán)PI 控制器中積分的輸出值xp與kp的乘積；λ=t/TJ為時(shí)間變量。式（3）忽略了頻率變化對(duì)線路阻抗參數(shù)的影響。

基于奇異攝動(dòng)理論［33］，原模型解耦為一個(gè)關(guān)于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)的慢系統(tǒng)（式（4））與一個(gè)關(guān)于鎖相環(huán)動(dòng)態(tài)的快系統(tǒng)（式（5））。

針對(duì)圖1（b）所示簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)得到式（3）、式（4）和式（5）的推導(dǎo)過程，詳見附錄B。

注意到快系統(tǒng)（式（5））的平衡點(diǎn)也是慢系統(tǒng)（式（4））中代數(shù)方程Vq=0 的解。因此，在快系統(tǒng)（式（5））穩(wěn)定的情況下，系統(tǒng)方程（式（3））的軌跡會(huì)很快趨近Vq=0 的解，如附錄C 圖C1 所示。此時(shí)，慢系統(tǒng)與快系統(tǒng)可以近似解耦，慢系統(tǒng)能夠描述同步發(fā)電機(jī)的暫態(tài)功角穩(wěn)定性，與傳統(tǒng)交流電網(wǎng)的功角穩(wěn)定性沒有本質(zhì)上的區(qū)別。

2.2 鎖相環(huán)與發(fā)電機(jī)功角耦合條件的分析

2.2.1 快系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

快系統(tǒng)在擾動(dòng)后能夠恢復(fù)穩(wěn)定需要兩個(gè)條件：1）快系統(tǒng)存在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；2）故障切除后軌跡位于快系統(tǒng)的穩(wěn)定域內(nèi)。

對(duì)于快系統(tǒng)第2 個(gè)穩(wěn)定條件，已有文獻(xiàn)分析鎖相環(huán)的穩(wěn)定域［34］。因?yàn)楣堑淖兓俣蕊@著慢于鎖相環(huán)的調(diào)節(jié)速度，且功角較小時(shí)鎖相環(huán)平衡點(diǎn)距離穩(wěn)定邊界有一定的穩(wěn)定裕度，功角增大造成的鎖相環(huán)收斂域減小難以造成鎖相環(huán)失穩(wěn)。也就是說，在合適的鎖相環(huán)參數(shù)下，如果故障切除后鎖相環(huán)能夠很快恢復(fù)穩(wěn)定，那么鎖相環(huán)可以跟蹤上發(fā)電機(jī)的功角變化。

忽略線路電導(dǎo)和并聯(lián)電導(dǎo)，基于附錄B 中Vq表達(dá)式（B4），Vq=0 等價(jià)于式（6）。

其中：

式中：B2和B3分別為阻抗Z2和Z3支路的電納。已將同步發(fā)電機(jī)等值內(nèi)電抗通過電路星形-三角形變換歸算到網(wǎng)絡(luò)支路中；?I=arctan（-Iq/Id），Id和Iq分別為變流器的d、q軸電流；I3為變流器輸出電流的幅值。

由于aδ（δg）最小值在δg=π 處取得，當(dāng)aδ（π）＜I3cos?I時(shí)，發(fā)電機(jī)功角增大到π 的過程中就會(huì)使得代數(shù)方程Vq=0 失去平衡點(diǎn)。此時(shí)，發(fā)電機(jī)功角增大會(huì)使得快系統(tǒng)的第1 個(gè)穩(wěn)定條件不能滿足。從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為，B2與B3Eg越接近，鎖相環(huán)越容易失去平衡點(diǎn)；從變流器容量上表現(xiàn)為，變流器輸出電流越大，鎖相環(huán)越容易失去平衡點(diǎn)。

當(dāng)發(fā)電機(jī)功角增大，代數(shù)方程Vq=0 剛好失去平衡點(diǎn)時(shí)，將這一點(diǎn)記作折點(diǎn)F［35］，也稱為鞍結(jié)型分岔點(diǎn)和奇異點(diǎn)［25］。此時(shí)，子系統(tǒng)（式（4））無法描述交直流電網(wǎng)的同步穩(wěn)定性，鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)過程耦合，鎖相環(huán)的動(dòng)態(tài)過程就不能完全被忽略。本文2.3 節(jié)詳細(xì)分析了這種條件下兩者的交互過程。

2.2.2 慢系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界由折點(diǎn)決定的條件

功角穩(wěn)定邊界的評(píng)估大多基于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處的減速面積、暫態(tài)能量或者其穩(wěn)定流形。當(dāng)同步發(fā)電機(jī)功角在擾動(dòng)后首先經(jīng)過不穩(wěn)定平衡點(diǎn)而不是折點(diǎn)時(shí)，基于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的功角穩(wěn)定性評(píng)估方法仍然適用。但是，當(dāng)同步發(fā)電機(jī)功角增大過程中先經(jīng)過折點(diǎn)時(shí)，折點(diǎn)將會(huì)影響功角穩(wěn)定域的邊界。

據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年我國(guó)城鎮(zhèn)化率已達(dá)58.52%，農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移到城鎮(zhèn)的人口日益成為城市建設(shè)的重要參與者，也是培育農(nóng)業(yè)農(nóng)村發(fā)展新動(dòng)能、推動(dòng)農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的重要探索者。實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，加快推進(jìn)農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化，不僅能夠推動(dòng)廣大農(nóng)民在共建共享發(fā)展中實(shí)現(xiàn)更多獲得感、幸福感和安全感，而且有利于更好踐行“以人民為中心”的發(fā)展思想。[3]

本節(jié)基于發(fā)電機(jī)電磁功率Pg的解析表達(dá)式，分析了同步發(fā)電機(jī)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)與折點(diǎn)的位置關(guān)系，以及同步發(fā)電機(jī)機(jī)械功率Pm和變流器電流大小I3對(duì)這種位置關(guān)系的影響，揭示了折點(diǎn)影響功角穩(wěn)定邊界的一些運(yùn)行條件。

基于附錄B 的推導(dǎo)得到消去θp的發(fā)電機(jī)電磁功率Pg的表達(dá)式如式（9）所示。

其中：

式中：b1為功率表達(dá)式中正弦分量的系數(shù)；B1為阻抗Z1支路的電納；BL為PCC 處的并聯(lián)電納；Pg2（δg）的表達(dá)式詳見附錄B。在δg取值范圍內(nèi)，Pg2（δg）變化較小，可以簡(jiǎn)化為常數(shù)。

因此，鎖相環(huán)保持在其穩(wěn)定平衡點(diǎn)的情況下，Pg關(guān)于δg變化的曲線可以更簡(jiǎn)潔地表示為：

其中：

δg取值范圍分以下兩種情況：

情況1：當(dāng)aδ（π）≥I3cos?I時(shí)，δg的取值范圍為實(shí)數(shù)域，這種情況不存在折點(diǎn)。

情況2：當(dāng)aδ（π）＜I3cos?I時(shí)，δg的取值范 圍為[-δg，m，δg，m]，取值范圍的兩端為折點(diǎn)的位置。δg，m的表達(dá)式如下：

在δg取值范圍的情況2 下，折點(diǎn)和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的相對(duì)位置受變流器輸出電流I3與同步發(fā)電機(jī)機(jī)械功率Pm的影響。由式（11）可知，Pg-δg曲線接近正弦函數(shù)。Pg=Pm＞0 的解中，功角較小的解稱為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，其他解稱為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。由δg的取值范圍可知，I3越大則δg取值范圍越小。因此，I3增大可以使得在δg的取值范圍之內(nèi)只存在穩(wěn)定平衡點(diǎn)，不穩(wěn)定平衡點(diǎn)在功角δg的取值范圍之外。同時(shí)，較小的Pm也會(huì)使得不穩(wěn)定平衡點(diǎn)在δg的取值范圍之外。

以附錄D 表D1 的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)1 為例驗(yàn)證上述分析。同步發(fā)電機(jī)等值內(nèi)阻抗為0.05 p.u.，內(nèi)電勢(shì)Eg=1.1 p.u.，電磁功率曲線如圖2 所示。結(jié)果表明，式（11）能夠很好地近似式（9），驗(yàn)證了利用式（11）研究Pg性質(zhì)的正確性。比較圖2 中不同I3條件下的Pg曲線，以及Pg=Pm的解的情況。當(dāng)I3=1 p.u.或3 p.u.時(shí)，Pg=4 p.u.有兩個(gè)解：穩(wěn)定平衡點(diǎn)和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。而當(dāng)I3增加到5 p.u.時(shí)，Pg=4 p.u.僅有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的解，不存在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，說明較大的I3使得不穩(wěn)定平衡點(diǎn)消失。比較不同Pm條件下的解。對(duì)于Pg=2 p.u.的解，當(dāng)I3=3 p.u.或5 p.u.時(shí)，δg都只有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。與Pg=4 p.u.相比，較小的Pm也會(huì)使得不穩(wěn)定平衡點(diǎn)消失。

圖2 同步發(fā)電機(jī)電磁功率Pg-功角δg曲線Fig.2 Curves of electromagnetic power Pg versus power angle δg of synchronous generators

因此，較大的變流器輸出電流I3與較小的同步發(fā)電機(jī)機(jī)械功率Pm會(huì)使得慢系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界由折點(diǎn)決定而不是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。這也是后文分析的鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)交互的一個(gè)條件，這個(gè)條件也正是大規(guī)模新能源接入電網(wǎng)的特點(diǎn)。

2.3 慢動(dòng)態(tài)到快動(dòng)態(tài)過程的定性分析

針對(duì)前文所描述的鎖相環(huán)與發(fā)電機(jī)功角動(dòng)態(tài)交互的場(chǎng)景，基于幾何奇異攝動(dòng)理論［36］，附錄C 中的定理C1 對(duì)鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)耦合的過程進(jìn)行了理論解釋。

由該定理可知，如果發(fā)電機(jī)功角δg在逼近折點(diǎn)F之前速度未減為0，那么系統(tǒng)軌跡將越過折點(diǎn)F，且在F點(diǎn)足夠小的領(lǐng)域內(nèi)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程將從式（4）所描述的慢動(dòng)態(tài)過程跳躍到式（5）所描述的快動(dòng)態(tài)過程。也即，系統(tǒng)軌跡Sa，ε沿著Vq=0 的穩(wěn)定分支Sa越過折點(diǎn)F之后，鎖相環(huán)輸出角度θp幾乎總是以遠(yuǎn)快于發(fā)電機(jī)功角變化的速度增大，而發(fā)電機(jī)功角δg變化較小。下一章將進(jìn)一步通過分析折點(diǎn)F處的一些性質(zhì)，得到鎖相環(huán)對(duì)發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定的影響。

3 鎖相環(huán)失步對(duì)同步發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)的影響機(jī)理

3.1 折點(diǎn)附近同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速的解析分析

在折點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，以折點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的一點(diǎn)作為t=0 時(shí)刻，得到發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速在折點(diǎn)的一個(gè)很小領(lǐng)域內(nèi)的表達(dá)式如式（14）所示。

式中：系數(shù)d1等于t=0 時(shí)刻2TJdωg/dt的值；d2等于t=0 時(shí)刻2εTJ（?Pg/?θp）（dθp/dt）的值；等于t=0時(shí)刻的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速偏差。推導(dǎo)過程與d1和d2的系數(shù)表達(dá)式見附錄E。

根據(jù)式（14），軌跡穿過附錄C 圖C2（a）所示的折點(diǎn)F附近區(qū)域之后進(jìn)入折點(diǎn)F的右側(cè)區(qū)域時(shí)，有以下兩種情況：

情況1：當(dāng)折點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)d2＞0 時(shí)，越過折點(diǎn)后同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速減小。若d1＞0，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速先增大后減?。蝗鬱1＜0，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速單調(diào)減小。

情況2：當(dāng)折點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)d2＜0 時(shí)，軌跡越過折點(diǎn)后發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速增大。若d1＞0，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速單調(diào)增大；若d1＜0，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速先減小后增大。

基于2.3 節(jié)的分析，軌跡越過折點(diǎn)后鎖相環(huán)輸出角增加，故dθp/dt＞0。折點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)dωg/dt的符號(hào)與?Pg/?θp的符號(hào)確定了d1和d2的負(fù)荷，決定了軌跡越過折點(diǎn)后發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速的變化趨勢(shì)。

忽略線路電導(dǎo)和PCC 處并聯(lián)負(fù)荷，得到?Pg/?θp的表達(dá)式（15）。由于函數(shù)的連續(xù)性，?Pg/?θp的符號(hào)在折點(diǎn)的小領(lǐng)域內(nèi)與折點(diǎn)處同號(hào)，則可以用折點(diǎn)處?Pg/?θp的符號(hào)來近似表征其領(lǐng)域內(nèi)的性質(zhì)。而且基于式（15），?Pg/?θp=0 得到θp-δg-?I=2kπ，k取整數(shù)。那么在θp-δg平面上，折點(diǎn)右上側(cè)的區(qū)域與折點(diǎn)處的?Pg/?θp保持同號(hào)。因此，可以用折點(diǎn)處的靈敏度?Pg/?θp估計(jì)其右側(cè)軌跡的性質(zhì)。

當(dāng)折點(diǎn)處?Pg/?θp＞0時(shí)，折點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)d2＞0，那么對(duì)應(yīng)于上述情況1，軌跡越過折點(diǎn)后發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速減小，有助于發(fā)電機(jī)恢復(fù)功角穩(wěn)定。當(dāng)折點(diǎn)處?Pg/?θp＜0時(shí)，折點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)d2＜0，那么對(duì)應(yīng)于上述第2 種情況，軌跡越過折點(diǎn)后發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速增加，功角更容易失穩(wěn)。

兩種情況的示例分別如圖3（b）和（d）所示，其中比較了近似解式（14）與數(shù)值解，也驗(yàn)證了近似解和基于近似解分析的正確性。圖3（b）和（d）的轉(zhuǎn)速曲線分別對(duì)應(yīng)于圖3（a）和（c）中折點(diǎn)右側(cè)領(lǐng)域的綠色加粗實(shí)線軌跡。圖3（a）和（c）中藍(lán)色線表示軌跡，藍(lán)色點(diǎn)表示平衡點(diǎn)，紅色點(diǎn)表示折點(diǎn)，紫色虛線表示Vq=0 的解。本文后續(xù)圖中的藍(lán)色點(diǎn)和紅色點(diǎn)表示相同的含義。

圖3 越過折點(diǎn)F 之后的軌跡Fig.3 Trajectory after crossing fold point F

在圖3（b）的示例中，d2＞0，d1＜0，根據(jù)式（14），轉(zhuǎn)速為單調(diào)減小。轉(zhuǎn)速減小到小于1.0 p.u.之后功角也減小，故發(fā)電機(jī)功角恢復(fù)穩(wěn)定。在圖3（d）的示例中，折點(diǎn)右側(cè)領(lǐng)域d2＜0，d1＞0，根據(jù)式（14），轉(zhuǎn)速為單調(diào)增加。在折點(diǎn)左側(cè)領(lǐng)域，d2＜0，d1＜0，根據(jù)式（14），轉(zhuǎn)速為先減小再增加。因此，軌跡從折點(diǎn)左側(cè)到折點(diǎn)右側(cè)領(lǐng)域時(shí)，轉(zhuǎn)速經(jīng)歷先減小再增加的過程。折點(diǎn)左側(cè)領(lǐng)域的轉(zhuǎn)速軌跡未在圖3 中畫出，可以從后文更加完整的轉(zhuǎn)速曲線中得到驗(yàn)證。

3.2 鎖相環(huán)簡(jiǎn)化為代數(shù)方程的局限性

根據(jù)3.1 節(jié)對(duì)折點(diǎn)右側(cè)領(lǐng)域內(nèi)同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速的分析，變流器失去平衡點(diǎn)并非單一地惡化同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定。簡(jiǎn)單將鎖相環(huán)簡(jiǎn)化為代數(shù)方程，難以解釋如圖3（a）和（b）所示的情況1 的機(jī)理。

以附錄D 表D1 中的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)1 為例，通過對(duì)數(shù)值解物理意義的分析，說明情況1 下軌跡越過折點(diǎn)后較長(zhǎng)一段時(shí)間的物理過程。發(fā)電機(jī)的慣性時(shí)間常數(shù)為3.4 s，發(fā)電機(jī)等值內(nèi)阻抗為0.05 p.u.，等值內(nèi)電勢(shì)為1.1 p.u.，D=10 p.u.，Pm=3 p.u.。鎖相環(huán)參數(shù)kp=80 p.u./s，ki=1 800 p.u./s2，ε=0.003 68，I3=5 p.u.，?3=0。故障切除后，系統(tǒng)軌跡在θp-δg平面上的投影如圖3（a）中藍(lán)色線所示。發(fā)電機(jī)的電磁功率Pg先增大再減少，如圖4（a）所示，其中紅色虛線表示附錄C 圖C2（a）中折點(diǎn)F左邊部分Vq=0 的解Sa，斜線陰影部分表示θp增大過程中所“額外”增加的 減 速 面 積。此 時(shí)，折 點(diǎn)F的 坐 標(biāo)（，）=（2.801 76，2.111 98），在折點(diǎn)處?Pg/?θp=1.944 44＞0，其靈敏度變化曲線如圖4（b）所示。因此，軌跡越過折點(diǎn)F時(shí)發(fā)電機(jī)的電磁功率Pg也短時(shí)增加，形成了圖4（a）中的陰影區(qū)域。其物理意義可以解釋為鎖相環(huán)輸出角度的快速增加對(duì)發(fā)電機(jī)電磁功率的影響，改變了同步發(fā)電機(jī)功角的減速面積。

圖4 動(dòng)態(tài)相互作用對(duì)發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定的影響：類型1Fig.4 Influence of dynamic interaction on power angle stability of generators:type 1

當(dāng)故障更加嚴(yán)重時(shí)，鎖相環(huán)輸出角度θp增大過程中所“額外”增加的減速面積也不足以使發(fā)電機(jī)功角減速，發(fā)電機(jī)才可能失去功角穩(wěn)定。在圖4（a）示例的基礎(chǔ)上，增加故障持續(xù)時(shí)間得到圖4（c）所示曲線，其中θp增大過程中對(duì)應(yīng)的發(fā)電機(jī)減速面積為藍(lán)色陰影部分，對(duì)應(yīng)的加速面積為紅色陰影部分。雖然軌跡越過折點(diǎn)F之后，減速面積增大，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速ωg迅速降低（對(duì)應(yīng)于圖4（d）中δg=2.8 rad），但ωg并未恢復(fù)到同步轉(zhuǎn)速1 p.u.。隨后電磁功率減小，加速面積進(jìn)一步增大，發(fā)電機(jī)很快失去同步。但是，此時(shí)失穩(wěn)的臨界狀態(tài)卻沒有對(duì)應(yīng)的“不穩(wěn)定平衡點(diǎn)”或者“主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)”。

3.3 同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定受鎖相環(huán)制約的條件

3.1 節(jié)分析中的情況2 的失穩(wěn)現(xiàn)象體現(xiàn)了鎖相環(huán)對(duì)同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定性的制約，因?yàn)殒i相環(huán)動(dòng)態(tài)過程惡化了發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定，鎖相環(huán)失穩(wěn)與同步發(fā)電機(jī)功角失穩(wěn)幾乎同時(shí)發(fā)生。因此，在折點(diǎn)F處?Pg/?θp＜0 成為同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定受鎖相環(huán)制約的條件。

將網(wǎng)絡(luò)參數(shù)Z2減小到1/6 p.u.，見附錄D 表D1中的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)2。在折點(diǎn)處?Pg/?θp=-0.653 846 ＜0。系統(tǒng)軌跡在θp-δg平面上的投影如圖3（c）中藍(lán)色線所示，在其他平面上的投影如圖5 所示。圖3（c）中A點(diǎn)到B點(diǎn)之間的軌跡段對(duì)應(yīng)于圖5 中紅色方框里的部分。

圖5 動(dòng)態(tài)相互作用對(duì)發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定的影響：類型2Fig.5 Influence of dynamic interaction on power angle stability of generators:type 2

故障期間，發(fā)電機(jī)功角δg增大。故障切除后，軌跡經(jīng)過A點(diǎn)之后功角δg開始減速并回?cái)[，如圖5（a）和（b）所示。但在軌跡經(jīng)過B點(diǎn)之后，功角又開始加速增大，并且發(fā)電機(jī)功角失穩(wěn)。在從A點(diǎn)到B點(diǎn)這一過程中，注意到兩點(diǎn)特征：1）發(fā)電機(jī)功角軌跡在AB段之間有恢復(fù)穩(wěn)定的趨勢(shì)，如圖5（b）和（c）所示，ωg＜1.0 p.u.滿足發(fā)電機(jī)穩(wěn)定判據(jù)；2）功角δg的變化很小，而鎖相環(huán)輸出角度θp變化范圍較大。圖5（c）表明，盡管功角在AB段中回?cái)[，但功率卻仍然往下跌落，與傳統(tǒng)交流系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)的功角-功率曲線不同。圖5（d）說明，這個(gè)現(xiàn)象的原因是鎖相環(huán)輸出角度快速增大，且發(fā)電機(jī)的電磁功率對(duì)鎖相環(huán)輸出角度的靈敏度是負(fù)數(shù)，導(dǎo)致發(fā)電機(jī)電磁功率快速減小，功角從減速變成加速。 因此，折點(diǎn)處?Pg/?θp＜0 時(shí)，越過折點(diǎn)F之后，鎖相環(huán)輸出角度增大的動(dòng)態(tài)過程成為功角失穩(wěn)的一個(gè)主要原因。

4 算例分析與驗(yàn)證

在PSCAD/EMTDC 上搭建如附錄F 圖F1 所示的電路對(duì)上述分析進(jìn)行仿真驗(yàn)證。逆變側(cè)變流器外環(huán)采用定交流電壓控制和定直流電壓控制，整流側(cè)采用有功功率控制和無功功率控制。假設(shè)故障期間直流回路的卸荷耗能電路維持直流電壓的穩(wěn)定。在故障期間，逆變站PCC 處電壓跌落，觸發(fā)低電壓穿越控制模塊。此時(shí)，根據(jù)電網(wǎng)導(dǎo)則要求，為了支撐交流電壓，有功電流指令值等于零，無功電流指令值等于逆變站允許的最大電流-imax。鎖相環(huán)PI環(huán)節(jié)的比例系數(shù)kp和積分增益ki分別為80 p.u./s 和1 800 p.u./s2，帶寬約等于16.16 Hz，阻尼比ξ約等于0.94［28，37］。發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)換算到100 MW 的基準(zhǔn)值下為17 s，式（3）中的ε=0.000 74，其他參數(shù)見附錄D。

4.1 算例1：鎖相環(huán)簡(jiǎn)化為代數(shù)方程的局限性驗(yàn)證

穩(wěn)態(tài)時(shí)，Pm=2.0 p.u.，I3=5.39 p.u.，?3=0.38 rad，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為附錄D 表D1 中網(wǎng)絡(luò)參數(shù)1。該條件屬于圖3 中的情況1。在0.01 s 時(shí)刻，發(fā)電機(jī)出口處母線發(fā)生三相接地短路瞬時(shí)故障。故障持續(xù)時(shí)間0.245 s 時(shí)，折點(diǎn)附近的軌跡見附錄F 圖F2 陰影部分。在這段時(shí)間內(nèi)，PCC 處電壓跌落嚴(yán)重，鎖相環(huán)因此失去平衡點(diǎn)。角速度ωp快速增大，迅速達(dá)到了上限值1.2 p.u.，導(dǎo)致鎖相環(huán)輸出角θp快速增大，而發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速逐漸減小。發(fā)電機(jī)功角δg變化較小，但發(fā)電機(jī)電磁功率快速增大，它與θp快速增大同時(shí)發(fā)生，驗(yàn)證了本文3.2 節(jié)的分析：?Pg/?θp＞0 時(shí)，θp增大初期提供的發(fā)電機(jī)P-δ平面上的“減速面積”有利于發(fā)電機(jī)保持功角穩(wěn)定。

當(dāng)故障持續(xù)時(shí)間增加至0.37 s 時(shí)，同步發(fā)電機(jī)才出現(xiàn)功角失穩(wěn)，見附錄F 圖F3。θp快速增大導(dǎo)致的減速面積增加效應(yīng)仍然不足以使發(fā)電機(jī)功角回?cái)[。

4.2 算例2：同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定受鎖相環(huán)制約條件的驗(yàn)證

減小變流器與無窮大系統(tǒng)之間的等值線路阻抗至1/6 p.u.。穩(wěn) 態(tài) 時(shí)，Pm=2.0 p.u.，I3=5.15 p.u.，?3=0.3 rad。該條件屬于圖3 中的第2 種情況。0.01 s 時(shí)刻發(fā)生三相短路瞬時(shí)故障，故障持續(xù)時(shí)間0.385 s，鎖相環(huán)和同步發(fā)電機(jī)都發(fā)生了失穩(wěn)，折點(diǎn)附近軌跡見附錄F 圖F4 陰影部分。但是，系統(tǒng)軌跡越過折點(diǎn)之后表現(xiàn)出了與算例1 不同的特征。同步發(fā)電機(jī)電磁功率Pg在越過折點(diǎn)后繼續(xù)下降，然后才有小幅度的回升。鎖相環(huán)的快速動(dòng)態(tài)沒有立刻給發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)起到減速的作用。如果故障持續(xù)時(shí)間從0.385 s 減少到0.384 s，發(fā)電機(jī)和鎖相環(huán)都能保持穩(wěn)定，沒有算例1 中變流器失去平衡點(diǎn)而發(fā)電機(jī)功角恢復(fù)穩(wěn)定的狀態(tài)。

折點(diǎn)附近?Pg/?θp＜0，可以在接近折點(diǎn)F時(shí)給鎖相環(huán)輸出角θp施加-1 rad 的擾動(dòng)來觀察。0.58 s 在鎖相環(huán)輸出施加擾動(dòng)-1 rad，持續(xù)時(shí)間0.02 s。如圖6 中紅色線所示，施加-1 rad 的擾動(dòng)后，發(fā)電機(jī)電磁功率短時(shí)上升，說明?Pg/?θp＜0。而且，擾動(dòng)之后發(fā)電機(jī)功角從折點(diǎn)位置開始回?cái)[，θp也恢復(fù)了穩(wěn)定，驗(yàn)證了本文3.3 節(jié)的分析：?Pg/?θp＜0 時(shí)，變流器失去平衡點(diǎn)對(duì)發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定有惡化的作用。

圖6 鎖相環(huán)擾動(dòng)對(duì)發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定的影響Fig.6 Influence of PLL disturbance on generator power angle stability

5 結(jié)語(yǔ)

本文分析了鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)交互的條件，揭示了變流器失去平衡點(diǎn)對(duì)同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)功角穩(wěn)定性的影響機(jī)理。本文的結(jié)論如下：

1）在故障后系統(tǒng)恢復(fù)階段，發(fā)電機(jī)功角擺開過大可能使得變流器失去平衡點(diǎn)，導(dǎo)致鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)過程耦合。尤其在含有高比例電力電子設(shè)備和較小容量同步發(fā)電機(jī)的系統(tǒng)中，這種耦合更容易主導(dǎo)功角穩(wěn)定域的邊界。因此，研究高比例新能源電力系統(tǒng)的暫態(tài)功角穩(wěn)定需要考慮鎖相環(huán)的影響。

2）根據(jù)折點(diǎn)附近鎖相環(huán)輸出角度變化對(duì)發(fā)電機(jī)電磁功率的靈敏度符號(hào)，鎖相環(huán)與發(fā)電機(jī)的交互作用可分為兩種類型：（1）鎖相環(huán)輸出角的快速變化為發(fā)電機(jī)提供了額外的減速面積，在一定程度上改善了發(fā)電機(jī)的暫態(tài)功角穩(wěn)定性；（2）鎖相環(huán)輸出角的快速變化惡化了發(fā)電機(jī)的暫態(tài)功角穩(wěn)定。鎖相環(huán)對(duì)同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定的制約體現(xiàn)在第2 種類型，因此，對(duì)于功角穩(wěn)定性分析需要著重考慮第2 種類型。該結(jié)論對(duì)研究含電壓源型變流器和同步發(fā)電機(jī)的電力系統(tǒng)的功角穩(wěn)定邊界條件、在線穩(wěn)定評(píng)估等具有參考意義。

3）本文探討了鎖相環(huán)與同步發(fā)電機(jī)之間的非線性現(xiàn)象。由于在解析分析時(shí)截?cái)嗔巳A及以上的高階項(xiàng)，然后結(jié)合數(shù)值計(jì)算現(xiàn)象對(duì)解析結(jié)果進(jìn)行了推廣，本文分析結(jié)論適用于鎖相環(huán)失穩(wěn)后的短暫時(shí)間。同時(shí)，如果鎖相環(huán)失穩(wěn)時(shí)間較長(zhǎng)也會(huì)觸發(fā)繼電保護(hù)動(dòng)作導(dǎo)致變流器閉鎖。此外，本文的研究基于單個(gè)變流器聚合模型和單個(gè)發(fā)電機(jī)模型。對(duì)于更復(fù)雜的多變流器和多機(jī)系統(tǒng)，本文的結(jié)論是否需要修正仍需要進(jìn)一步研究。

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