勇闖中考的“三數(shù)”關(guān)

文／胡煥過(guò)

數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度是中考數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)內(nèi)容。隨著考查的不斷深入，此類(lèi)問(wèn)題的創(chuàng)新性、綜合性也更強(qiáng)，出現(xiàn)了一批背景豐富、考點(diǎn)全面、題型新穎、貼近生活的題型。下面，我們就一起走入2022年中考現(xiàn)場(chǎng)。

“三數(shù)”，即平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，從不同的角度給我們提供了一組數(shù)據(jù)的面貌特征。正因?yàn)槿绱?，我們把這三個(gè)數(shù)作為一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的代表。

考點(diǎn)1 平均數(shù)的應(yīng)用

例1（2022·浙江杭州）某校學(xué)生會(huì)要在甲、乙兩位候選人中選擇一人擔(dān)任文藝部干事，對(duì)他們進(jìn)行了文化水平、藝術(shù)水平、組織能力的測(cè)試，根據(jù)綜合成績(jī)擇優(yōu)錄取。他們的各項(xiàng)成績(jī)（單項(xiàng)滿(mǎn)分100分）如表所示：

候選人甲 乙文化水平80分80分藝術(shù)水平87分96分組織能力82分76分

（1）如果把各項(xiàng)成績(jī)的平均數(shù)作為綜合成績(jī)，應(yīng)該錄取誰(shuí)？

（2）如果想錄取一名組織能力較強(qiáng)的候選人，把文化水平、藝術(shù)水平、組織能力三項(xiàng)成績(jī)分別按照20%、20%、60%的比例計(jì)入綜合成績(jī)，應(yīng)該錄取誰(shuí)？

【分析】（1）根據(jù)題意，求這組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，再通過(guò)比較大小作出決策；（2）與（1）有區(qū)別，文化水平、藝術(shù)水平、組織能力三項(xiàng)成績(jī)的重要程度不相同，分別占20%、20%、60%。我們把衡量各個(gè)數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值稱(chēng)為“權(quán)”。根據(jù)題意，這一問(wèn)求的是這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，再通過(guò)比較大小作出決策。

解：（1）甲的綜合成績(jī)?yōu)?83（分），乙的綜合成績(jī)?yōu)?4（分）。因?yàn)橐业木C合成績(jī)比甲的高，所以應(yīng)該錄取乙。

（2）甲 的 綜 合 成 績(jī) 為80×20%+87×20%+82×60%=82.6（分），乙的綜合成績(jī)?yōu)?0×20%+96×20%+76×60%=80.8（分）。因?yàn)榧椎木C合成績(jī)比乙的高，所以應(yīng)該錄取甲。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的概念和熟練掌握兩者的計(jì)算公式。

考點(diǎn)2 中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用

例2（2022·河北）五名同學(xué)捐款數(shù)分別是5，3，6，5，10（單位：元），捐10元的同學(xué)后來(lái)又追加了10元。追加后的5個(gè)數(shù)據(jù)與之前的5個(gè)數(shù)據(jù)相比，集中趨勢(shì)相同的是（ ）。

A.只有平均數(shù)

B.只有中位數(shù)

C.只有眾數(shù)

D.中位數(shù)和眾數(shù)

【分析】分別計(jì)算前后數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，比較即可得出答案。

解：追加前，平均數(shù)為

從小到大排列為3，5，5，6，10，則中位數(shù)為5。5出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為5。

追加后，平均數(shù)為

從小到大排列為3，5，5，6，20，則中位數(shù)為5。5出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為5。

綜上，中位數(shù)和眾數(shù)都沒(méi)有改變。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的運(yùn)用。我們要注意以下幾點(diǎn)：（1）求平均數(shù)需要全組所有數(shù)據(jù)，其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)變動(dòng)。平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的總體水平，易受極端值的影響。（2）求中位數(shù)需要把數(shù)據(jù)先按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則處于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響，中位數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平，不易受極端值的影響。（3）眾數(shù)與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，結(jié)果可以不唯一。眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平，不易受極端值的影響。