基于開裂荷載為界點的混凝土應力-應變關系新表達

郭建博 ，楊陽 ，董蕓秀

(1. 隴東學院 土木工程學院，甘肅 慶陽 745000；2. 甘肅省高校黃土工程性質及工程應用省級重點實驗室，甘肅 慶陽 745000)

作為本構關系的應力-應變方程是材料最基本的物理方程，對其結構承載力計算、延性分析和受力全過程模擬具有重要意義。目前，混凝土常用的受壓應力-應變關系大多采用分段表達的形式，且以強度峰值為界。例如規(guī)范中采用的曲線[1]，以及HOGNESTAD等[2-5]提出的曲線。然而，如此分段描述盡管與試驗結果符合較好，但可能給正截面受彎承載力計算帶來麻煩，尤其是在多種材料共同工作時，計算分析過于復雜，這給研究及應用帶來麻煩。為了簡化混凝土梁正截面受彎承載力的計算過程，本文探索一種應力-應變關系分段表達新方式——以混凝土開裂作為分界點，在承載力極限狀態(tài)，無需考慮混凝土的應變是否過了強度峰值，因而可以采用統(tǒng)一的函數(shù)式進行計算，這種新的分段表達式用于多種材料共同工作的情形將簡化承載力計算過程。實際工程中，碳纖維增強復合材料(CFRP)由于具有輕質、高強的優(yōu)點[6]，廣泛應用于工程加固中。采用CFRP對鋼筋混凝土結構進行抗彎加固，目前主要使用膠粘劑將纖維片材粘貼在構件上(圖1)，實現(xiàn)兩者共同受力，該方法簡便、高效，經(jīng)驗證，CFRP加固鋼筋混凝土梁的承載能力得以大大提高[7]。然而，使用傳統(tǒng)應力-應變方程對其承載力進行計算過程較為復雜。本研究基于上述背景，將所提分段應力-應變曲線應用于CFRP加固鋼筋混凝土受彎構件正截面承載力分析中，驗證新曲線的合理性和適用性，為CFRP加固混凝土梁的承載力計算提供理論指導。

1 混凝土受壓應力-應變關系的特點

混凝土受壓時的應力-應變關系，通常認為具有下列特點[4]：

1) 曲線通過原點；

2) 曲線最高點對應混凝土單軸抗壓強度；

3) 曲線最高點處的切線為水平線，即曲線最高點處的斜率等于0；

4) 曲線過了直線段后的上升段的斜率逐漸減小，即曲線的2階導數(shù)小于0；

5) 曲線原點切線的斜率對應受壓混凝土的原點模量，其值不應小于混凝土的彈性模量。

典型曲線如圖2所示，圖中C點為曲線頂點，D點為下降段處曲線拐點，E點為下降段曲率最大點。

為了尋求應力-應變關系的數(shù)學表達式，已有不少學者提出了不同的曲線方程，如圖3所示[5]。

鑒于混凝土受壓應力-應變曲線形狀的復雜性，很難采用統(tǒng)一的連續(xù)函數(shù)進行全過程描述，若不顧及應變很大時曲線走向的變化，DESAYI等提出的方程式是可行的[5]，但其中包含的有理分式和指數(shù)形式均不便于積分運算和分析求解。此外，CHEN等[8]所提曲線為三角函數(shù)形式，積分過程雖簡便，但承載力的求解過程仍較為繁瑣。

目前更普遍的做法是分段表達，且分界點都取在強度峰值處，如HOGNESTAD等[2-5]所提曲線。這樣做的共同缺點在于，對受彎構件正截面承載力進行理論分析時，彎曲破壞極限狀態(tài)若不以混凝土壓碎為標志(例如CFRP加固鋼筋混凝土梁發(fā)生CFRP拉斷破壞時)，受壓區(qū)合力大小及位置坐標必須根據(jù)邊緣壓應變是否超過ε0而采取不同的表達式，因此計算不夠方便。

圖3中各曲線在上升段實際上差別不大，過強度峰值后則不然，RUSCH[4]提出的關系式甚至沒有下降段，到達強度后為一水平直線。之所以這種差異能被接受，是因為下降段的走向對承載力計算的結果影響不大，所以規(guī)范采用等效矩形圖也是可行的。

2 以開裂為界的分段表達新方式

現(xiàn)有應力-應變曲線大多僅滿足了混凝土應力應變曲線一般特征的前4條，而最后一條混凝土的原點模量不應小于其彈性模量并未滿足(此結論通過數(shù)學求導的方法求得原點處切線模量，將之與彈性模量相比得出[9])，這說明一些常用曲線仍然不能精確描述混凝土受壓應力-應變關系。

鑒于此，在允許下降段存在誤差的情況下，本文提出一組完全滿足混凝土受壓應力-應變關系曲線一般特征的新方程。

新方程對混凝土應力-應變關系仍然采取分段描述的方式，不同于以往的做法是以開裂為界，混凝土出現(xiàn)裂縫前采用線彈性關系，開裂后采用二次函數(shù)曲線，不僅考慮了混凝土的適應性，同時也可用作裂縫預判。

通過擬合，混凝土應力-應變關系前段近似采用直線描述，可以減少受力全過程早期模擬的工作量；后期不在強度峰值處分段，能夠簡化正截面受彎承載力計算，原因是彎曲破壞極限狀態(tài)不以混凝土壓碎為標志時，受壓區(qū)合力大小及位置可以采用統(tǒng)一算式，不必根據(jù)邊緣壓應變是否超過ε0而采取不同算式。

混凝土通常在應力達到(0.4～0.5)fc時開裂，偏低選取開裂點應力為0.4fc，此前采用直線段可以較好描述混凝土開裂前的應力-應變關系。

如前所述，對下降段的精度要求可以適當放松，通過查閱文獻，并觀察大多經(jīng)典曲線的走向，最終根據(jù)不同的混凝土等級，使極限應變時抗壓強度值處于(0.50～0.65)fc之間。

對常用曲線進行擬合，并根據(jù)開裂點以及曲線的一般條件探索了易于進行計算的二次曲線，以開裂為界的混凝土受壓應力-應變關系曲線的表達新方式如下：

其中：E為混凝土的彈性模量(同混凝土2014規(guī)范中取值)；fc為混凝土立方體抗壓強度代表值，令計算所得值見表1。二次方程曲線系數(shù)a，b和c則根據(jù)混凝土受壓應力應變曲線的一般特點通過計算得到，其取值為

表1 曲線中的系數(shù)取值Table 1 Value of coefficients in the curve

式中：x表示應變與峰值應力相應應變的比值；y表示應力與峰值應力的比值，即x=ε/ε0，y=σ/fc；混凝土軸心抗壓強度代表值fc=0.76fcu，其中fcu取為混凝土立方體軸心抗壓強度平均值；峰值應變ε0取為0.002；極限應變εcu取為0.003 3。

曲線的直線段斜率與彈性模量成正比，因此可根據(jù)不同等級混凝土所對應的彈性模量分別取值，從而使該曲線實用性大大增加。由于高強混凝土的性能往往有所不同，故此處僅分析強度等級不超過C50的普通混凝土。

在直線與二次曲線的分界點處，雖然曲線的斜率發(fā)生了微小改變，但這與混凝土開裂時剛度存在變化這一點相符合，即使曲線在此處不光滑也并無太大影響。為方便計算查閱、簡化計算工作量，本文對C15～C50強度混凝土的曲線系數(shù)取值列于表1。

為了研究新曲線的可取性，將新曲線與經(jīng)典曲線進行對比，如圖4所示。

鑒于經(jīng)典曲線的下降段差異較大，因此將以強度等級為C30混凝土為例的新曲線與經(jīng)典曲線在上升段取6點(x=0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0)，將應力與峰值應力的比值進行對比。經(jīng)過計算，新曲線與DESAYI，RUSCH，HOGNESTAD，SAHLIN和YOUNG曲線誤差平均值分別為-0.94%，2.55%，2.55%，-4.35%，7.93%。其中，新曲線與DESAYI，RUSCH及HOGNESTAD曲 線 在 上 升 段 取值相差極小，與SAHLIN與YOUNG曲線在取值點處的誤差在可接受范圍內，從而驗證了該曲線與經(jīng)典曲線總體上差異不大。新曲線下降段與HOGNESTAD非常接近，這同時說明了該曲線下降段的合理性。

3 新關系式在CFRP加固梁正截面承載力計算中的應用

3.1 概述

外貼式CFRP加固鋼筋混凝土梁的彎曲破壞在CFRP黏貼長度足夠長、端部錨固可靠時發(fā)生，以混凝土壓碎或CFRP拉斷為極限狀態(tài)標志，如圖3所示。此時存在3種可能的彎曲破壞形式：鋼筋屈服前混凝土壓碎；鋼筋屈服后混凝土壓碎；鋼筋屈服后CFRP拉斷[10-12]，分別記為破壞形態(tài)a，b和c。本文所提新曲線對于3種破壞形態(tài)的受彎承載力均適用。其中破壞形態(tài)c是目前外貼式CFRP加固混凝土梁彎曲破壞的主要形式，其發(fā)生不以混凝土壓碎為標志，此時采用本文提出的新關系式將給相應受彎承載力計算帶來方便，簡化計算量。

對于CFRP外貼加固鋼筋混凝土梁，在抗彎承載力的計算過程中，所作基本假定有5點：

1) 平截面假定；

2) 受拉區(qū)混凝土不承擔拉應力；

3) CFRP的應力-應變關系為線彈性，拉應力σf的函數(shù)表達式為σf=Efεf；

4) CFRP與混凝土之間黏結可靠，無滑移；混凝土的應力應變曲線取為新曲線；

5) 鋼筋的應力表達式如下：

當0≤εs≤εy時，σs=Esεs，εy=fy/Es；當εs≤εy時，σs=fy。

根據(jù)以上基本假定，并考慮這種破壞形態(tài)的特點，可得出如下應力-應變關系：εc＜εcu；εs=εy；σs=fy；εf=εfu；σf=Efεfu。

同時，根據(jù)平截面假定和無滑移假定，有：

CFRP加固梁截面應力-應變分布如圖6所示，由力和彎矩的平衡條件得：

根據(jù)曲線進行積分得到式(3)中C的計算公式，從而推導出受彎承載力Mu的具體計算公式。分別采用常用曲線：過鎮(zhèn)海曲線和新曲線來得到受彎承載力Mu。

3.2 采用過鎮(zhèn)海關系式的計算

為了使新曲線推導出的結果更具說服力，首先介紹常規(guī)做法：依據(jù)常用的過鎮(zhèn)海曲線推導得出受彎承載力。接著，將使用新曲線得出的受彎承載力與之進行對比。

過鎮(zhèn)海曲線表達式[13-14]如下：

表2 過鎮(zhèn)海全曲線方程參數(shù)的選用Table 2 Selection table of equation parameter of Zhenhai Guo’s curve

CFRP拉斷時，混凝土的應變εc可能還未達到峰值應變，也可能超過峰值應變但未達到極限應變，因此對過鎮(zhèn)海曲線這種以峰值應變?yōu)榻绲姆侄伪磉_需考慮這2種情況分別進行討論。

過鎮(zhèn)海曲線所提應力應變關系分兩端用不同的函數(shù)式表達，故需根據(jù)受壓區(qū)邊緣應變的大小，分2種情況通過積分來得到式(6)和式(7)所示的C和yc的計算公式[11,15]。

當εc≤ε0時

考慮式(2)，根據(jù)式(6)和式(3)，可得出x0和εc。接著根據(jù)x0求得yc，然后代入式(4)中求得Mu。由于εc未知，故采用過鎮(zhèn)海曲線分析承載力時需分2種情況進行積分計算，其過程較為復雜和困難。

3.3 采用本文新關系式的計算

本文新曲線可用于計算FRP加固梁在破壞形態(tài)a，b和c時的受彎承載力。其中，當彎曲破壞極限狀態(tài)不以混凝土壓碎為標志時，即破壞形態(tài)c，新曲線可簡化正截面受彎承載力的計算。本節(jié)以新曲線為依據(jù)，推導此時受彎承載力的算式，并與用過鎮(zhèn)海建議的曲線推導得出的公式和試驗結果進行分析對比，以驗證其準確性。

由于新關系曲線在混凝土開裂后采用一個表達式，故求解時無需分εc≤ε0和ε0＜εc≤εcu2種情況進行積分計算，僅用一個表達式即可。

參照3.2中的步驟，通過積分來求得C和yc，分別如式(10)和式(11)所示。

其中，令

式中：εa為曲線分界點處混凝土的應變值(與式(1)相對應，其大小為0.4/k)，根據(jù)不同的混凝土強度而變化，取值見表3。

表3 分段處應變εa取值Table 3 Value of εa in sectional position

考慮式(2)，將式(10)代入式(3)，并根據(jù)不同混凝土強度的εa值，可解出x0及εc。

接著求得yc，再代入式(4)求得極限彎矩Mu。

運用本文探索的混凝土應力-應變關系求解極限彎矩，計算積分無需分段，較規(guī)范及現(xiàn)有常用的分段曲線進行計算更為方便。

3.4 計算結果比較

為驗證上述根據(jù)新曲線推導出的受彎承載力公式，通過查閱其他研究者的相關文獻，從有限的試驗資料中除去發(fā)生剪切破壞及黏結破壞的試件，得到12根混凝土梁以及外貼式CFRP加固梁彎曲破壞形態(tài)的試驗數(shù)據(jù)[16-18]。

采用由本文新曲線推導出的受彎承載力公式進行計算，同時與過鎮(zhèn)海曲線得到的計算結果和試驗所得數(shù)據(jù)產生對比，結果見表4。

表4 加固試驗梁極限荷載計算值與實測值比較Table 4 Compare calculative value with ultimate value of ultimate load in reinforcement test

結果表明，運用新曲線計算得出的試驗梁極限荷載計算值與過鎮(zhèn)海曲線計算得出的結果及實測值差別均不大，且與實測值之比的誤差平均值為1.75%，采用過鎮(zhèn)海曲線計算得出的結果與實測值之比的平均值為2.91%，說明根據(jù)梁的破壞形態(tài)采用本文曲線進行計算所得的承載力與試驗結果比較吻合。

4 結論

1) 本文探索的曲線滿足混凝土受壓時應力-應變關系的一般特點，適用于C50及以下各種強度的普通混凝土。

2) 運用新的混凝土受壓應力-應變關系曲線，推導CFRP外貼加固鋼筋混凝土梁的彎曲破壞時不以混凝土壓碎為標志的破壞形態(tài)(鋼筋屈服后CFRP拉斷)的承載力公式，較采用常用分段曲線——過鎮(zhèn)海所提曲線推導出的承載力公式更為簡便。

3) 將基于新曲線得到的受彎承載力公式相關試驗所得的數(shù)據(jù)分別進行對比，結果吻合較好，表明本文所提曲線適用于CFRP外貼加固混凝土承載力計算。