“自動(dòng)控制原理”難點(diǎn)知識(shí)的背景教學(xué)法

孫明瑋，孫 月，陳增強(qiáng)

（南開大學(xué)人工智能學(xué)院 天津 300350）

自動(dòng)化專業(yè)是一個(gè)與各個(gè)具體工業(yè)行業(yè)都有緊密聯(lián)系的通用專業(yè)，包括航空航天、機(jī)械、化工、電力、冶金、汽車等國(guó)民經(jīng)濟(jì)和國(guó)防安全領(lǐng)域的支柱行業(yè)都與自動(dòng)化密不可分，因此，自動(dòng)化一直以來都是一個(gè)“萬金油”專業(yè)。自動(dòng)化專業(yè)作為工科專業(yè)的一門相對(duì)抽象學(xué)科，類似于科學(xué)中的數(shù)學(xué)學(xué)科，從不同行業(yè)提煉不同表象問題的共同特征點(diǎn)而加以研究。因此，與“機(jī)械原理”“通信原理”“電路基礎(chǔ)”“模擬電路”等具體行業(yè)存在直觀平臺(tái)依托的基礎(chǔ)課相比，自動(dòng)化專業(yè)的基礎(chǔ)課“自動(dòng)控制原理”的理解難度更大，對(duì)于初學(xué)者來說比較吃力，尤其是對(duì)于沒有任何行業(yè)背景的通用自動(dòng)化專業(yè)學(xué)生而言，難以建立起所學(xué)概念與背景的對(duì)應(yīng)關(guān)系，又不似純粹數(shù)學(xué)那樣與實(shí)際背景徹底脫離。事實(shí)上，從事“自動(dòng)控制原理”教學(xué)的一線教師一直在努力改善相應(yīng)教法，以期提高授課理解效果，并取得了一定成績(jī)[1-3]。筆者長(zhǎng)期從事自動(dòng)控制理論與應(yīng)用的教學(xué)工作，對(duì)上述問題有更深的體會(huì)[4]?！白詣?dòng)控制原理”知識(shí)點(diǎn)比較零散，體系同時(shí)包容近似和解析，對(duì)于初學(xué)者來說難以把握。

上述共性問題的形成是有歷史原因的。由于中華人民共和國(guó)成立初期高等教育一切向蘇聯(lián)學(xué)習(xí)的方針，將各個(gè)工業(yè)學(xué)科中的共同問題集中形成單獨(dú)的自動(dòng)化學(xué)科，這種策略在短期內(nèi)集中培養(yǎng)了國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和國(guó)防安全迫切需要的大批自動(dòng)化專業(yè)人才，具有歷史的積極意義。但是隨著時(shí)代的發(fā)展，特別是進(jìn)入過剩經(jīng)濟(jì)時(shí)代之后，自動(dòng)化人才的培養(yǎng)也呈現(xiàn)出一定的過剩性，自動(dòng)化專業(yè)學(xué)生的就業(yè)熱點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)向計(jì)算機(jī)等新經(jīng)濟(jì)方向，“自動(dòng)控制原理”的授課吸引性進(jìn)一步降低，加上其本身的難度和抽象性，使得課程的講授難度進(jìn)一步提高。歐美的高校中一般沒有單獨(dú)的自動(dòng)化專業(yè)，控制理論課程在各個(gè)行業(yè)專業(yè)作為必修課開設(shè)，因此學(xué)生在掌握行業(yè)對(duì)象特點(diǎn)的同時(shí)，更加有利于深刻掌握自動(dòng)化的一些通用概念，抽象比較容易落地，便于建立物理對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，在現(xiàn)有教學(xué)體制下尋求高效而面向?qū)W生受眾的“自動(dòng)控制原理”難點(diǎn)知識(shí)講解策略，是一個(gè)十分有意義的工作。目前，其他類似比較抽象課程的教學(xué)人員已經(jīng)進(jìn)行了一些有益的嘗試[5-8]。

筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，根據(jù)“自動(dòng)控制原理”誕生的時(shí)代背景，將一些難點(diǎn)和抽象概念嵌入到當(dāng)時(shí)的需求根源上，幫助同學(xué)理解相應(yīng)體系的形成起因。同時(shí)，對(duì)于一些難點(diǎn)概念進(jìn)行了物理本質(zhì)上的剖析，學(xué)生通過進(jìn)行相應(yīng)的Matlab仿真，有利于深刻直觀的理解。通過這些嘗試力圖在目前的教學(xué)環(huán)境背景下幫助學(xué)生有效掌握“自動(dòng)控制原理”的重要概念，同時(shí)通過科技發(fā)展史的講解也給學(xué)生初步展示科技發(fā)展歷程的必然規(guī)律，對(duì)于一些未來將要從事科研事業(yè)的學(xué)生進(jìn)行啟蒙教育。經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐和一代代傳承，“自動(dòng)控制原理”的講授體系已經(jīng)相對(duì)完善，本文歸納的背景教學(xué)法只是一個(gè)增量式完善，強(qiáng)調(diào)少而精和畫龍點(diǎn)睛，避免對(duì)教學(xué)體系的過大影響。最后分析了這種授課法對(duì)于教師的要求。

2 “自動(dòng)控制原理”誕生的歷史背景講解

學(xué)科的重要概念在學(xué)科體系上都具有關(guān)鍵性的支點(diǎn)作用，從而編織成相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)，而了解初創(chuàng)的歷史背景對(duì)于學(xué)生掌握一門課程的整體框架具有十分重要的作用。在教學(xué)過程中根據(jù)調(diào)研資料和積累，給學(xué)生補(bǔ)充介紹相關(guān)歷史背景，不僅有利于幫助學(xué)生宏觀理解整個(gè)課程的脈絡(luò)體系，而且可以極大增強(qiáng)課程的趣味性和吸引力。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，每當(dāng)講到相關(guān)的歷史趣味故事時(shí)，學(xué)生的注意力更加集中，因此要學(xué)會(huì)利用這種機(jī)會(huì)把相關(guān)知識(shí)點(diǎn)附著講授，這樣顯得更加自然。

目前公認(rèn)的控制論開篇之作Cybernetics作者是美國(guó)麻省理工學(xué)院(MIT)的維納(Wiener)教授。專著嚴(yán)格意義上是維納教授在二戰(zhàn)期間于美國(guó)本土定期召開學(xué)術(shù)討論班內(nèi)容的提煉，其中參與者包括數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家、醫(yī)生、通信工程師和火炮工程師等。維納對(duì)于其中的一些共同點(diǎn)特別是反饋的概念進(jìn)行了抽象提煉，形成了現(xiàn)代意義上控制的雛形。但是Cybernetics的出版，當(dāng)時(shí)并沒有引起很大的轟動(dòng)，原因在于維納是個(gè)數(shù)學(xué)家，抽象能力強(qiáng)，但是專著寫出來晦澀難懂，基本沒有多大反響。1950年代當(dāng)時(shí)在美國(guó)彈道導(dǎo)彈和火箭研制機(jī)構(gòu)并且處于學(xué)術(shù)巔峰的錢學(xué)森，是一個(gè)集豐富空氣動(dòng)力學(xué)和飛行控制知識(shí)于一身并且具有深厚工程經(jīng)驗(yàn)的大師，由于受到麥卡錫政策的影響，被迫強(qiáng)制離開尖端國(guó)防科技工業(yè)部門，返回加州理工大學(xué)(Caltec)從事教學(xué)工作。在此期間，錢學(xué)森把在彈道導(dǎo)彈和火箭研制中的相關(guān)動(dòng)力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)流程和當(dāng)時(shí)使用的一些基本設(shè)計(jì)工具進(jìn)行了系統(tǒng)化的整理，形成講義。這就是“工程控制論”或者說“自動(dòng)控制原理”的雛形，“自動(dòng)控制原理”只是去除了其中的空氣動(dòng)力學(xué)部分從而進(jìn)一步抽象化。這一著作避免了Cybernetics過于抽象費(fèi)解缺乏系統(tǒng)性的問題。這段歷史在“自動(dòng)控制原理”的課程中很少有人介紹，但是可以極大地激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。從這段歷史中可以看到錢學(xué)森這樣的偉人，在職業(yè)黃金歲月突遭厄運(yùn)，并不是萎靡不振或者怨天怨地，而是在自己力所能及的范圍內(nèi)繼續(xù)為人類文明進(jìn)步貢獻(xiàn)力量。對(duì)于學(xué)生而言，這樣的處世方式教育自然地融入課程學(xué)習(xí)中，也激發(fā)了學(xué)生對(duì)于后續(xù)專業(yè)課程的好奇心。此外，錢學(xué)森能夠系統(tǒng)集成當(dāng)時(shí)已有的研究成果，并且以深入淺出的形式撰寫和講解教材，內(nèi)中體現(xiàn)了對(duì)于基礎(chǔ)抽象理論和具體問題的同時(shí)深入掌握，實(shí)現(xiàn)了理論與實(shí)際的有機(jī)結(jié)合。這些歷史背景無論對(duì)于理解“自動(dòng)控制原理”的精髓核心，還是引導(dǎo)學(xué)生在人生道路上同時(shí)注重理論、工程與社會(huì)認(rèn)識(shí)的協(xié)同進(jìn)步，都具有重要價(jià)值。

除了對(duì)于“自動(dòng)控制原理”誕生的思想背景進(jìn)行歷史背景浸入外，還需要對(duì)于這門學(xué)科誕生的物質(zhì)基礎(chǔ)條件進(jìn)行充分講解，有利于同學(xué)認(rèn)清這套體系的形成動(dòng)因。“自動(dòng)控制原理”中的主要成果成形于20世紀(jì)20~40年代，這一階段計(jì)算機(jī)還沒有誕生，但是工業(yè)自動(dòng)化和軍事需求已經(jīng)產(chǎn)生，工程師如何在有限的算力下依然能夠完成控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析，就是一個(gè)重要的矛盾體。在教學(xué)過程中，通過大家熟悉的例子進(jìn)行類比。聯(lián)想代數(shù)中高次方程的求解問題，盡管幾百年前伽羅華和阿貝爾就已經(jīng)證明了高于5次的方程沒有通用的代數(shù)解析求解公式，但是實(shí)際中碰到類似的問題怎么辦？聰明的先人用圖解法解決了這個(gè)問題：當(dāng)不存在計(jì)算條件的時(shí)候，繪圖不僅形象而且是解決問題的重要途徑。這也可以幫助學(xué)生理解為何“自動(dòng)控制原理”中存在大量的圖解方法，如Bode圖、Nyquist曲線、Nichols曲線和根軌跡等。在講解Nyquist曲線的過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解這是一種控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)如何影響閉環(huán)穩(wěn)定性的直觀圖解法，而且還能直接觀察到穩(wěn)定性邊界的大小，可以與后面的穩(wěn)定裕度概念建立起聯(lián)系。盡管控制理論誕生的年代沒有計(jì)算機(jī)等高性能輔助工具，但是圖解法直到今天依然是現(xiàn)場(chǎng)工程師喜歡使用的工具，煥發(fā)著持久的生命力。引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到在工程上存在靈活的變通方法。直觀圖形顯示比計(jì)算機(jī)計(jì)算更能揭示系統(tǒng)的本質(zhì)，同時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果的可解釋性具有強(qiáng)大的吸引力，因此以后即使不直接從事自動(dòng)控制工作，這個(gè)原則也是需要認(rèn)真考慮的。結(jié)合技術(shù)發(fā)展史背景的講解，可以使得學(xué)生對(duì)于體系的把握更加清晰。

2 “自動(dòng)控制原理”難點(diǎn)的物理背景講解

“自動(dòng)控制原理”主要包括頻域和時(shí)域兩大模塊，其中頻域分析是比較獨(dú)特的部分，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言顯得比較抽象。對(duì)于重要概念進(jìn)行物理背景解釋，可以幫助學(xué)生加深理解。本文以兩個(gè)典型例子展示這一過程。

根軌跡是課程的一個(gè)重要內(nèi)容，核心目的是研究可變?cè)鲆鎸?duì)于閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的影響，在教材中給出了大量的規(guī)則，可以輔助生成近似的根軌跡。隨著今天Matlab軟件的普及，這個(gè)以前通過繪圖紙繪制的過程，已經(jīng)可以通過專用的rlocus函數(shù)自動(dòng)生成了。然而，這一過程完成后，學(xué)生往往反映不知道這一工具解決了怎樣的問題，因此難以深刻掌握思想深邃。為此，在課堂上給學(xué)生布置一個(gè)分別采用幾何法和代數(shù)法求取臨界穩(wěn)定增益的作業(yè)。首先通過根軌跡函數(shù)rlocus繪制出完整根軌跡，然后采用目視法確定出根軌跡穿越虛軸時(shí)刻的可調(diào)增益近似值。其次，采用解析求解方法，根據(jù)穿越的充分必要條件，列寫出實(shí)部和虛部方程，利用多項(xiàng)式求根函數(shù)roots函數(shù)得到數(shù)值解，并與圖解法進(jìn)行對(duì)比。最后，搭建simulink仿真模型，對(duì)于可調(diào)增益的上述求取值進(jìn)行時(shí)域響應(yīng)驗(yàn)算。通過這幾個(gè)角度思考同一個(gè)問題，可以加深學(xué)生對(duì)于根軌跡的理解。

穩(wěn)定裕度是經(jīng)典自動(dòng)控制中非常重要的概念，至今依然是控制工程師系統(tǒng)設(shè)計(jì)的最重要指標(biāo)。但是在與幾屆學(xué)生的交流中，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)于穩(wěn)定裕度的概念十分困惑，往往只是對(duì)于穩(wěn)定裕度在Bode圖上的定義形式有一些淺顯印象，而對(duì)于其物理本質(zhì)不甚理解。在改進(jìn)授課過程中，以穩(wěn)定裕度為突破口，詳細(xì)講解控制系統(tǒng)對(duì)于不確定性的魯棒容忍性問題，引導(dǎo)學(xué)生建立控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本理念。為此，針對(duì)圖1講解穩(wěn)定裕度的概念。事實(shí)上，這里的A表示被控對(duì)象的增益不確定性，表示被控對(duì)象的時(shí)延不確定性，二者集中刻畫了實(shí)際對(duì)象在空間和時(shí)間尺度上可能存在的不確定性范圍，它們的攝動(dòng)上界就分別對(duì)應(yīng)幅值裕度和相位裕度。特別強(qiáng)調(diào)前提要求是這些不確定性必須發(fā)生在對(duì)象上，而不是其他地方。在實(shí)操作業(yè)中，讓學(xué)生針對(duì)一個(gè)具體的對(duì)象傳遞函數(shù)，利用Matlab中的margin函數(shù)，計(jì)算出相應(yīng)的幅值裕度A*和相位裕度；然后在simulink仿真中，引導(dǎo)學(xué)生將A*從1逐漸增加到A*，觀察階躍響應(yīng)波形從過阻尼逐漸過渡到欠阻尼模式，連續(xù)歷經(jīng)衰減振蕩、等幅振蕩和發(fā)散振蕩階段，而對(duì)應(yīng)于等幅振蕩的A基本上就是計(jì)算出來的A*，這樣就建立起了穩(wěn)定裕度的直接物理概念。為了進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)于穩(wěn)定裕度的深入理解，進(jìn)一步引入圖2的存在3個(gè)控制器的串級(jí)控制結(jié)構(gòu)，分析其穩(wěn)定裕度的計(jì)算方法。

先布置作業(yè)要求學(xué)生計(jì)算這個(gè)控制結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定裕度。學(xué)生得到結(jié)果后，將幅值裕度代入真正反映對(duì)象不確定性的位置，也就是與對(duì)象進(jìn)行乘積，大概率發(fā)現(xiàn)臨界穩(wěn)定點(diǎn)的仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果不一致。這樣可以促進(jìn)學(xué)生思考問題出在哪里。事實(shí)上，計(jì)算穩(wěn)定裕度需要得到開環(huán)傳遞函數(shù)，但是串級(jí)多回路系統(tǒng)的傳統(tǒng)計(jì)算都是由里到外依次計(jì)算的，很容易使得最終的整個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)與真正的被控對(duì)象不是嚴(yán)格的正比例函數(shù)關(guān)系，這樣計(jì)算的結(jié)果必然導(dǎo)致與真實(shí)結(jié)果的不一致。讓學(xué)生觀察到這一現(xiàn)象后，再循循善誘地給他們解釋原因。當(dāng)學(xué)生真正理解穩(wěn)定裕度的物理背景后，再引導(dǎo)準(zhǔn)確計(jì)算開環(huán)傳遞函數(shù)的基本思路，以保證在閉環(huán)極點(diǎn)不變的前提下使得開環(huán)傳遞函數(shù)與實(shí)際被控對(duì)象的嚴(yán)格正比例關(guān)系，最終得到正確的結(jié)果，這就需要學(xué)生產(chǎn)生一定的創(chuàng)新了，因?yàn)槟壳暗慕炭茣径疾簧婕斑@一點(diǎn)。沒有問題就沒有思考，也就沒有深入的認(rèn)識(shí)，這一點(diǎn)融入教學(xué)中可以起到事半功倍的效果。在這一過程中，從穩(wěn)定裕度的嚴(yán)格物理背景概念出發(fā)，師生之間講授、練習(xí)與點(diǎn)撥互動(dòng)，可以幫助學(xué)生洞悉概念本質(zhì)，形成感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)于前期學(xué)習(xí)過的環(huán)路變換知識(shí)也有新的認(rèn)識(shí)，達(dá)到一舉多得的目的。在這一過程中，還可以結(jié)合模擬控制與數(shù)字控制時(shí)代的差別，理解二者對(duì)于穩(wěn)定裕度的計(jì)算存在差異，根源在于前者的控制器也存在不確定性，而后者的控制器則完全是確定的。這樣通過進(jìn)一步延伸，保證了學(xué)生對(duì)于這個(gè)概念的準(zhǔn)確理解。通過恰當(dāng)合理的討論形式[9]，制造一個(gè)爭(zhēng)議而容易引起學(xué)生好奇心的問題，促進(jìn)學(xué)生的思考[10]，最后歸納出準(zhǔn)確的概念理解。此外，與穩(wěn)定裕度相關(guān)的一些指標(biāo)，也需要從物理背景上知其所以然，例如常用的6dB幅值裕度的出處，詳細(xì)解釋就是對(duì)應(yīng)2倍的不確定性，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)起來目標(biāo)更明確，印象也更深刻。

3 背景教學(xué)法對(duì)于任課教師的要求

“自動(dòng)控制原理”的背景教學(xué)法是在我國(guó)目前現(xiàn)有體制下，尊重已經(jīng)成熟的教學(xué)方式和經(jīng)驗(yàn)而開展的一項(xiàng)增量型教學(xué)改革方式，與傳統(tǒng)的教學(xué)方式具有繼承關(guān)系，而不是互相排斥。根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，重點(diǎn)提煉出一些難點(diǎn)關(guān)鍵問題，放置在誕生年代的歷史背景中，結(jié)合最初期望解決的問題，尋根溯源，將抽象概念形象化。為此，任課老師對(duì)于自動(dòng)控制發(fā)展史、數(shù)學(xué)史和科學(xué)技術(shù)史都要有一定的了解，而不能僅僅局限于技術(shù)本身。特別的，要求任課老師對(duì)于某一具體行業(yè)領(lǐng)域具有比較清晰的認(rèn)識(shí)，才能將抽象概念具體化。因此，任課老師需要在業(yè)余時(shí)間多了解一些相關(guān)知識(shí)，才有利于深入淺出地將“自動(dòng)控制原理”的一些關(guān)鍵抽象概念給學(xué)生講解明白。這種講法也有利于學(xué)生充分吸收課程的思想精髓，體會(huì)到學(xué)科協(xié)調(diào)、自洽和自然的美感[11-12]，即使大多數(shù)學(xué)生未來不直接從事自動(dòng)化行業(yè)的工作，也對(duì)學(xué)生的人生具有一定的啟迪作用。