基于山東卷高考數(shù)學多選題型分析及教學的思考研究

山東省鄒城市兗礦第一中學 張延知

隨著“新高考”政策在山東省的落實，山東卷高考數(shù)學便在原有的題型基礎上，增添了多選題型。這一題型的開展，其目的在于考查學生對全章節(jié)數(shù)學知識的掌握。多選題型下的知識點十分多元，覆蓋的范圍也十分廣泛，包含集和、函數(shù)、幾何、曲線等數(shù)學類問題，教師可以基于這樣的問題類型，對學生的能力進行簡易化和快速性的區(qū)分。這種區(qū)分，讓很多教師愛不釋手。因為在新高考政策落實以前，試卷編制者只編寫和設計“單選式”的選擇題，面對題型的轉變，一些教師因為自身的思維定勢，在訓練學生解題能力的過程里，將單項選擇改成多項選擇，對學生的基礎知識能力進行考查。這種考查形式與新高考形勢下的多選題型完全不同，甚至還會出現(xiàn)一定的考核誤差，讓學生的思維得不到發(fā)展。由此可見，在實際教學的過程里，教師如若想要提高學生對“多選題型”的了解，加強學生的解題能力，其就要對現(xiàn)行階段的高考多選試題進行研究，只有這樣，教師在日常訓練的活動開展中，才能夠為學生設計出符合新高考要求的多選題型，在提高學生邏輯思維能力的同時，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、對單選題改編多選題的內容分析

山東省區(qū)的新高考政策剛落實兩年，即2020年和2021年，兩年的高考真題中，只包含少量的多選題。所以，對于高中數(shù)學教師來說，其還未完全掌握多選題型編制的特點，對多選題型內容設計的認知也相對比較匱乏，由此，就出現(xiàn)了“單選”改編“多選”的情況。

比如:設集和A={x|-3＜x＜4}，B={2，3，4，5，6}，則A∩B≠？

A.{1，2，3} B.{2，3}

C.{3，4，5} D.{2，3，4}

以單選的視角來看此題，答案應該為ABC，但編創(chuàng)者忽視了B選項也是兩者有公共交集的一部分，所以，正確答案應該是AC。以此題的解答結果為例，教師如若將此題當作多選題的訓練題型，可能就與原有的考查目標相背離。它沒能考核出數(shù)學學科的素養(yǎng)，也無法提高學生的學習能力，由此可見，多選題并不是非黑即白的全盤否定，也不是幾個沒有關聯(lián)的數(shù)學知識關聯(lián)在一起的拼湊性命題。

比如2020年山東卷的高考數(shù)學，其中的第9題，第10題，第11題，第12題，就是高考試卷中的標準化多選題型。以第9題為例，其考查的是學生對“曲線知識”的掌握，學生如若想要選出正確的答案，就要綜合自己的知識體系，通過對“圓”“橢圓”“雙曲線”“直線”的性質了解，明確相應的正確答案。又以第10題為例，此題考查的是學生對“三角函數(shù)y=sin（ωx+ψ）圖像”的掌握和對“數(shù)形結合”方法的掌握與應用，學生既要擁有一定的基礎知識，又要具備一定的邏輯思維。多選題和單選題不同，其中的答案分別對應四個部分的知識內容，對學生基礎知識的累積以及邏輯思維分析題目條件的能力，有著很高的要求。

用具體的話來說，對多選題的編創(chuàng)，要注重核心素養(yǎng)的展現(xiàn)，即教師在設計多選題的時候，可以圍繞“教材整體內容”進行編創(chuàng)，每個選項之間，都應該有內容的相通和方法的連接。只有在這樣的編創(chuàng)背景之下，學生的核心素養(yǎng)才能夠得到提升，學生的數(shù)學思維才能夠得到延展，學生的綜合能力才能夠得到加強。

二、山東卷高考數(shù)學多選題型分析

1.概念類題型。

概念類題型的命制，一般比較直接，沒有特定情境，沒有特定條件，只是基于對概念的理解與掌握，選擇相應的題目答案。知識點可以有所關聯(lián)，也可以沒有關聯(lián)，但其綜合性要深厚，因為多選題的本質特性，就是為了考查學生的理性思維能力和綜合應用數(shù)學思想方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

例題1：在下列命題當中，正確的是（ ）

A.設a，b是非零向量，若|a+b|=|a|-|b|，則a垂直于b

B.設a，b是非零向量，若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數(shù)λ，使得b=λa

C.若A、B、C、D是不共線的四點，那么向量AB=向量DC是平行四邊形ABCD的充要條件

D.設a，b是非零向量，若a=b，則a∥b

本題就屬于概念性的多選題，學生可以依靠平面向量的概念內容，判定B、C、D是正確命題。A是錯誤的，由|a+b|=|a|-|b|說明a和b共線，且|a|＞|b|。

例題2：下列式子中，錯誤的是（ ）

A.sin6＞sin3

B.1+sin30°=3/2

D.5sin1＞4sin2＞3sin3

本題也屬于概念性的多選題，學生要依照公式進行運算，通過概念定義，判斷B、C、D為正確答案。D選項的內容不易判斷，需要變換形體，學生可以依托正弦函數(shù)的圖像，沿著斜率角度進行思考，也可以依靠sin/x（x∈0，π）的單調性來評判，由此可得出D的正確性。

2.情境類題型。

情境類題型是在特定情境下所設計的多選題，其題目上包含一定的已知條件，學生在解析這種類型的多選題時，要明確題目上所給予的條件，比如概念、性質、定義等等。只有明確了題中所給條件，學生在分析的時候，才會拓寬自身的數(shù)學視野，延展自身的數(shù)學思維。

以2020年的山東卷多選題12題為例，其就以信息論中的重要概念信息熵為背景，給出了信息熵的數(shù)學定義，結合中學所學的數(shù)學知識，編制了信息熵的數(shù)學性質的四個命題。試題考查了考生獲取新知識的能力和對新概念、新問題的理解探究能力，體現(xiàn)了對考生數(shù)學閱讀能力與理解能力的考查。

3.性質類題型。

性質類題型包含很多內容，比如曲線方程、函數(shù)、數(shù)列、幾何等等，這些知識體系中包含許多性質，比較容易設計和制定多選題。就像2021年山東卷的多選題第11題和12題，2020年山東卷的9題與12題，2021年的十二題圍繞“正三棱柱”的幾何性質進行了命題，2020年的九題圍繞“曲線方程”的性質進行了命題，而十二題則圍繞“信息熵”的性質進行了命題。

由此可見，性質題在多選題中的重要性。為提高學生的解題能力與邏輯思維能力，教師可以從性質題出發(fā)，結合多元的知識內容，整合知識內容的性質，設立多選題。這樣，學生就可以在解答題目的過程里，通過性質的解析，掌握相應的解題方法，最為重要的是，多選題的綜合性，會讓學生將自己的知識體系構建起來，比如在解析幾何題的時候，學生就會依靠“數(shù)形結合”的方法和“幾何體”的性質獲取正確答案。學生在解析的過程里，會依靠性質做出多條輔助線，繼而用不同的輔助線判定相應的正確結論。這個過程中的解題方法是多元的，內容是綜合的，所以，學生能夠依靠一道“多選題”的結論分析，提高自身的知識整合能力，加強自身的知識分析能力。

單以2021年山東卷的多選題第11題為例：已知點P在圓（x-5）2+（y-5）2=16，點A（4，0），B（0，2），則（ ）

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

此題考查的是圓的性質，學生在解析此題的時候，就要依托圓的性質，解答“點和直線”的問題，并依靠“圖形”的繪制，解答出對應的正確答案。

4.假設性題型。

在近兩年的山東卷高考數(shù)學中，編制最多的題型就是假設性題型，和上述類型的多選題都不同，假設性題型分為兩個部分，其一是同條件下的多結論類型題，其二是多條件下的同結論類型題。雖然這類多選題也和性質相連，但其考查的內容與性質類題型既有相同性，也有不同性，這種不同就在于，部分假設性題型所研究的性質，并不是數(shù)學對象的性質，而是同一載體下的數(shù)學性質。

A.若F（x）=g(x)·2f（x），那么F（x）的極大值點為2/3，極小值點為2

B.若F（x）=g(x)·2f（x）在[et，+∞]（t∈Z）上有零點（e為自然對數(shù)的底數(shù)），t的最大值為-2

C.若h（x）=f（x）·g（x），那函數(shù)h（x）的最小值為6

D.若h（x）=f（x）·g（x），那函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞）

本題就展現(xiàn)出了“假設性題型”與“性質類題型”的不同，其就以命題真假為判斷基礎，考查了與二次函數(shù)相關的性質題目。基于對二次函數(shù)性質的解析，此題的A、B、D是正確的。學生在解析的過程里，可以求得F（x）的導數(shù)獲取單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間，繼而得出F（x）的極大值與極小值。而在求t值的時候，學生要依照性質的解析，求得F（x）在[et，+∞）（t∈Z）上有零點，只有這樣，才能夠求出t的最大值為2。

三、山東卷高考數(shù)學多選題型分析下的教學思考

1.結合教材內容，重視概念教育。

根據(jù)對山東卷高考數(shù)學多選題型的分析，教師要重視概念教育，以對數(shù)學定理、概念、公式的有效利用，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的思想。而在多選題當中，有許多和概念定義相連的問題，由此，高中階段的概念教育尤為重要。教師可以以此加強學生的解題能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

就比如在學習“函數(shù)性質”的時候，教師就要重視單調性、周期性、奇偶性的概念教育，使其能夠依托概念的掌握與內化，解決概念類、性質類的多選問題。學生能夠依靠概念進行問題解析，并借助概念的具象掌握，快速確定正確答案。比如上述例題3中的D選項，學生就能夠依托概念的具象化掌握，確定D選項是正確答案。

2.融合數(shù)學方法，滲透數(shù)學思想。

所謂“數(shù)學思想”，指的就是學習者對數(shù)學理論和數(shù)學內容的本質認知，是從某些具象化數(shù)學認知過程中提煉出的一些觀點，它揭示了數(shù)學發(fā)展中的普遍規(guī)律，直接支配著數(shù)學課堂活動。關于“數(shù)學方法”的定義，指的就是解決數(shù)學問題的方法，是解決問題時所應用和采取的策略、路徑和手段。數(shù)學思想是深層的，它具備普遍的指導性價值，數(shù)學方法是淺層的，是解決數(shù)學問題的直接性手段。根據(jù)對山東卷高考數(shù)學多選題型的分析，教師在高中數(shù)學的教學過程里，就必須要融合數(shù)學方法，滲透數(shù)學思想，以“一題多解”“變式訓練”的教學路徑融合數(shù)學方法，以多元化的教學方式，滲透數(shù)學思想，讓學生在思想的延展下，進入到問題的深層探討當中，繼而提高自身的邏輯思維能力和知識整合能力。

就比如在學習“平面向量”的時候，教師就可以結合平面向量的“一題多解”“變式訓練”，提高學生對數(shù)學方法的掌握，并在傳遞方法的過程中，滲透數(shù)學思想。而教師在結合多元方式滲透數(shù)學思想的過程里，也要注重數(shù)學方法的傳遞。這樣就能夠延展學生的數(shù)學思維，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，強化學生的解題能力。比如在求“向量”取值范圍的時候，學生就能夠利用“平方法”來降低難度，結合“三角換元法”求出對應答案。由于向量取值范圍類的題型兼具“數(shù)形”雙重特征，所以，教師在講述例題解題方法的時候，就可以向學生滲透“數(shù)形結合”思想。此外，學生們也要掌握一些二級結論，這樣能夠提升做題速度，節(jié)省答題時間，幫助學生在高考數(shù)學多選體型中實現(xiàn)進一步的發(fā)展。例如在代數(shù)部分的立方差立方和公式，分子常數(shù)化公式，分子有理化公式。分母有理化公式，在平面幾何部分學生們掌握的平行四邊形對角線平方之和等于四條邊平方之和。還有一些集合和立體內容部分都包含了諸多的二級結論，這些二級結論掌握之后，學生們便可以在多選題型中快速解題。

結束語

綜上所述，在新高考的時代背景下，高中數(shù)學教師所開展的教學活動，離不開學生素養(yǎng)的培育和學生數(shù)學學習能力的提升。從近兩年的高考數(shù)學山東卷中可以看出，新高考落實下的選擇題型，增添了多選題型。與單選相比，其中的內容更加廣泛，對學生思維、能力的考查更加深層。為了讓教師可以在課堂上編創(chuàng)出多元的多選題型，使學生認知到多選題的重要性，教師要對高考試卷中的這類題型進行深層化的研究，通過類型的區(qū)分與總結，獲取一定的體悟，進而在課堂當中，以多選題的展現(xiàn)，提高學生的解題能力與數(shù)學素養(yǎng)。而教師在對“高考多選題”進行研究的過程里，既要關注題目內容中所包含的知識思維考查，又要關注這些題目在實際教學中的應用。教師可以用題型內容的總結，深化課堂上的概念教育、思維教育以及結論教育，借此加強學生的解題能力，提高學生的數(shù)學成績，深化學生數(shù)學學科的綜合素養(yǎng)。