講題比賽特等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撐闹?022年上海高考數(shù)學(xué)第12題解析

上海市西外外國語學(xué)校 朱大紅

1 壓軸題呈現(xiàn)

2 試題說明

3 解法分析及詳解

本題為壓軸題，考查抽象函數(shù)的定義域、值域，利用轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合等方法解決參數(shù)問題.依據(jù)思維導(dǎo)圖，有如下四種解法.

思路一：分拆定義域.

第一步：分拆定義域.[0,+∞)=[0,a]∪[a,+∞)，得到f(x)在[a,+∞)上的取值范圍為其值域的子集，即{y|y=f(x),x∈[a,+∞)}?Af.

思路一的思維導(dǎo)圖如圖1所示.

圖1

解法1：記f(x)在[a,b]上的取值范圍為f[a,b]，下同.

由[0,+∞)=[0,a]∪[a,+∞)，結(jié)合已知條件{y|y=f(x),x∈[0,a]}=Af，得

Af=f[0,+∞)=f[0,a].

則{y|y=f(x),x∈[a,+∞)}?Af，即

f[a,+∞)?Af.

思路二：數(shù)形結(jié)合.

思路二的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

圖3

思路三：類比法.

思路三的思維導(dǎo)圖如圖4所示.

圖4

解法3：因?yàn)閒(x)滿足

思路四：考慮臨界點(diǎn).

思路四的思維導(dǎo)圖如圖5所示.

圖5

4 變式與拓展

問題對(duì)于該題，你是否能舉一個(gè)f(x)的例子？

思考：本題是否還有其他f(x)的例子？如果有，請(qǐng)嘗試給出表達(dá)式，并作進(jìn)一步探究.