二元一次方程的整數(shù)解問題探究

吳瓊

沈陽市南昌初級中學(xué)任景娜老師的直播課《二元一次方程組及其應(yīng)用》，選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科教研核心團隊名師公益學(xué)堂”，旨在引領(lǐng)教師專業(yè)發(fā)展，服務(wù)學(xué)生自主學(xué)習，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負擔。

觀看完任景娜老師的直播課，其中的引例引發(fā)我進一步思考. 在這里，我和同學(xué)們一起從含有參數(shù)的一元一次方程的整數(shù)解、二元一次方程的整數(shù)解、一次函數(shù)的整數(shù)點這三個角度來看待同一個問題，感受數(shù)學(xué)模型的無窮魅力.

身邊實例

大連市第三十七中學(xué)的吳老師為學(xué)生購買數(shù)學(xué)計算大賽的獎品，回到學(xué)校后，向王主任交賬時說：“我買了兩類筆記本，共105本，單價分別為8元和12元，買本前我領(lǐng)取了1400元，現(xiàn)在還剩余318元. ”王主任算了一下說：“你肯定搞錯了. ”

（1）請同學(xué)們用方程的知識給予解釋；

（2）吳老師急忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)多買了1支水筆，但水筆的單價寫得模糊不清，吳老師只記得水筆的價格為小于6的正整數(shù)，則這支水筆的單價應(yīng)該為多少元？

解析：（1）設(shè)買8元的筆記本x本、12元的筆記本（105 - x）本，

根據(jù)題意列方程：8x + 12 （105 - x） = 1 400 - 318，則x = 44.5（不符合題意），

44.5不是整數(shù)，所以吳老師肯定搞錯了.

（2）設(shè)買8元的筆記本x本，買12元的筆記本（105 - x）本，1支水筆的單價為a元，

∴1400 - 8x - 12（105 - x） - a = 318，∴x = 44 + [2+a4].

∵x為正整數(shù)，且a為小于6的正整數(shù)，∴2 + a必須被4整除，∴a = 2.

∴1支水筆的價格為2元.

反思：本題也可以從列出含有a的關(guān)于8元筆記本的數(shù)量x的一元一次方程的角度求整數(shù)解；還可以建立以8元筆記本的數(shù)量為函數(shù)、水筆的價格為自變量的一次函數(shù)關(guān)系式，再去尋找一次函數(shù)的橫縱坐標的整數(shù)點問題. 這三個角度都是設(shè)未知數(shù)、建立等量關(guān)系，其本質(zhì)是相通的.

變式練習

表1是某次籃球聯(lián)賽積分. （1）請問：勝一場積多少分？負一場積多少分？（直接寫出答案）（2）若某隊的勝場總積分是負場總積分的n倍，n為正整數(shù)，求n的值.

解析：（1）設(shè)勝一場積x分，負一場積y分，則[10x+4y=24，9x+5y=23，]解得[x=2，y=1.]

則勝一場積2分，負一場積1分.

（2）設(shè)該隊勝a場，則負（14 - a）場，∴2a = （14 - a）n，∴n = [2a14-a].

當a = 0時，n = 0，不符合題意；

當a = 1，2，3，4，5，6，8，9，11時，n不是整數(shù)，不符合題意；

當a = 14時，等式無意義；

當a = 7時，n = 2；當a = 10時，n = 5；當a = 12時，n = 12；當a = 13時，n = 26.

綜上所述，n的值為2，5，12，26.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時間：8分鐘

表2是某校七年級、八年級、九年級某月課外興趣小組（分文藝小組和科技小組）活動時間統(tǒng)計表，其中各年級同一興趣小組每次活動時間相同.

（1）請你完成以下分析，求出a，b的值：觀察表格，七年級、八年級科技小組活動次數(shù)相同，文藝小組活動次數(shù)相差次，活動總時間相差h，由此可知文藝小組每次活動時間為h，進而可知科技小組每次活動時間為h；根據(jù)題意可得a與b的關(guān)系式為，因為a與b是自然數(shù)，所以a = ，b = .

（2）若學(xué)校重新規(guī)定：九年級每月課外興趣小組活動總次數(shù)為8次，在文藝小組與科技小組每次活動時間保持不變的情況下，求出九年級每月課外興趣小組活動總時間y（h）與文藝小組活動次數(shù)x（次）之間的函數(shù)關(guān)系式（其中規(guī)定x為大于1且小于8的自然數(shù)）. （答案見第33頁）

（作者單位：大連市第三十七中學(xué)）