以多項(xiàng)式相乘為背景設(shè)計(jì)的求值問(wèn)題

葛中梁

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，在未合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積. 只要同學(xué)們計(jì)算時(shí)按一定的順序進(jìn)行，不僅可以做到不重不漏，還可以順利解決以多項(xiàng)式相乘為背景設(shè)計(jì)的求值問(wèn)題.

一、乘積中不含二次項(xiàng)、三次項(xiàng)的問(wèn)題

例1 已知多項(xiàng)式[x2+nx+3]與[x2-3x+m]的乘積中不含有[x2]和[x3]項(xiàng)，求[（m+n）（m2-mn+n2）]的值.

解析：[（x2+nx+3）（x2-3x+m）? ][ =? x4+? （n-3）x3+（m-3n+3）x2+（mn-9）x+3m.]

[∵]多項(xiàng)式[x2+nx+3]與[x2-3x+m]的乘積中不含有[x2]和[x3]項(xiàng)，

[∴n-3=0]，[m-3n+3=0]，[∴m=6]，[n=3]，

則[（m+n）（m2-mn+n2）] [=（6+3）×（62-6×3+32）=243].

例2 已知[（x2+mx-3）（2x-n）]的展開(kāi)式中不含[x2]項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是[-6]. （1）求[m]，[n]的值；（2）若[a3=m]，[b3=n]，求[（a+b）（a2-ab+b2）]的值.

解析：（1）（x2 + mx -3）（2x - n） [=2x3+2mx2-6x-nx2-mnx+3n ][=2x3+? （2m-n）x2-（mn+6）x+3n]，

根據(jù)展開(kāi)式中不含[x2]項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是[-6]，可得方程[2m-n=0]且[3n=-6]，

解得[m=-1]，[n=-2]；

（2）[（a+b）（a2-ab+b2）] [=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3]

[=a3+b3] [=m+n ][=-1-2] [=-3].

反思：解題的關(guān)鍵是運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)后，令不含有的項(xiàng)的系數(shù)為零，轉(zhuǎn)化為含字母系數(shù)的方程，從而求值.

二、抄錯(cuò)多項(xiàng)式中的運(yùn)算符號(hào)與字母的問(wèn)題

例3 在計(jì)算[（x+a）（x+b）]時(shí)，甲把[b]錯(cuò)看成了6，得到結(jié)果是[x2+8x+12]. 求出[a]的值.

解析：[（x+a）（x+6）][ =x2+6x+ax+6a][ =x2+（6+a）x+6a]，

因?yàn)槠浣Y(jié)果是[x2+8x+12]，所以對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)一定相等，可列出方程[6+a=8]，或[6a=12]，解得[a=2].

例4 小剛同學(xué)計(jì)算一道整式乘法：[（3x+a）（2x-3）]，由于他抄錯(cuò)了多項(xiàng)式中[a]前面的符號(hào)，把“[+]”寫(xiě)成“[-]”，得到的結(jié)果為[6x2+bx+12]. （1）求[a]，[b]的值；（2）計(jì)算這道整式乘法的正確結(jié)果.

解析：（1）由題意得[（3x-a）（2x-3）=] [6x2-（2a+9）x+3a=6x2+bx+12]，

[∴][- （2a+9）=b]，[3a=12]，[∴a=4]，[b=-17]；

（2）[（3x+4）（2x-3） ][=6x2-9x+8x-12][ =6x2-x-12].

反思：解題的關(guān)鍵是“將錯(cuò)就錯(cuò)”，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算，再與給出的結(jié)果比較，根據(jù)“對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等”列所求字母的方程，即可獲得答案.

三、新定義的特征多項(xiàng)式的乘積問(wèn)題

例5 給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)[（a]，[b]，[c）]叫做關(guān)于[x]的二次多項(xiàng)式[ax2+bx+c]的特征系數(shù)對(duì)，把關(guān)于[x]的二次多項(xiàng)式[ax2+bx+c]叫做有序?qū)崝?shù)對(duì)[（a]，[b]，[c）]的特征多項(xiàng)式. （1）關(guān)于[x]的二次多項(xiàng)式[3x2+2x-1]的特征系數(shù)對(duì)為 ；（2）求有序?qū)崝?shù)對(duì)[（1]，4，[4）]的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)[（1]，[-4]，[4）]的特征多項(xiàng)式的乘積；（3）若有序?qū)崝?shù)對(duì)[（p]，[q]，[-1）]的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)[（m]，[n]，[-2）]的特征多項(xiàng)式的乘積的結(jié)果為[2x4+x3-10x2-x+2]，直接寫(xiě)出[（4p-2q-1）（2m-n-1）]的值為.

解析：（1）根據(jù)“有序?qū)崝?shù)對(duì)[（a]，[b]，[c）]的特征多項(xiàng)式”的意義可知：

關(guān)于[x]的二次多項(xiàng)式[3x2+2x-1]的特征系數(shù)對(duì)為[（3]，2，[-1）]；

（2）[∵]有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，4，4）的特征多項(xiàng)式為[x2+4x+4]，

有序?qū)崝?shù)對(duì)[（1]，[-4]，[4）]的特征多項(xiàng)式為[x2-4x+4]，

[∴（x2+4x+4）（x2-4x+4）= ][（x2+4）2-（4x）2=x4+8x2+16-16x2=x4-8x2+16]；

（3）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義可得[（p]，[q]，[-1）]的特征多項(xiàng)式為[px2+qx-1]，

[（m]，[n]，[-2）]的特征多項(xiàng)式為[mx2+nx-2]，

根據(jù)題意得[（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2]，

令[x=-2]，則[（4p-2q-1）（4m-2n-2）=32-8-40+2+2][=-12]，

觀察求值式的系數(shù)，將上式兩邊都除以2，可得[（4p-2q-1）（2m-n-1）=-6].

反思：理解并掌握有序?qū)崝?shù)對(duì)[（a]，[b]，[c）]的特征多項(xiàng)式是解決本題的關(guān)鍵. 在問(wèn)題（3）中求值時(shí)，根據(jù)系數(shù)的特征巧妙利用整體思想，對(duì)恒等式中的x賦予特殊值[-2]，起到了化難為易的作用.

（作者單位：江蘇省鹽城市鹽都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）