基于Helmholtz共振腔的組合結(jié)構(gòu)帶隙特性研究

唐榮江，陸滔琪，潘朝遠，鄭偉光，龐 毅

(1.桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院，桂林 541004；2.廣西科技大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院，柳州 545006；3.廣西數(shù)仿科技有限公司，柳州 545006)

0 引 言

降噪處理是汽車、航天、軌道交通舒適性設(shè)計中必不可少的步驟，如何降低環(huán)境噪聲對車內(nèi)乘客的影響已經(jīng)成為NVH(noise, vibration and harshness)工程師們亟待解決的問題。面對這一問題，技術(shù)研究人員通過設(shè)計各種隔音吸聲結(jié)構(gòu)達到消除噪聲的目的[1]。其中，利用布置聲學(xué)屏障來控制交通噪聲是行之有效的方法[2]。常見的聲學(xué)屏障是一種在空間陣列而成的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)。在聲學(xué)領(lǐng)域，對于Helmholtz共振腔的研究由來已久[3-5]，該結(jié)構(gòu)具有帶隙特性，即在帶隙頻率范圍內(nèi)聲波傳遞會被抑制，因此廣泛應(yīng)用于隔音降噪場合[6-8]。例如，高東寶等[9]設(shè)計并實現(xiàn)了一種具有低頻寬帶隙的共振腔結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)Helmholtz共振腔陣列的腔體幾何參數(shù)和陣列方式均會影響聲學(xué)超材料的帶隙位置；倪安辰[10]提出了一種在Helmholtz共振腔內(nèi)加剛性擋板的改進結(jié)構(gòu)，并將共振腔的頸部結(jié)構(gòu)改成弧形，使得助共振頻率增加了20%，且聲波二次傳輸減弱2～5 dB。Guan等[11]通過卷繞式設(shè)計延長了狹縫長度，獲得了較低頻的聲波帶隙。此外，在圓環(huán)開口同樣具有Helmholtz共振效應(yīng)。陳鑫等[12]在Guan等設(shè)計的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，將開口設(shè)計成“弓”字型，利用Helmholtz腔與彈性振子耦合作用來提升低頻隔聲性能；姜久龍等[13]基于共振效應(yīng)設(shè)計了一種雙開口的Helmholtz周期結(jié)構(gòu)，并在晶格常數(shù)為10 cm的情況下，將該結(jié)構(gòu)的低頻帶隙控制在150 Hz的頻率范圍內(nèi)；Jing等[14]設(shè)計了三個依次嵌入的開口圓環(huán)結(jié)構(gòu)，圓環(huán)以角度90°錯位放置，獲得低頻第一帶隙，并通過分析波段的聲學(xué)模式，找到第一帶隙形成的原因；韓東海等[15]提出了一種迷宮型開口通道，并在結(jié)構(gòu)加入了剛性振子的結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出了良好的低頻隔聲特性。此外，有研究顯示將多重開口圓環(huán)相互嵌入而獲得的聲學(xué)帶隙會更為豐富[16]。

上述對周期共振腔結(jié)構(gòu)的研究中，主要圍繞開口圓環(huán)的“低頻帶隙”進行結(jié)構(gòu)設(shè)計，然而對開口圓環(huán)連接副腔結(jié)構(gòu)組合而成的共振腔結(jié)構(gòu)的研究卻鮮有報道。本文以開口圓環(huán)作為主腔，基于Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)的局域共振特性，在主腔周圍連接4個副腔[17]，以此形成復(fù)合共振腔，并開展帶隙特性和隔聲性能分析，最后建立等效電路模型，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對帶隙的影響。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計及帶隙特性

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計

空心圓環(huán)結(jié)構(gòu)簡單，易于開展實驗，是常見的周期性結(jié)構(gòu)[18]。圖1的Helmholtz復(fù)合共振腔是在單、雙開口圓環(huán)的基礎(chǔ)上開槽形成。以單開口圓環(huán)為基礎(chǔ)，在圓環(huán)內(nèi)添加一個反向開口的內(nèi)環(huán)即為雙開口圓環(huán)。以雙開口圓環(huán)作為頸部連接背腔的結(jié)構(gòu)，具有Helmholtz共振腔的特征[19]。本文以開口圓環(huán)作為參考對象，提出了如圖1(c)的Helmholtz復(fù)合共振腔結(jié)構(gòu)，該共振腔在對角布置了四個副腔且在內(nèi)部添加了開口圓環(huán)，形成對稱結(jié)構(gòu)，且內(nèi)圈開口圓環(huán)的開口方向與外圈開口方向相差180°。

Helmholtz共振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，其中：a為晶格常數(shù)；l為副腔通道長度；R1為外圈內(nèi)圓半徑；R2為外圈外圓半徑；R3為內(nèi)圈內(nèi)圓半徑；R4為內(nèi)圈外圓半徑；r1為副腔內(nèi)圓徑；r2為副腔外圓半徑；W1為外圈開口寬度；W2為內(nèi)圈開口寬度；w為副腔通道寬度；m為副腔開口通道外緣寬度；n為副腔開口通道外緣長度；d為內(nèi)外圓環(huán)之間的最短距離。

本文在計算和分析Helmholtz共振腔模型和對比模型時，設(shè)定這些模型的材料為結(jié)構(gòu)鋼，其密度為7 850 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。將共振腔結(jié)構(gòu)陣列在空氣中充當(dāng)聲學(xué)隔音屏障，彈性波在周期排列的聲子晶體中傳播發(fā)生干涉,導(dǎo)致聲波無法通過而發(fā)生阻斷形成聲禁帶，能夠有效阻擋聲音傳播，對道路交通的噪聲控制有益。

表1 Helmholtz復(fù)合共振腔結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameter of Helmholtz composite resonator /mm

圖1 計算模型和不可約布里淵區(qū)。(a)單開口圓環(huán)；(b)雙開口圓環(huán)；(c)Helmholtz復(fù)合共振腔；(d)不可約布里淵區(qū)Fig.1 Computational model and irreducible Brillouin zone. (a) Single-opening circular; (b) double-opening circular;(c) Helmholtz composite resonator cavity; (d)irreducible Brillouin zone

1.2 理論基礎(chǔ)

在理想彈性介質(zhì)的情況下，假設(shè)彈性介質(zhì)剛開始時處于自然狀態(tài)，并且介質(zhì)中各點的位移是微小的，則描述彈性介質(zhì)的物理量，即應(yīng)力、應(yīng)變、位移，滿足運動方程和本構(gòu)關(guān)系。

空氣的聲阻抗比結(jié)構(gòu)鋼小得多，兩者阻抗難以匹配，因此聲波大部分都在固體間反射，很難透射到固體結(jié)構(gòu)中，傳遞的能量也很小，幾乎可以忽略。基于以上情況，在計算中將固體視為剛性硬壁面，不考慮其振動，僅求解聲壓Helmholtz方程：

(1)

-iω=γ

(2)

波矢k沿第一不可約布里淵區(qū)M→?！鶻→M的路徑進行掃掠，并結(jié)合Bloch-Floquet理論，分階段求解聲壓方程：

(3)

式中：kx、ky和kz分別為波矢k在x方向和y方向的分量。

通過給定k的值求解特征方程(1)～(3)，可得k與γ的關(guān)系，即彈性波帶隙和聲波的本征模態(tài)。為獲得共振腔的聲傳輸損耗特性，計算3個共振腔在x方向陣列而成的周期結(jié)構(gòu)。如圖2所示在3元胞結(jié)構(gòu)的上下面施加連續(xù)性的周期性邊界條件，此時源邊界和目標(biāo)邊界上的聲壓以及位移的場值相同?；谝陨涎芯?，將陣列結(jié)構(gòu)的左右側(cè)設(shè)為平面波輻射，左側(cè)施加Pin=1 Pa的平面波激勵，右側(cè)為開放邊界，其聲傳播損耗(sound transmission loss, STL)計算公式為：

(4)

式中：STL代表聲傳播損耗，也稱隔聲量；Pin代表入射聲壓；Pout代表出射聲壓。

1.3 帶隙特性及隔聲性能分析

本文通過Comsol Multiphysics軟件的聲學(xué)模塊，對Helmholtz共振腔模型劃分三角形網(wǎng)格單元，對模型四周施加Floquet周期性邊界條件，計算得到帶隙。選取3個陣列模型計算聲傳輸損耗，陣列模型如圖2所示，單開口圓環(huán)和雙開口圓環(huán)與此相同。由于在僅求解?！鶻方向時，就能獲得三種模型的第一、二帶隙，為了減少計算量，本文的研究僅求解波矢掃掠Γ→X方向。求解后獲得的帶隙結(jié)構(gòu)圖和聲傳播損耗曲線圖如圖3所示。從圖3(a)可知，單開口圓環(huán)在2 000 Hz內(nèi)只擁有第一帶隙，帶隙結(jié)構(gòu)比較簡單，在帶隙內(nèi)的最大隔聲量為87 dB，在圖3(d)中由點線表示。由圖3(b)可知，雙開口圓環(huán)能夠在2 000 Hz以內(nèi)獲得兩條完整帶隙，且第一帶隙比單開口圓環(huán)要更低，起始頻率為519.5 Hz。從圖3(d)中的點畫線能夠看出，雙開口圓環(huán)在第一帶隙和第二帶隙內(nèi)的最大隔聲量分別達到了70 dB和62 dB，相比于單開口圓環(huán)能夠起到更好的中頻隔聲效果。

圖2 Helmholtz共振腔3元胞有限結(jié)構(gòu)以及邊界條件Fig.2 3-cell finite structure of Helmholtz resonator and boundary conditions

圖3 三種模型的能帶結(jié)構(gòu)及其傳輸特性。(a)單開口圓環(huán)；(b)雙開口圓環(huán)；(c)復(fù)合共振腔；(d)傳輸特性Fig.3 Energy band structures of the three models and their transport properties. (a) Single-opening circular; (b) double-opening circular; (c) composite resonant cavity; (d) transport properties

Helmholtz復(fù)合共振腔的帶隙結(jié)構(gòu)如圖3(c)所示，相應(yīng)的傳輸特性對應(yīng)于圖3(d)中的實線。從圖中能夠清晰地看出，復(fù)合共振腔結(jié)構(gòu)在頻率低于1 000 Hz的范圍內(nèi)擁有帶寬為231.55 Hz的第一帶隙，在頻率低于1 400 Hz的范圍內(nèi)擁有帶寬為70 Hz左右的第二帶隙，且第一、二帶隙的起始頻率比雙開口圓環(huán)更低。除此之外，Helmholtz復(fù)合共振腔的整體隔聲較前兩種模型更強，不僅在帶隙內(nèi)的峰值隔聲量均大于前兩種模型，且大部分頻率范圍內(nèi)的隔聲量達到10 dB以上。470 Hz處為Helmholtz共振腔在第一帶隙內(nèi)的隔聲量最大值點，在該點處的最大隔聲量超過90 dB。綜上所述，可以得出結(jié)論：在單開口圓環(huán)內(nèi)增加一個開口內(nèi)環(huán)能夠獲得更低頻的帶隙，但同時會縮減帶隙的頻率范圍；在雙開口圓環(huán)四周布置4個副腔形成的復(fù)合共振結(jié)構(gòu)能夠擁有比單、雙開口圓環(huán)更低的帶隙以及更好的隔聲性能。通過對圖3的分析可知，傳聲損失曲線中能量衰減的頻率范圍與能帶結(jié)構(gòu)的各個完全帶隙相吻合。

圖4 Helmholtz復(fù)合共振腔聲壓級云圖Fig.4 Sound pressure level cloud of Helmholtz composite resonator cavity

為了進一步分析帶隙特性，選取了如圖4所示的頻域內(nèi)三個頻率點的聲壓級云圖，以此形象地展示該共振腔陣列單元對聲波的抑制和阻礙作用。432.43 Hz為第一帶隙的下限，由圖可知，在該頻率時激勵點和輸出端處的聲壓級始終維持在100 dB左右，聲壓大量擠壓在共振腔內(nèi)，且從外到內(nèi)聲壓級依次增高，通過圖3也可知此處隔聲量接近0 dB。在470.00 Hz處(在此頻率處產(chǎn)生第一帶隙內(nèi)的峰值隔聲量)，100 dB左右的聲壓級集中在第一個共振腔內(nèi)，經(jīng)過第二個共振腔時，聲壓級已降至80 dB左右，往下傳遞到第三共振腔后，聲波能量進一步衰減，腔內(nèi)的聲壓級驟降至50 dB左右且外部已接近0 dB，聲波的衰減現(xiàn)象明顯，聲波在該頻率的傳播損失最顯著；663.98 Hz為第一帶隙的上限，在該處輸出端的外部聲壓級接近70 dB，聲波的衰減效果減弱，隔聲性能不如470.00 Hz處好。

通過分析可知，本文基于普通開口圓環(huán)而設(shè)計的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)擁有良好的隔音性能。除此之外，該結(jié)構(gòu)既有Helmholtz共振腔的共振效應(yīng)，也有晶體單元間的相互作用，兩者結(jié)合能夠獲得比沒有副腔的開口圓環(huán)結(jié)構(gòu)更低頻的聲波帶隙和更寬的聲波寬度。但不足的是，在聲波禁帶內(nèi)各頻率的隔聲量相差較大，往后這也將成為重點研究對象之一。

2 帶隙機理及等效模型

第一帶隙的下限(432.43 Hz)的聲壓模態(tài)如圖5所示，右側(cè)圖例為聲壓數(shù)值，其單位為Pa?？梢悦黠@看出，在該頻率處結(jié)構(gòu)外部區(qū)的聲壓值最小，然后按照由外到內(nèi)的順序依次增加，內(nèi)圈內(nèi)腔的聲壓值達到最大，聲波能量局限于結(jié)構(gòu)當(dāng)中，在外部不能傳播，4個副腔內(nèi)的空氣像彈簧一樣進一步阻礙了聲波能量的傳播，這事實上也決定了帶隙的下限。

圖5 B點的聲壓模態(tài)Fig.5 Sound pressure mode at point B

為了便于研究共振周期結(jié)構(gòu)帶隙形成的機理，本文采用“聲-電類比”法建立相應(yīng)的等效電路模型。在建立等效模型前，將模型大致分為如圖6所示的C、E、F、q1等9個區(qū)域，其中C為內(nèi)圈和外圈之間的通道；E為內(nèi)圈內(nèi)腔；F為外部空氣域；q1、q2、q3、q4分別為4個為副腔；外、內(nèi)圈的開口處寬度分別用W1和W2表示。

圖6 結(jié)構(gòu)區(qū)域劃分示意圖Fig.6 Schematic diagram of structural area division

圖7 復(fù)合共振腔的等效電路圖Fig.7 Equivalent circuit of composite resonator cavity

圖7為建立的等效電路圖。根據(jù)Helmholtz共振腔區(qū)域的劃分以及共振機理，本文將內(nèi)圈和外圈之間的通道等效為電感LC和電容CC，開口處等效為電感LW，副腔通道處等效為電感Lq，副腔與副腔通道等效為電容Cq，內(nèi)圈內(nèi)腔等效為電感CE，外部空氣域等效為電感CF。綜合以上分析，等效電路的表達式分別表示為：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：c0為空氣中的聲速，h為通道厚度，在下列計算時被約去。第一帶隙下限的共振頻率為：

(12)

其中L為等效電路的總電感，C為等效電路的總電容：

(13)

(14)

3 帶隙影響因素分析

為分析各參數(shù)對帶隙的影響，進一步揭示其帶隙形成的實質(zhì)，采用有限元法(finite element method, FEM)和等效電路法(equivalent circuit method, ECM)兩種方法計算第一帶隙下限頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的變化情況，如圖8所示。

圖8(a)可知，當(dāng)R3、R4同時增大時，第一帶隙下限會降低，反之則升高，這是由于R3、R4的大小影響了外圈與內(nèi)圈之間通道的體積VC和內(nèi)圈內(nèi)腔的體積VE，當(dāng)R3、R4增大時，VC減小，VE增大；當(dāng)R3、R4減小時，VC增大，VE減小。同時，在R3、R4增大時，帶隙下限降低的曲線的斜率逐漸變大。

圖8(b)所示為外圈開口寬度對第一帶隙下限的影響?？梢钥闯?，W1越大，第一帶隙起點越高，這與圖8(a)是相反的，且W1對于帶隙的影響比較小，它的變化只能直接影響開口處這小部分體積變化。可以看出在W1小于0.8 mm時，開口寬度對帶隙下限的影響比較明顯。

圖8(c)所示為內(nèi)圈開口寬度對第一帶隙下限的影響，其影響原理與圖8(b)類似。與W1不同的是，W2越小，頻率降低得越慢。

圖8 結(jié)構(gòu)參數(shù)對第一帶隙的影響。(a)共振腔內(nèi)圈的內(nèi)外半徑對第一帶隙下限的影響；(b)外圈開口寬度對第一帶隙下限的影響；(c)內(nèi)圈開口寬度對第一帶隙下限的影響；(d)副腔開口寬度對第一帶隙下限的影響；(e)副腔內(nèi)圓半徑對第一帶隙下限影響；(f)晶格常數(shù)a對第一帶隙的影響Fig.8 Effects of structural parameters on the first band gap. (a) Effect of the inner and outer radii of the inner ring of resonant cavity on the lower limit of the first band gap; (b) effect of the outer ring opening width on the lower limit of the first band gap; (c) effect of the inner ring opening width on the lower limit of the first band gap; (d) effect of the sub-cavity opening width on the lower limit of the first band gap; (e) effect of the inner circle radius of the sub-cavity on the lower limit of the first band gap; (f) effect of the lattice constant a on the first band gap

圖8(d)所示為副腔開口寬度對第一帶隙下限的影響，可以看出該參數(shù)對帶隙下限的影響作用比其他參數(shù)小。等效模型和有限元法計算的波動值分別在15 Hz和5 Hz內(nèi)。主要是w的變化對其余參數(shù)值影響帶隙的情況與圖8(a)的影響原理相同，即參數(shù)值的變化引起了Helmholtz共振腔不同程度的體積變化，從而引起腔內(nèi)體積和個區(qū)域之間的相互作用產(chǎn)生變化，最終影響帶隙。

從圖8(e)可以看出，副腔內(nèi)圓半徑r1對帶隙下限影響比較明顯，主要是因為4個副腔占據(jù)了較大的空間，在r1變化時能夠引起明顯腔體體積變化，使得4個腔體內(nèi)的空氣與主腔內(nèi)的空氣之間的相互作用產(chǎn)生變化，從而引起共振頻率發(fā)生顯著變化。在r1下降到3.5 mm之后，有限元法計算的值逐漸趨于平穩(wěn)，而且等效模型法與有限元法的計算誤差變小。

從圖8(f)可以看出，在晶格常數(shù)a增大時，帶隙的上下限都線性降低，且?guī)秾挾茸兓^小。大晶格尺寸能擁有更大的內(nèi)腔空間，但是由于尺寸過大，在工程實際中難以應(yīng)用。

為了能夠更加清晰地看出上述提出的等效電路模型的有效性，統(tǒng)計了利用有限元法和等效電路計算出的第一帶隙下限頻率，并計算其平均誤差，將所有統(tǒng)計結(jié)果匯總到表2。本文平均誤差的計算式為：

(15)

式中：EA為平均誤差(average error)；Ei(i=1,2,3,4)為單個參數(shù)值的計算誤差。通過表2可以看出，有限元法的仿真值與等效模型的計算值最大誤差控制在10%以內(nèi)，且平均誤差控制在5%以下的合理范圍內(nèi)，產(chǎn)生誤差的主要原因是在環(huán)間構(gòu)成的環(huán)形通道已不再是細管道,造成了Helmholtz聲電類比的不和諧,導(dǎo)致計算誤差增加，但整體趨勢與實際值保持了一致。除此之外，開口空氣通道的等效長度及等效寬度不夠準(zhǔn)確，存在一定誤差，而且通道內(nèi)空氣可壓縮性的影響也不可忽略。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對第一帶隙下限的影響及有限元法與等效電路的平均誤差Table 2 Effect of structural parameters on the lower limit of the first band gap and the average error of the FEM and ECM /mm

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于開口圓環(huán)結(jié)構(gòu)的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)特點是四周對稱布置四個副腔。首先對其帶隙特性和聲傳輸損失性能進行了分析，并與單、雙開口圓環(huán)進行對比。其次利用聲-電類比法，設(shè)計了共振腔的等效電路模型。最后研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對其第一帶隙的影響。研究表明：

(1)本文提出的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)第一帶隙頻率范圍為432.43～663.98 Hz，在禁帶內(nèi)的大部分頻率范圍內(nèi)的隔聲量達到了10 dB以上，在第一、二帶隙內(nèi)的最大隔聲量分別超過90 dB和70 dB。造成傳播損耗的原因是聲波在結(jié)構(gòu)單元間的相互作用和腔內(nèi)的諧振效應(yīng)。

(3)聲-電類比法建立的等效模型和有限元法的仿真計算值最大誤差不超過10%，且平均誤差不超過5%，二者計算結(jié)果基本吻合且變化趨勢相同，可以認(rèn)為等效模型是合理的，有一定的理論價值。

(4)w、r1，以及R3、R4參數(shù)值越大，能夠獲得的帶隙下限越低，相反，W1、W2與帶隙下限值成正比。除此之外，晶格常數(shù)a能夠直接影響帶隙的上下限，但過大的a不易用于實踐。