倉林青，王友國，孫先莉

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023)

0 引 言

在互聯(lián)網科技發(fā)展的時代，在線社交網絡已經成為人們分享信息和相互交流的一種重要途徑。由于在線社交網絡的便利性、匿名性和開放性，信息可以自由且快速地傳播。不幸的是，謠言也將在社交網絡上大量傳播[1-2]。謠言是指在社會中出現并流傳的未經官方公開證實或已被官方所辟謠的信息[3-5]。例如，“5G高速技術導致新冠肺炎快速傳播、酒精能夠預防新冠肺炎”等一系列不實謠言不僅混淆公眾認知而且對個人和社會造成有害的影響[6-7]。因此，探索復雜社交網絡中的謠言擴散規(guī)律具有非常重要的現實意義。

考慮到謠言傳播過程與傳染病擴散過程的高度相似性，許多學者通過改良傳染病模型來構建謠言傳播模型，探究謠言傳播的內在規(guī)律[8-12]。后來復雜網絡理論逐漸應用于謠言傳播領域，以刻畫網絡拓撲結構對社交網絡謠言傳播的影響[13]。Yu等人[14]在復雜社交網絡中提出一種考慮討論者的謠言傳播模型，分析了平衡點的穩(wěn)定性并研究了無謠言平衡點處的臨界閾值情況。Xu等人[15]考慮到個體心理因素，在無標度社交網絡上構造SHPRS謠言傳播模型，利用下一代矩陣法推導基本再生數，詳細研究了無謠言平衡點的全局穩(wěn)定性和謠言傳播的持久性。Niranjan等人[16]運用平均場理論來構造雙重信息擴散模型，研究了傳播率對網絡謠言傳播的影響。在社交網絡中，不同的傳播機制和個體的社會行為屬性會影響謠言傳播進程。Xia等人[17]考慮到謠言內容的模糊性和吸引力特征，建立了具有猶豫機制的SEIR謠言傳播模型，仿真結果表明減小模糊性可以有效提高傳播閾值和降低謠言最大影響，且傳播閾值與吸引力無關。Wang等人[18]將信任機制引入謠言傳播過程中，實驗結果顯示信任機制不僅擴大了傳播閾值還減小了謠言最終規(guī)模，從而降低了謠言傳播的速度。Zhao等人[19-20]研究了遺忘機制和記憶機制對謠言傳播的影響。李燕等人[21]將非支持性評論行為考慮到謠言傳播模型，探究非支持性評論對網絡謠言的影響。另外，復雜社交網絡經常受許多環(huán)境因素的影響，隨機模型才能更加準確地描述真實的網絡狀態(tài)。通過將環(huán)境因素抽象為噪聲，研究者們建立隨機微分方程模型來探討噪聲干擾下的謠言傳播動力學過程[22-23]。賈芳菊[24]提出一個帶有白噪聲的隨機謠言傳播模型，研究隨機模型中謠言正解的存在性、持久性和熄滅性，得出在白噪聲影響下，隨機模型的基本再生數R0小于確定性系統(tǒng)的。Zhu等人[25]利用標準布朗運動修正節(jié)點度來體現噪聲干擾，提出一個修正的SIR謠言傳播模型，探索了噪聲干擾下的謠言擴散動力學行為。Chai等人[26]綜合考慮人口擾動和連通度變化的情況，建立一個隨機信息擴散模型，更加全面地研究了噪聲擾動對模型的影響。

以上的研究成果對謠言傳播機制做出了巨大貢獻，但大多數模型沒有將傳播者個體內在的心理差異因素考慮進謠言傳播模型。在復雜社交網絡中，不同心理敏感程度的傳播者在面對信息時將會有不同的反應。當一個心理敏感度高的傳播者在傳播謠言時，由于聽到與其所傳謠言相悖的言論或出于“自我保護”意識的敏感心理，心理敏感度高的傳播者將會自發(fā)地變成沉默者，暫時不傳播謠言。然而，沉默者個體再次接觸傳播者后，也會受“隨波逐流”心理的影響而轉變成傳播者，再次開始傳播謠言?；谝陨戏治觯撐脑诨維IR謠言傳播模型的基礎上，通過考慮傳播者心理差異因素而引入沉默者個體，同時考慮噪聲干擾的影響，構建隨機Si-SIR謠言傳播模型，研究隨機Si-SIR謠言傳播模型的動力學過程，證明謠言消亡的充分條件，并進行穩(wěn)態(tài)分析來研究傳播閾值的情況。利用蒙特卡洛方法進行仿真實驗，分析噪聲干擾和傳播者心理差異因素對謠言傳播造成的影響。該模型考慮的因素更加全面且貼合真實社交網絡的特點，為探究復雜社交網絡的謠言傳播規(guī)律和謠言有效防控提供堅實的基礎。

1 噪聲干擾下的隨機Si-SIR謠言傳播模型

根據社交網絡謠言傳播的特征，假設在一個由N個個體組成的社交網絡中，將個體狀態(tài)分為以下四類：未知者S(從未接觸過謠言的個體，但易受謠言的影響)、傳播者I(相信并傳播謠言的個體)、沉默者Si(保持沉默狀態(tài)的個體，來源于傳播者個體但暫時不傳播謠言)和免疫者R(知道謠言但從不傳播謠言的個體)。假設傳播者通過與其他個體直接接觸而傳播謠言，由于謠言的生存周期遠小于個體的生命周期，即在謠言擴散的整個過程中不考慮個體的出生率和死亡率。考慮傳播者心理差異的Si-SIR謠言傳播規(guī)律描述如下：

(1)當未知者與傳播者接觸，一部分未知者以傳播率λ轉化為傳播者，另一部分未知者以拒絕率γ轉化為免疫者。

(2)考慮到傳播者心理差異因素，心理敏感度高的傳播者自發(fā)地以沉默率β轉變?yōu)槌聊撸涣硪环矫?，當沉默者接觸傳播者，沉默者以復發(fā)率θ轉變?yōu)閭鞑フ?。將這兩者之間的轉換關系稱為沉默-復發(fā)機制。

(3)當傳播者與沉默者、免疫者和其他傳播者接觸時，初始傳播者將以概率α轉化成免疫者，其中α稱為抑制率。

1.1 同質網絡上的隨機Si-SIR謠言傳播模型

(1)

其中，初始條件為S(0)=(N-1)/N≈1，I(0)=1/N≈0，Si(0)=R(0)=0，N表示網絡規(guī)模。圖1示意的是隨機Si-SIR謠言傳播模型的狀態(tài)轉移過程。

圖1 隨機謠言傳播模型狀態(tài)轉移圖

1.2 異質網絡上的隨機Si-SIR謠言傳播模型

(2)

βIk'(t)-αk'Ik'(t)Φ(t)

(3)

(4)

(5)

2 隨機模型的穩(wěn)態(tài)分析

2.1 謠言消亡的充分條件

(6)

這意味著當t→∞時，謠言將依概率1消亡。

證明：定義函數F(I(t))=lnI(t)，則F(I(t))關于t連續(xù)可微，關于I二階可微，由伊藤引理可得(簡記B(t)，S(t)，I(t)，Si(t)，R(t)分別為Bt，St，It，Sit，Rt)：

β)dt+(λσSt+(θ-α)σSit-ασIt-

ασRt)dBτ

(7)

對式兩邊求定積分，再取極限，可得：

由于Bt為標準布朗運動，即Bt～N(0,1)，因此，

2.2 同質網絡上的穩(wěn)態(tài)分析

在定理1的條件下，當同質網絡中不存在傳播者個體時(I(t)=0)，即謠言停止傳播，此時系統(tǒng)中僅有免疫者個體，整個系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。因此，將最終的免疫節(jié)點密度表示為謠言的最終規(guī)模R，該文通過研究謠言的最終規(guī)模R來討論傳播閾值，進而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對方程進行化簡，可得：

即：

(8)

同時，終止時刻有S(∞)=1-R(∞)，對方程左右兩端關于R(t)和S(t)從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)積分，再對兩端取以e為底的指數，得到超越方程：

(9)

顯然，方程始終有平凡解R=0。此外，若求解非平凡解，則必須滿足：

(10)

由于等價條件(λ+α)/α>1對非零的參數λ和α總是成立的，所以，當λ>0時，方程存在非平凡解。

觀察圖2可知，謠言的最終規(guī)模R隨著傳播率λ的增加而增加，越大的抑制率α導致越小的謠言的最終規(guī)模。這是由于傳播率越大，促進越多的未知者轉變?yōu)閭鞑フ撸瑥亩岣吡酥{言的最終規(guī)模。然而，抑制率越高，越多的傳播者停止傳播謠言，成為免疫者，從而導致系統(tǒng)中留下的傳播者越少，傳播者與未知者的接觸概率減小，導致謠言的最終規(guī)模降低。當λ=0時，才有R=0，這表明當傳播率λ>0時系統(tǒng)中有謠言傳播，意味著隨機模型不存在傳播閾值，這與文獻[19]的結論一致。

圖2 謠言的最終規(guī)模R隨傳播率λ和抑制率α的變化趨勢

2.3 異質網絡上的穩(wěn)態(tài)分析

〈〈e-(λ+γ)k'φ(t')〉〉]dt'-

〈〈e-(λ+γ)k'φ(t')〉〉]dt'

(11)

利用以上方法對方程進行化簡，可得：

(12)

當t→∞時，有dφ(t)/dt=0，dψ(t)/dt=0。因此，化簡并聯(lián)立方程和可以得到：

〈〈e-(λ+γ)k'φ(t')〉〉]dt'=0

(13)

分別對方程和進行積分，可得：

e-(λ+γ)k'φ(t)〉〉dt'

(14)

(15)

對式和式關于α取高階無窮小，聯(lián)立后化簡可得關于Ik'(t)的表達式：

(16)

令φ(t)=φ∞f(t)，其中f(t)是有限函數。因此，式可化簡為：

(17)

通過將式代入方程化簡可得：

(18)

以上結果表明在異質網絡上無傳播閾值，即謠言可以擴散并影響系統(tǒng)中的個體，這與文獻[20]的結論一致。

3 仿真結果

為了驗證所提隨機謠言傳播模型的正確性，分別在人工網絡(WS網絡、BA網絡)和Facebook真實社交網絡中進行仿真實驗，具體的特征參數見表1。利用蒙特卡洛方法模擬謠言傳播的演化過程，分析參數對社交網絡謠言傳播的影響。為減小隨機誤差，所有模擬結果都是經過100次獨立仿真得到的平均結果，且在實驗過程中設定一個初始傳播者。同時，系統(tǒng)中的噪聲設定為獨立同分布的零均值高斯白噪聲。網絡中的傳播率λ、拒絕率γ、沉默率β、復發(fā)率θ、抑制率α和噪聲強度σ設置為0.6，0.2，0.5，0.5，0.8和11(滿足定理1的條件)。

表1 WS、BA和Facebook網絡的特征參數

圖3 BA網絡中不同噪聲擾動次數下的度分布(弱噪聲)

考慮到真實社交網絡顯著的無標度特征[27-28]，主要研究噪聲對BA無標度網絡拓撲結構的影響。圖3分別展示了在經歷0次、1次、5次、10次弱噪聲(σ=1)干擾下的BA無標度網絡的拓撲結構演化趨勢。其中子圖(a)表示初始時刻的網絡度分布，近似服從冪律分布即網絡中大部分節(jié)點的度較小，存在少量的高連通度節(jié)點(稱為hub節(jié)點)，具有顯著的長尾特征。在子圖(b)中，經歷一次弱噪聲擾動后，度分布出現輕微震蕩，節(jié)點度k與度分布P(k)不再完全滿足指數下降關系，但整體依然近似滿足冪律分布。通過觀察圖3(c)和圖3(d)發(fā)現，經歷多次弱噪聲干擾后，BA無標度網絡的度分布出現多個局部峰值，即網絡中出現大量次級中心節(jié)點，原h(huán)ub節(jié)點的分布變得稀疏，網絡的無標度特征被破壞。這些現象表明即使很小的噪聲也會影響網絡的度分布。

圖4分別顯示在WS、BA人工網絡和Facebook真實網絡中，噪聲干擾對謠言傳播演化過程的影響。在不考慮噪聲擾動時，從圖4(a)、4(c)、4(e)可以看出，Facebook網絡上謠言的最終規(guī)模是最大的，WS網絡第二，BA網絡最小。但是，謠言在Facebook網絡上達到穩(wěn)態(tài)和峰值所需的時間比WS和BA網絡短。此外，謠言在WS網絡中的最終規(guī)模R稍大于BA網絡，而BA網絡中的擴散速度明顯比WS網絡快。這是由于BA網絡中的hub節(jié)點使得更多的鄰居節(jié)點更容易獲得謠言并更有效的向其他節(jié)點傳播謠言，這在一定程度上加速謠言的傳播，然而，當hub節(jié)點轉化為免疫節(jié)點后也會在一定程度上阻礙謠言的傳播，這與文獻[29]中的結論一致。Facebook網絡擁有比BA網絡更多的hub節(jié)點，這些hub節(jié)點可以使得謠言在更短的時間內蔓延到整個網絡，從而造成更大的謠言最終規(guī)模。因此，謠言在Facebook網絡中傳播的速度最快，也是最早開始衰落的，并最終趨于消亡。在考慮噪聲擾動時，通過圖4(b)、4(d)、4(f)與圖4(a)、4(c)、4(e)對比可以發(fā)現，添加適量噪聲進行干擾可以促使人工網絡和Facebook真實網絡中謠言的最終規(guī)模R更大，傳播節(jié)點達到峰值的時間更早且峰值更高，即噪聲干擾可以有效促進謠言的擴散。此外，網絡中添加噪聲干擾，使得沉默節(jié)點最終趨于消亡，這表明噪聲干擾在沉默節(jié)點復發(fā)為傳播節(jié)點方面起到促進作用，從而降低了系統(tǒng)中沉默節(jié)點的比例。

圖4 不同網絡中謠言傳播的演化過程

為了更加有針對性地研究沉默-復發(fā)機制對謠言傳播的影響，假設此時忽略噪聲對網絡拓撲結構的影響，系統(tǒng)中模型參數為：λ=0.6，γ=0.2，α=0.8。圖5表示在不同的沉默率β和復發(fā)率θ情況下，傳播節(jié)點密度隨時間的變化趨勢。圖5中傳播節(jié)點密度的峰值表示謠言的最大影響Imax。仿真實驗表明，沉默-復發(fā)機制越強烈，謠言的最大影響Imax的值越大，且謠言消亡的時間越晚。這是因為越強的沉默-復發(fā)機制削弱了抑制率α，從而使得系統(tǒng)中謠言的最大影響Imax提高。相比于傳播者的自發(fā)沉默行為，沉默者的復發(fā)行為起著更為重要的作用。不難理解，隨著互聯(lián)網技術的發(fā)展，個體之間進行信息交流變得更加頻繁、便捷。在傳播者因心理差異因素而自發(fā)變成沉默者時，沉默者又會頻繁地接觸到外界的謠言信息并再次進行謠言傳播。沉默-復發(fā)機制在謠言傳播過程中起著促進作用，但延遲了謠言消亡的時間。此外，BA網絡和Facebook真實網絡中謠言達到最大影響Imax所需的時間短于WS網絡，這是由于BA網絡和Facebook網絡的無標度特征所引起的。

圖5 沉默-復發(fā)機制對傳播節(jié)點密度的影響

4 結束語

考慮到復雜社交網絡受環(huán)境因素的影響以及傳播者個體存在的心理差異，該文在基本SIR謠言傳播模型的基礎上，建立一個隨機Si-SIR謠言傳播模型。利用平均場理論在同質網絡和異質網絡中構建隨機微分方程，證明了謠言消亡的充分條件，并對隨機模型進行穩(wěn)態(tài)分析來研究傳播閾值情況。利用蒙特卡洛方法模擬謠言在WS小世界網絡、BA無標度網絡和Facebook真實社交網絡中的傳播演化，分析了噪聲干擾和沉默-復發(fā)機制對謠言傳播過程的影響。仿真實驗表明，適量的噪聲干擾可以加速謠言的傳播演化，擴大謠言的最大影響和謠言的最終規(guī)模。沉默-復發(fā)機制提高了謠言的最大影響，但延長了謠言消亡的時間。此外，隨機Si-SIR謠言傳播模型不存在傳播閾值。因此政府部門或有公信力的媒體平臺要加強辟謠網站的建設，及時發(fā)布辟謠信息，降低沉默節(jié)點出現的機率，弱化傳播者心理差異造成的影響。雖然研究的多種因素對謠言傳播過程的影響具有一定的意義，但是把最優(yōu)化控制方法考慮到謠言傳播模型中，解決謠言控制問題也是未來值得研究的方向。