游娜

（陸軍步兵學(xué)院，江西 南昌 330100）

聲源或觀察者相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收到的頻率與波源實(shí)際頻率不同的現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)。多普勒效應(yīng)在多個(gè)領(lǐng)域有重要作用，醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中超聲頻移診斷，探頭和反射體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生頻移現(xiàn)象，還可以測(cè)量血流速度；交通領(lǐng)域安裝多普勒測(cè)速儀,通過接收反射波的頻率反推出車輛行駛速度；天文學(xué)家利用電磁波紅移說明大爆炸理論、衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等，多普勒效應(yīng)實(shí)際應(yīng)用中遇到的運(yùn)動(dòng)形式是多樣的，更為復(fù)雜，而在大多數(shù)大學(xué)物理學(xué)的教科書中和相關(guān)研究中，對(duì)多普勒效應(yīng)的論述不僅是限于在一條直線上，而且只考慮觀察者和波源都是做勻速直線運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單情況。因此，本文在分析多普勒效應(yīng)的特點(diǎn)基礎(chǔ)上，討論變速運(yùn)動(dòng)過程中的另一種特殊情況，波源和觀察者在共線和不共線時(shí)均做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典多普勒效應(yīng)。

1 多普勒效應(yīng)的特性

1.1 瞬時(shí)性

在實(shí)際情況中，觀察者接收到的頻率是對(duì)應(yīng)著某一時(shí)刻波源發(fā)出來的頻率，而它們之間的關(guān)系又與觀察者之間的相對(duì)位置變化有關(guān)，因而，觀察者測(cè)得的頻率具有瞬時(shí)性。為了將問題形象化，基于瞬時(shí)性建立數(shù)軸,確定正方向沿著波的傳播方向，以波源發(fā)出時(shí)刻的位置和被接收時(shí)刻的位置連線作為瞬時(shí)數(shù)軸，記錄不同時(shí)刻波源和觀察者的位置。

1.2 不同時(shí)性

根據(jù)機(jī)械波的性質(zhì)可知，波源發(fā)射波的時(shí)刻相對(duì)觀察者接收的時(shí)刻要提前，也就是波發(fā)出的時(shí)間和觀察者接收時(shí)間不一致 ,如果觀察者與波源距離越遠(yuǎn)，則時(shí)間差也越大。根據(jù)不同時(shí)性這一特征，任意時(shí)刻觀察者接收到的波可能不是一個(gè)完整的，為了簡(jiǎn)化問題，將不同時(shí)刻發(fā)出的波到觀察者接收時(shí)刻，這段時(shí)間差觀察者接收到的是完整波的個(gè)數(shù)，計(jì)算經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間觀察者把發(fā)出的所有波接收完畢。

1.3 規(guī)律不變性

波源和觀察者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，它們所測(cè)量的波的波長(zhǎng)、頻率和波速不同，但研究對(duì)象都是這列波，根據(jù)波的性質(zhì)，波長(zhǎng)、頻率和波速之間應(yīng)該滿足波長(zhǎng)等于波速除以頻率的關(guān)系。波源在整個(gè)空間發(fā)出的是球面波,然而每個(gè)方向上看是等效的，因此可將問題簡(jiǎn)化成沿著一個(gè)方向看成是一個(gè)縱波，根據(jù)此特性就可以定義觀察者接收到完整波的個(gè)數(shù)。

2 波源和觀察者在同一直線上運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)

普通物理教材中的多普勒效應(yīng)是指：由于波源或觀察者相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng),使觀察者接收到的頻率f和波源實(shí)際發(fā)出的頻率f0不相同。按照定義,設(shè)在時(shí)間間隔內(nèi)波源共發(fā)出個(gè)波,此波在介質(zhì)中傳到觀察者的位置，假設(shè)在時(shí)間內(nèi)全部接收,觀察者接收到的頻率應(yīng)是：

按照上述思路，先考慮波源與觀察者在同一直線上做勻變速運(yùn)動(dòng)的情況。以運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸,假定都沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，波源與觀察者的加速度分別為aS、aR，任意時(shí)刻速度大小設(shè)為和，波速為。如圖1所示，從某一時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，波源在S1處靜止開始運(yùn)動(dòng)并發(fā)出連續(xù)的波，經(jīng)的時(shí)間總共發(fā)出的波數(shù)為在這段時(shí)間內(nèi)波源從S1處運(yùn)動(dòng)到S2處，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得S1S2之間的距離為：

設(shè)波源發(fā)出的第一個(gè)波由S1處傳到觀察者所在R1處所需時(shí)間剛好也為則此時(shí)觀察者的速度大小為波源運(yùn)動(dòng)到S2處時(shí)刻為并發(fā)出了最后一個(gè)波，該波被觀察者在R2處接收時(shí)刻為將這一時(shí)刻減去第一個(gè)波發(fā)出到被觀察者接收的時(shí)刻正是，同時(shí)也是觀察者從R1運(yùn)動(dòng)到R2所用時(shí)間，再根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得出R1R2的距離為：

將⑵⑶兩式代入⑷式將所得等式：

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可得，某一時(shí)刻波源和觀察者的速度分別為：

代入上式中并整理得出：

在要求波源的速度和觀察者的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波的傳播速度前提下，即

在“低速”近似條件下，對(duì)上述方程求解得：

其中一個(gè)解為負(fù)數(shù)舍去，所以：

將該式子代入（1）式便得到

若波源與觀察者的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向相反,則應(yīng)相應(yīng)將正號(hào)改成負(fù)號(hào),于是便得到在經(jīng)典條件下，波源與觀察者在同一條直線上做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的多普勒效應(yīng)。接下來，將問題進(jìn)一步深化，討論波源與觀察者不在一條直線上做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的多普勒效應(yīng)的情況。

3 波源與觀察者不在一條直線上運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)

波源S靜止不動(dòng),觀察者以加速度為aR從靜止開始運(yùn)動(dòng),如圖2所示。在0時(shí)刻波源S發(fā)出第一個(gè)波，則在時(shí)刻被觀察者在R1處接收。經(jīng)過△t1時(shí)間波源發(fā)出最后一個(gè)波，被觀察者在R2處接收，此時(shí)為觀察者接收全部的波所用時(shí)間為：

在滿足R1S>>R1R2條件下，即“高頻”條件下：

接下來的數(shù)據(jù)處理與波源和觀察者在同一直線上運(yùn)動(dòng)情況相同，同理可解出：

將該式子代入（1）式便得到

即得出波源不動(dòng),觀察者做勻加速直線運(yùn)動(dòng)并且它們不在一條直線上的情況下，觀察者接收到的頻率與波源的頻率之間的關(guān)系，其中公式中的α為觀察者運(yùn)動(dòng)方向和觀察者與波源連線的夾角。

觀察者靜止不動(dòng)，波源以加速度as運(yùn)動(dòng)，從靜止做勻加速直線運(yùn)動(dòng),如圖3所示。在0時(shí)刻波源在S1發(fā)出第一個(gè)波，在時(shí)刻被觀察者在R處接收。經(jīng)過時(shí)間波源發(fā)出最后一個(gè)波，觀察者在時(shí)刻接收。

整理解出：

代入(1)式便得：

該式子表示波源在做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者在R處接收到的頻率與波源頻率之間的關(guān)系，其中β為波源運(yùn)動(dòng)方向與波源和觀察者連線之間的夾角。

波源和觀察者都非靜止?fàn)顟B(tài)，并分別以初速度為0，加速度為as、aR做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如圖4所示。

波源和觀察者分別以加速度as及加速度aR從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),兩條直線交于O點(diǎn),夾角為θ。在t=0時(shí)刻,波源的位置在S點(diǎn)(到O點(diǎn)的距離為a),觀察者的位置在R點(diǎn)(到O點(diǎn)的距離為b)，此兩點(diǎn)的連線它與波源和觀察者運(yùn)動(dòng)方向的夾角分別為α和β。波源發(fā)出的第一個(gè)波由S1點(diǎn)傳到觀察者所在的R1點(diǎn)則所需時(shí)間為此時(shí)在△t1時(shí)刻波源在S2處發(fā)出最后一個(gè)波被觀察者在R2處接收時(shí)刻為且所以：

在三角形OS1R1中根據(jù)余弦定理：

同理在三角形S1RR1和三角形OS2R2中分別有：

根據(jù)幾何關(guān)系于是有：

將(9)、(10)代入到(8)式中化簡(jiǎn)得：

將該等式右邊進(jìn)行二項(xiàng)式展開后得到：

因此上式代入到(6)式則：

接下來的數(shù)據(jù)處理方法與之前的類似便能得到觀察者接收到的頻率與波源頻率的關(guān)系式：

該式即為經(jīng)典的多普勒效應(yīng)在觀察者和波源初速度都為零且均做勻加速直線運(yùn)動(dòng)情況下一般表達(dá)式,外加需要滿足“低速”條件，即經(jīng)典條件。

從(12)式出發(fā)進(jìn)一步對(duì)該經(jīng)典的多普勒效應(yīng)進(jìn)行討論：

②由于波源和觀察者的速度都是時(shí)間的函數(shù)，所以推出的多普勒公式也不是一個(gè)定值，同樣也是隨時(shí)間變化的函數(shù)。另外，當(dāng)波源與觀察者不在一條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)觀察者接收到的頻率不一定與時(shí)間成正相關(guān)，根據(jù)圖3能夠定性的分析出觀察者接收到的頻率先增大后減小，所以觀察者接收到的音調(diào)并不一定是越來越高。

③(12)式可以認(rèn)為是一般結(jié)果，式中若α=0，β=0，則有：

即與前面(5)式結(jié)果一致。進(jìn)行對(duì)比看出，觀察者與波源不在一條直線上運(yùn)動(dòng)的情況是在(5)的基礎(chǔ)上再分別將它們的速度投影在兩者之間的連線上，該特點(diǎn)與觀察者與波源都做勻速直線運(yùn)動(dòng)情況一致。并且，當(dāng)考慮到波源與觀察者不同的運(yùn)動(dòng)方向的情況，速度取不同的正、負(fù)值。

④任何規(guī)律和公式都有一定的適用條件，以上推出的多普勒效應(yīng)公式也是在一定范圍內(nèi)成立的，(12)式是在同時(shí)滿足了“高頻”條件即和波源的速度及觀察者的速度都要滿足遠(yuǎn)遠(yuǎn)的小于波速即“低速”條件下，可見(12)式嚴(yán)格說應(yīng)該是波源與觀察者均做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的經(jīng)典多普勒效應(yīng)近似公式。

4 結(jié)語

為了更好討論在勻變速運(yùn)動(dòng)情況下的多普勒效應(yīng)，先分析出多普勒效應(yīng)的3個(gè)性質(zhì)，即瞬時(shí)性、不同時(shí)性、規(guī)律一致性，基于此再進(jìn)一步討論波源和觀察者在同一直線上運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)和不在一條直線上運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)，并分別分析推導(dǎo)在波源、觀察者其中一個(gè)做勻加速運(yùn)動(dòng)的情況和兩者都做勻加速直線運(yùn)動(dòng)情況時(shí)的接收頻率公式，并且發(fā)現(xiàn)在“高頻”和“低速”的條件下其他情況的討論可以看成是波源與觀察者均做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的特殊情況，即得到了波源與觀察者做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的經(jīng)典多普勒效應(yīng)一般公式。