也談“奔馳定理”及其空間形式的推廣證法

魏東升

(福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū) 363107)

文[1]從三角形面積和線段比例關(guān)系、正弦形式的三角形面積公式、三角形重心的性質(zhì)、向量按垂直坐標(biāo)系分解的性質(zhì)和平面向量基本定理等五個(gè)方面對(duì)奔馳定理進(jìn)行了證明，讀來受益匪淺．筆者對(duì)該定理也進(jìn)行了進(jìn)一步的探究，并在文[1]的基礎(chǔ)上又得到了五種方法，同時(shí)對(duì)其空間形式的推廣也給出了三種證法，為方便討論，引該定理如下：

圖1 圖2

如圖2，延長AP交BC于點(diǎn)D，可得

所以只需證明等式

因?yàn)锽,C,D三點(diǎn)共線，所以上式顯然成立.

圖3

以點(diǎn)P為原點(diǎn)，PC所在直線為x軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，記PB和PC的夾角為θ1，PC和PA的夾角為θ2，PA和PB的夾角為θ3，不妨認(rèn)為A,B兩點(diǎn)分別在一，四象限，其他情況同理.

證法4 結(jié)合題意可知a，b，c三數(shù)同號(hào).

所以SA∶SC=a∶c=a∶c.

同理可證SB∶SC=b∶c，SA∶SB=a∶b.

即SA∶SB∶SC=a∶b∶c，定理得證.

由克拉姆法則可知

=SA∶SB=a∶b.

同理可證SB∶SC=b∶c，SA∶SB=a∶b.

即SA∶SB∶SC=a∶b∶c，定理得證．

“奔馳定理”有多種推廣形式，如可把點(diǎn)P由三角形內(nèi)任一點(diǎn)推廣到三角形外任一點(diǎn)，進(jìn)而推廣到空間中三棱錐內(nèi)的任一點(diǎn)．以下給出該定理的空間推廣形式及相應(yīng)的證明方法:

圖4

即只需證明等式

如圖4，延長AP交平面BCD于點(diǎn)E，則

因?yàn)锽，C，D，E四點(diǎn)共面，所以上式顯然成立，定理得證.

所以VA∶VD=a∶d=a∶d.

同理可證VA∶VB=a∶b，VA∶VC=a∶c，VA∶VD=a∶d.

即VA∶VB∶VC∶VD=a∶b∶c∶d，定理得證.

由克拉姆法則可知:

同理可得

所以a∶b

=VA∶VB=a∶b.

同理可證VA∶VC=a∶c，VA∶VD=a∶d.

即VA∶VB∶VC∶VD=a∶b∶c∶d，定理得證.