李 駿,蔡凈伶,鄭麗娟,杜佳佳

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000)

1 問題的提出

中國天眼—500 米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(簡稱FAST),為天體樣本觀測提供了便利. 它的建立大幅增加科學(xué)家觀測天體的樣本數(shù)目,提升天體觀測質(zhì)量,為現(xiàn)代物理學(xué)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)、天文學(xué)的理論和模型研究等提供了支持,推動(dòng)我國的射電天文邁入新臺階. FAST 的主動(dòng)反射面可分為兩個(gè)狀態(tài):基準(zhǔn)態(tài)和工作態(tài). 基準(zhǔn)態(tài)時(shí)反射面為一球面(基準(zhǔn)球面)；工作態(tài)時(shí)反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個(gè)近似旋轉(zhuǎn)拋物面(工作拋物面). 當(dāng)FAST 觀測某個(gè)方向的天體目標(biāo)S 時(shí),饋源艙接收平面的中心被移動(dòng),調(diào)節(jié)基準(zhǔn)球面上的部分反射面板形成一個(gè)近似旋轉(zhuǎn)拋物面,從而將來自目標(biāo)天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域. 在反射面板調(diào)節(jié)約束下,確定一個(gè)理想拋物面,然后通過調(diào)節(jié)促動(dòng)器的徑向伸縮量,將反射面調(diào)節(jié)為工作拋物面,使得該工作拋物面盡量貼近理想拋物面,以獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果.

問題:結(jié)合考慮反射面板調(diào)節(jié)因素,確定主動(dòng)反射面板理想拋物面；建立反射面板調(diào)節(jié)模型,使反射面盡量貼近該理想拋物面,并將理想拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo),以及調(diào)節(jié)后反射面300 米口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)編號、位置坐標(biāo)、各促動(dòng)器的伸縮量等結(jié)果給出.并依據(jù)所給出的反射面調(diào)節(jié)方案,計(jì)算調(diào)節(jié)后饋源艙的接收比,并與基準(zhǔn)反射球面的接收比作比較.[1]

2 模型假設(shè)及符號說明

模型假設(shè):

(1) 不考慮下拉索張力；

(2) 工作狀態(tài)時(shí)整個(gè)反射面板的形狀為拋物面；

(3) 忽略圓孔對面板反射的影響；

(4) 電磁波信號及反射信號均為直線傳播；

(5) 反射面板的厚度忽略不計(jì)；

(6) 基準(zhǔn)態(tài)式的反射面板是相同的等邊三角形,且質(zhì)地均勻.

表1 符號說明

3 問題分析

根據(jù)觀測天體與基準(zhǔn)球面球心以及饋源艙接收平面的中心與焦面交點(diǎn)的特殊位置關(guān)系以及賽題中給出的所有坐標(biāo)的繪圖,構(gòu)建空間幾何關(guān)系的拋物面方程的數(shù)學(xué)模型.[2]針對不同角度下的理想拋物面根據(jù)空間中的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換關(guān)系矩陣,得到旋轉(zhuǎn)之后的理想拋物面的參數(shù)方程. 以節(jié)點(diǎn)伸縮量的變化坐標(biāo)為變量,以伸縮量變化的限定條件建立單目標(biāo)非線性優(yōu)化模型,找出理想拋物面與調(diào)節(jié)后拋物面的偏差函數(shù),建立優(yōu)化模型求出最優(yōu)伸縮量.[3-4]

考慮反射面板在主索網(wǎng)的三角網(wǎng)格中,反射面板為三角形. 任一反射面板的信號反射到饋源艙所在平面的形狀為三角形,探究其在饋源艙有效區(qū)域的占比情況,得到一個(gè)反射面板的饋源艙接收比. 根據(jù)問題中主索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為對應(yīng)反射面板坐標(biāo),尋找三角板入射信號與出射信號平面. 通過確定出射信號的方程,尋找出射信號方程與饋源艙所在平面交點(diǎn),得到出射信號在平面組成三角形的大小情況. 計(jì)算三角形與饋源艙有效區(qū)域的重合面積大小,得到一個(gè)反射面板對于饋源艙的信號反射比. 通過對300米口徑內(nèi)所有反射面板的信號反射比進(jìn)行相加,得到饋源艙的接收比.

4 模型建立與求解

4.1 主動(dòng)反射面運(yùn)動(dòng)機(jī)理

FAST反射面單元在其三個(gè)主索節(jié)點(diǎn)上都有連接裝置,并與支承系統(tǒng)組建成一個(gè)反射面系統(tǒng).FAST 主動(dòng)反射面由基準(zhǔn)狀態(tài)轉(zhuǎn)為工作狀態(tài)時(shí),需要通過下拉索來實(shí)現(xiàn)變位,下拉索與促動(dòng)器配合實(shí)現(xiàn)由球面變形為工作拋物面.我們設(shè)想,球體表面上有一節(jié)點(diǎn)O(處于照明區(qū)域),其下方一條下拉索沿球體直徑方向,現(xiàn)在需要通過調(diào)節(jié)該下拉索以使得該節(jié)點(diǎn)能夠到達(dá)工作拋物面的一點(diǎn)O＇上,在理論的情況下,該節(jié)點(diǎn)應(yīng)該到達(dá)我們所設(shè)想的點(diǎn)O＇上,但在現(xiàn)實(shí)中,往往由于系統(tǒng)本身存在一定的測量誤差等因素的介入,使得變動(dòng)后的節(jié)點(diǎn)與工作拋物面上點(diǎn)O＇重合度產(chǎn)生偏差,移動(dòng)到了O″,所以對理想拋物面的求解,即要偏差最小.

4.2 S 位于基準(zhǔn)球面正上方時(shí),反射面板的理想拋物面模型.

基準(zhǔn)球面是FAST 的主要結(jié)構(gòu),依據(jù)賽題中所給的數(shù)據(jù),通過MATLAB 繪圖,得到基準(zhǔn)球面的三維圖(如圖1),其俯視圖(如圖2).

圖1 基準(zhǔn)球面的三維圖

圖2 基準(zhǔn)球面俯視圖

觀測天體S位于基準(zhǔn)球面的正上方,即S位于基準(zhǔn)球面球心C點(diǎn)的正上方,饋源艙接收平面的中心被移到直線SC與焦面的焦點(diǎn)P處,所以S、C、P位于同一直線上,調(diào)節(jié)基準(zhǔn)球面上的部分反射面板形成SC對稱軸、以P 為焦點(diǎn)的近似旋轉(zhuǎn)拋物面,從而將來自目標(biāo)天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域.

所以以C為原點(diǎn),以點(diǎn)C與點(diǎn)S的連線為z軸,逆時(shí)針方向建立x軸、y軸,構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系. 取xCz平面畫出圖3進(jìn)行分析研究.

圖3 xCz平面上點(diǎn)的位置關(guān)系

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線方程為:

由于|CM|= R,|PM|= F,所以得到P點(diǎn)在xCz 平面的坐標(biāo)為(0, R-F),即為理想拋物面的拋物線的實(shí)際焦點(diǎn),所以理想拋物面是由標(biāo)準(zhǔn)拋物面向z軸負(fù)半軸平移得到.

焦點(diǎn)向下平移的距離為:

所以理想拋物面的方程模型為:

在圖3的Rt△CNM1中有,

由(5)式、(6)式可得:

而M1的坐標(biāo)為(-|NM1|, -|PN |), M2的坐標(biāo)為(|NM1|, -|PN |),將M1的坐標(biāo)代入(4)式,可得:

將R=300m,F=0.466R 代入(8)式, 通過MATLAB 求解得出,p=279.668,所以理想拋物面的方程為:

4.3 S 偏角為α,β 時(shí),反射面板的理想拋物面及反射面板調(diào)節(jié)模型

4.3.1 反射面板的理想拋物面模型

當(dāng)觀測天體S位于方位角為α和仰角為β時(shí),它的理想拋物面為觀測天體S位于基準(zhǔn)球面的正上方時(shí)的理想拋物面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到,即理想拋物面上的點(diǎn)(x,y,z),分別繞x軸旋轉(zhuǎn)θ度,y軸旋轉(zhuǎn)γ度,z軸旋轉(zhuǎn)ω度. 由空間中點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換關(guān)系,可得該點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)(x＇,y＇,z＇) 的坐標(biāo)為:

由此可以得到旋轉(zhuǎn)之后的理想拋物面的參數(shù)方程為:

由于夾角α = 36.795°,β = 76.169°,即θ=可得:

此時(shí)的理想拋物面方程為:

其中u,v為參數(shù).

4.3.2 反射面板調(diào)節(jié)模型

主索網(wǎng)反射面形狀的改變是通過下拉索與促動(dòng)器的配合來完成的. 下拉索長度固定,通過調(diào)節(jié)促動(dòng)器的徑向伸縮量來完成下拉索的調(diào)節(jié),從而可使節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到理想拋物面上,已達(dá)到調(diào)節(jié)反射面板的位置的目的,最終形成其工作拋物面.

4.3.2.1 反射面板調(diào)節(jié)模型的機(jī)理分析

主動(dòng)反射面工作時(shí)要求對饋源艙照明部分的主動(dòng)反射面進(jìn)行調(diào)整,當(dāng)照明部分的網(wǎng)面調(diào)整為理想拋物面時(shí),使得來自觀測天體S 的平行電波經(jīng)反射面板反射后能被饋源艙接收的電波最多,因此建立反射面板的調(diào)節(jié)模型.

假設(shè)主動(dòng)反射面板上的節(jié)點(diǎn)的初始位置為:

其中xi0(i= 1,2,3…)是節(jié)點(diǎn)i初始位置的坐標(biāo),要對主動(dòng)非反射面進(jìn)行調(diào)整,則需要對節(jié)點(diǎn)的位置進(jìn)行調(diào)整,對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的位移為:

其中Δhi=[Δxi,Δyi,Δzi]T.由此可得調(diào)整之后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為:

當(dāng)天體S的位置變換時(shí),根據(jù)求得的理想拋物面的模型可以得到拋物面上點(diǎn)的變換矩陣T.則相應(yīng)的初始位置x0,節(jié)點(diǎn)調(diào)整的位移Δh和調(diào)整后節(jié)點(diǎn)的位置x為:

4.3.2.2 反射面板調(diào)節(jié)模型的目標(biāo)函數(shù)

設(shè)某時(shí)刻饋源倉照明區(qū)域的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,照明區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的初始坐標(biāo),和調(diào)整位移為xq和Δhq,調(diào)整之后要使得饋源艙照明去取的節(jié)點(diǎn)盡量多的位于理想拋物面上. 取實(shí)際拋物面上的任一點(diǎn)(xi,yi,zi),對于任意在照明區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)j的位置與理想拋物面的偏離程度:

所以有:

其中Δxdj,Δyjd,Δzdj表示節(jié)點(diǎn)j旋轉(zhuǎn)后的位移分量.[3,5]

由于主動(dòng)反射面的初始位置幾乎就位于基本球面上,與理想拋物面的偏差很小,因此δj(xdj)中的二次項(xiàng)可以忽略不記,即:

當(dāng)照明區(qū)域的節(jié)點(diǎn)都位于理想拋物面上時(shí),任一節(jié)點(diǎn)j的偏離程度為零,得到目標(biāo)函數(shù),使各節(jié)點(diǎn)的偏離程度的平方和最小. 即求:

的最小值.

4.3.2.3 反射面板調(diào)節(jié)模型的約束條件

促動(dòng)器的徑向伸縮范圍為-0.6米至0.6米,即:

主索點(diǎn)調(diào)節(jié)后,相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的距離會發(fā)生微小的變化,變化幅度不超過0.07%.

設(shè)計(jì)如下的求解變化幅度的算法步驟:

Step 1:求出基準(zhǔn)球面上兩相鄰節(jié)點(diǎn)的距離li;

Step 2:求出實(shí)際拋物面上兩相鄰節(jié)點(diǎn)的距離,與基準(zhǔn)球面的兩相鄰節(jié)點(diǎn)的距離的變化大小,即Δui；

Step 3:求出距離的變化幅度,即:

要求Δd≤0.07%.

于是得到關(guān)于實(shí)際拋物面貼近理想拋物面的優(yōu)化模型:

對題目中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,根據(jù)附件可以繪制出節(jié)點(diǎn)的大致草圖,由此推出相鄰節(jié)點(diǎn)之間的編號規(guī)律. 節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)第一層5個(gè)、第二層10個(gè)、第三層15個(gè)、第四層20個(gè)……以每層5個(gè)點(diǎn)的增長規(guī)律遞增.

如圖4,由Ai為每層的起始點(diǎn)繞A0順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周得到A,B,C,D,E的順序.根 據(jù)這個(gè)規(guī)律導(dǎo)入附件三的主索節(jié)點(diǎn)1主若節(jié)點(diǎn)2、主索節(jié)點(diǎn)3,得到兩相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離,將其導(dǎo)入MATLAB 進(jìn)行作圖(如圖5),由此得到兩相鄰節(jié)點(diǎn)距離的變化趨勢.[6]

圖4 節(jié)點(diǎn)草圖

圖5 基準(zhǔn)球面節(jié)點(diǎn)圖

4.4 饋源艙的接收比模型

根據(jù)單個(gè)反射面板呈三角形,目標(biāo)天體的電磁波信號和反射信號沿直線傳播, 經(jīng)反射面板反射的信號在饋源艙所在平面形成三角形范圍,計(jì)算三角形面板在饋源艙有效區(qū)域的重合面積,得到一個(gè)反射面板對于饋源艙的信號反射比.

將主索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)作為對應(yīng)的反射面板頂點(diǎn)坐標(biāo),反射面板作成三角形,利用反射面板的三個(gè)頂點(diǎn)確定其坐標(biāo). 建立以球心為原點(diǎn)的三維立體坐標(biāo)系,以目標(biāo)天體S 與基準(zhǔn)球面c 的連線方向?yàn)閦 軸,目標(biāo)天體輻射的電磁波信號沿直線方向傳播,目標(biāo)天體的入射的方向沿z軸負(fù)方向,其方向單位向量為=(0,0,1).

記第i 個(gè)反射面板的三個(gè)頂點(diǎn)分別P1i(u1i,u1i,u1i),P2i(u2i,u2i,u2i),P3i(u3i,u3i,u3i) 得到反射面相鄰的向量分別為和則反射面板的法向量為:

設(shè)反射面板上反射點(diǎn)的位置為(xi,yi,zi),反射信號的方向向量為,入射角為α 反射角為θ, 根據(jù)電磁波的反射定律,反射信號所在直線分別在法線兩側(cè),入射角α 與反射角θ 相同,得到角度關(guān)系式為:

用向量表28示,即:

整理得到反射信號方程:

根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程,得到平面方程為:

故出射信號方程為:

設(shè)饋源艙所在平面方程為z= -(R-F),R 為基準(zhǔn)球面半徑,F 為饋源艙接收平面所在的焦面半徑與基準(zhǔn)球面半徑的半徑差.出射信號與饋源艙所在平面的交點(diǎn)可由下面方程組決定,即:

已知反射面板為三角形, 目標(biāo)天體的入射信號經(jīng)反射面板反射后, 反射信號在饋源艙所在平面形成三角形范圍. 記三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為Q1i(x1i,y1i,z1i),Q2i(x2i,y2i,z2i),Q3i(x3i,y3i,z3i),利用饋源艙所在平面方程z= -(R-F)將三角形轉(zhuǎn)化為二維平面進(jìn)行研究,則頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為Q1i(x1i,y1i),Q2i(x2i,y2i),Q3i(x3i,y3i)在二維平面內(nèi),根據(jù)三角形面積公式:

可計(jì)算三角形Q1iQ2iQ3i的面積.

設(shè)三角形面積與饋源艙接收信號的有效區(qū)域重合的面積為ΔSi,即為饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號所占面積.設(shè)饋源艙的信號接收比為ψ,饋源艙信號接收區(qū)域接收到的所有信號面積和∑ΔSi,與300 米口徑內(nèi)所有反射面板反射信號的面積和∑Si的比值為:

以目標(biāo)天體S 與基準(zhǔn)球面的球心C 的連線方向?yàn)閦 軸建立以球心為原點(diǎn)的三維立體坐標(biāo)系,根據(jù)觀測天體S位于α= 36.795°,β= 78.169°時(shí)的理想拋物面方程和基準(zhǔn)球面方程,分別計(jì)算基準(zhǔn)態(tài)和工作態(tài)下300米口徑內(nèi)反射面所有反射面板的法向量. 展示工作態(tài)部分法向量結(jié)果,如表2所示.

表2 反射面板的主索節(jié)點(diǎn)編號

(1) 判斷饋源艙接收信號的有效區(qū)域是否在三角形內(nèi).

設(shè)反射面板在饋源艙所在平面內(nèi)反射信號形成的三角形為ΔABC,計(jì)算三邊向量分別為饋源艙接受信號的有效區(qū)域?yàn)閳A,設(shè)圓上點(diǎn)為P,分別將P 與三角形三點(diǎn)A、B、C 連接,可得向量,作向量、向量的向量積,若兩個(gè)向量積的方向一致,則P與C在同一側(cè).

利用同樣的方法,分別判斷P與A、P與是否B 在同一側(cè).若P 點(diǎn)與A、B、C 三點(diǎn)均同側(cè),則可以判定P在三角形區(qū)域內(nèi).

(2) 比較饋源艙的接收比.

當(dāng)反射面為工作拋物面時(shí),饋源艙接收區(qū)域接收的所有信號面積和∑ΔSi=763.41m2,300 米口徑內(nèi)所有反射面板反射信號的面積和∑Si=46663.2m2,饋源艙信號的接收比為ψ拋物面=1.636% .

當(dāng)反射面為基準(zhǔn)拋物面時(shí),饋源艙接收區(qū)域接收的所有信號面積和∑ΔSi= 600.55m2, 300米口徑內(nèi)所有反射面板反射信號的面積和∑Si=47890.7m2,饋源艙信號的接收比為ψ拋物面=1.2654%. 比較得,饋源艙的信號接收率提高了22.65%.

5 結(jié)果檢驗(yàn)與誤差分析

由檢驗(yàn)數(shù)據(jù)可知,實(shí)際拋物面與理想拋物面間的差距較小,但仍然存在些微偏差,分析產(chǎn)生誤差的原因有以下幾點(diǎn):

(1) FAST 射電望遠(yuǎn)鏡對周圍的電磁環(huán)境要求較高,周邊存在其他電磁的干擾;

(2) 人工測量數(shù)據(jù)存在一定誤差;

(3) 在本問題中只考慮了徑向收縮對反射三角面的影響,實(shí)際問題中還有下拉索張力對反射三角面的影響;

(4) 模型中設(shè)想的拋物面均為光滑的曲面,對所建立的模型造成一定的誤差.