初中生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)

安徽師范大學(xué)附屬萃文中學(xué) 陳書(shū)才 (郵編：24100)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 董建功 (郵編：24100)

1 前言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《2022課標(biāo)》)提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段主要表現(xiàn)為：抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)[1].數(shù)學(xué)素養(yǎng)與PISA(Program for International Student Assessment，國(guó)際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目，簡(jiǎn)稱PISA)密切相關(guān)，數(shù)學(xué)推理在PISA 2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的定義已經(jīng)出現(xiàn)，PISA 2021將數(shù)學(xué)推理作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵的第一要素予以明確[2].TIMSS 2019(The Trends in International Mathematics and Science Study，國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育趨勢(shì)研究，簡(jiǎn)稱TIMSS)數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)框架分為內(nèi)容與認(rèn)知兩個(gè)維度.內(nèi)容維度主要評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握情況，認(rèn)知維度主要評(píng)價(jià)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中的思維過(guò)程與水平，“認(rèn)知維度”包括“知道”“運(yùn)用”“推理”三級(jí)水平[3].由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)推理一直是國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)之一.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).《2022課標(biāo)》在課程內(nèi)容要求上，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域加強(qiáng)了代數(shù)推理[4].《2022課標(biāo)》還有一個(gè)明顯特征就是強(qiáng)調(diào)代數(shù)的邏輯證明，明確給出了若干個(gè)代數(shù)的基本事實(shí)，用于代數(shù)結(jié)論的證明，并且把與“韋達(dá)定理”有關(guān)的選修內(nèi)容變?yōu)楸匦轠5].關(guān)于數(shù)學(xué)推理的教學(xué)研究，幾何推理教學(xué)的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其它數(shù)學(xué)內(nèi)容，占主要的地位[6].代數(shù)推理被視為學(xué)生在數(shù)學(xué)與科學(xué)方面取得進(jìn)步的“守門(mén)人(gatekeeper)”.代數(shù)推理往往涉及到對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探索，而這是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)，尋找、識(shí)別、概括與運(yùn)用、潛在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)組成了代數(shù)推理的幾個(gè)重要方面[7].通過(guò)以上分析可知，代數(shù)推理越來(lái)越得到更多的重視，有必要加強(qiáng)對(duì)代數(shù)推理的研究.

2 人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)中代數(shù)推理編排分析

初中數(shù)學(xué)主要有“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“圖形與幾何”四大知識(shí)板塊，分析教科書(shū)中“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容分布情況，根據(jù)內(nèi)容分布，形成大概念，大單元的教學(xué)觀，從總體上把握代數(shù)推理在全套教材所占比重，做到心中有數(shù)，有助于更好的推進(jìn)對(duì)代數(shù)推理能力的培養(yǎng).通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析人教版數(shù)學(xué)教材代數(shù)推理內(nèi)容，見(jiàn)表1，發(fā)現(xiàn)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域呈現(xiàn)螺旋上升式編排的特點(diǎn).人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)總共有29章內(nèi)容，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域總共占比以14/29，將近二分之一，以7年級(jí)教材為例，7年級(jí)總共占教材比重為6/29，7年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材總共有四章內(nèi)容，其中“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域中包括有理數(shù)、整式的加減、一元一次方程三章內(nèi)容，占總書(shū)的四分之三，可見(jiàn)剛進(jìn)入7年級(jí)階段，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域占了大部分內(nèi)容，教材這樣編排的目的也是更好的做好小初銜接，促進(jìn)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)換，所以對(duì)于代數(shù)推理的能力的培養(yǎng)應(yīng)盡早，促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的提升.

表1 人教版初中數(shù)學(xué)教材“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容分布

3 中考試題中代數(shù)推理分析

中考試題對(duì)課堂教學(xué)具有一定的導(dǎo)向作用，以安徽省2018年到2022年5年中考試題為例進(jìn)行分析，見(jiàn)表2，統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)近5年安徽中考都是以大題的形式對(duì)代數(shù)推理進(jìn)行考察，分值占比較高，說(shuō)明安徽省對(duì)學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)比較重視，代數(shù)猜想與證明已經(jīng)成為安徽中考命題的一大特色.

表2 2017—2022年安徽中考代數(shù)推理大題分布

4 代數(shù)推理能力的培養(yǎng)方法

4.1 養(yǎng)成認(rèn)真觀察的習(xí)慣，發(fā)展代數(shù)推理能力

觀察力是人的智力的重要組成部分，觀察是人的一種有目的、有計(jì)劃、持久的知覺(jué)活動(dòng)，是知覺(jué)的高級(jí)形式，因此觀察又叫“思維的知覺(jué)”.應(yīng)充分留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察分析題目的條件.

例1(安徽省2021年中考題)某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．

圖1 圖2 圖3

觀察思考當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖2)；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊(如圖3)；以此類推，

規(guī)律總結(jié)

(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加______塊；

(2)若一條這樣的人行道一共有n(n為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為_(kāi)_____(用含n的代數(shù)式表示)．

問(wèn)題解決

(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？

解(1)由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，

故答案為：2；

(2)由(1)可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

所以當(dāng)?shù)卮u有n塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有(2n+4)塊；

故答案為：2n+4；

(3)令2n+4=2021，則n=1008.5；

當(dāng)n=1008時(shí)，2n+4=2020.

此時(shí)，剩下一塊等腰直角三角形地磚，所以需要正方形地磚1008塊．

分析本題考查了學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，涉及列代數(shù)式表示其中的規(guī)律，一元一次方程及其一元一次不等式的應(yīng)用等.

4.2 引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，演繹證明

猜測(cè)和檢查作為代數(shù)推理的一種形式，系統(tǒng)的猜測(cè)和檢查是一項(xiàng)重要的技能.由猜想到證明，由特殊到一般，從歸納推理到演繹推理，體現(xiàn)了學(xué)生推理能力的提升.波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想——合情推理模式》中寫(xiě)到：數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作的結(jié)果是論證推理，是一個(gè)證明，但證明是由合情推理，是由猜想來(lái)發(fā)現(xiàn)的.并向教師們呼吁：“讓我們教猜想吧！”[8]設(shè)計(jì)一系列的猜想活動(dòng)，有助于為問(wèn)題解決提供思路，提升學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而通過(guò)演繹推理證明猜想，使發(fā)現(xiàn)的結(jié)論更有一般性，進(jìn)而提高學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)水平.

例2(安徽省2022年中考題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2，

第2個(gè)等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2，

第3個(gè)等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2，

第4個(gè)等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2，

……

按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：__________；

(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示)，并證明．

解(1)根據(jù)題目中前4個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫(xiě)出第5個(gè)等式；(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2；

(2)第n個(gè)等式為(2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2，

證明如下：

等式左邊=4n2+4n+1，

等式右邊=[(n+1)·2n+1+(n+1)·2n]·[(n+1)·2n+1-(n+1)·2n]=4n2+4n+1，

故等式成立．

分析本題考查等式規(guī)律的探索，并能進(jìn)行代數(shù)證明，考查了學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律，并能證明自己的猜想，驗(yàn)證猜想的正確性.等式的規(guī)律探索題通常給出一組代數(shù)式，等式或者不等式等，要求學(xué)生通過(guò)觀察、分析、猜想來(lái)探索規(guī)律，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

4.3 傳授數(shù)學(xué)思想方法，提高代數(shù)推理能力

“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到靈魂的作用，數(shù)形結(jié)合思想方法是常用的數(shù)學(xué)思想方法之一，“數(shù)”與“形”在一定程度上可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的作用，用代數(shù)法進(jìn)行幾何證明，有助于使研究問(wèn)題簡(jiǎn)化，達(dá)到簡(jiǎn)潔證明的作用，在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

例3(安徽省2021年中考題)已知拋物線y=ax2-2x+1(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1．

(1)求a的值；

(2)若點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此拋物線上，且-1

(3)設(shè)直線y=m(m>0)與拋物線y=ax2-2x+1交于點(diǎn)A，B，與拋物線y=3(x-1)2交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比．

(2)因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱軸為直線x=1，且a=1>0，所以當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減??；

當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大．

所以-1y2.

令3(x-1)2=m，

分析本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對(duì)稱軸、函數(shù)的交點(diǎn)、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，線段長(zhǎng)度的表示方法是解題的重點(diǎn).其中第一問(wèn)是解決后面兩問(wèn)的基礎(chǔ)，第二問(wèn)是考察函數(shù)增減性問(wèn)題，一般學(xué)生都能掌握，第三問(wèn)是用代數(shù)方法解決長(zhǎng)度問(wèn)題，典型的代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖得到二次函數(shù)簡(jiǎn)單的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，使問(wèn)題的求解得到簡(jiǎn)化.

4.4 呈現(xiàn)代數(shù)推理的過(guò)程，提高代數(shù)推理能力

學(xué)生剛進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，推理步驟和推理難度都有所增加，通過(guò)前面分析發(fā)現(xiàn)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域在7年級(jí)教材中占比很大，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力起到承前啟后的作用，既能做好小初銜接，又能為初中數(shù)學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，因此在教學(xué)過(guò)程中有必要呈現(xiàn)完整的推理過(guò)程.完整的推理過(guò)程有助于學(xué)生更好的體會(huì)代數(shù)推理中所用到的知識(shí)方法，有助于使解題思路更加清楚，不僅使學(xué)生知其然而且知其所以然.

例4已知a-b<0，abc>0，c<0，化簡(jiǎn)|a-b|-|b-c|+|a+c|.

解

因?yàn)閍bc>0，c<0，所以ab<0，因?yàn)閍-b<0,所以b>0，a<0,所以a-b<0，b-c>0，a+c<0，

|a-b|-|b-c|+|a+c|

=b-a-(b-c)-(a+c)

=-2a.

分析本題是7年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)有理數(shù)綜合性題目，既用到有理數(shù)乘法法則的知識(shí)，又用到絕對(duì)值知識(shí)，在講解過(guò)程中注重知識(shí)運(yùn)用的連貫性，說(shuō)清每一步驟的來(lái)龍去脈，使推理過(guò)程更加清晰和可視化的展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生更好的理解推理方法和推理過(guò)程.

5 結(jié)語(yǔ)

代數(shù)推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中.代數(shù)推理不僅包括合情推理而且也有演繹推理，演繹推理必須通過(guò)嚴(yán)格的邏輯證明來(lái)加以證實(shí)，如果說(shuō)合情推理屬于靈感的火花，演繹推理無(wú)疑是證明真理最可靠的方法.代數(shù)推理在教學(xué)中理應(yīng)受到重視，以此提高學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、理解數(shù)學(xué)美、欣賞數(shù)學(xué)美的能力，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.