薛 飛|浙江省杭州市蕭山區(qū)第十高級中學(xué)

龔超群|浙江省武義第一中學(xué)

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運算，即在明晰的運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題，它是數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容，也是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.數(shù)學(xué)運算能力特別注重運算的幾何直觀化、模型歸納化、特殊到一般化、陌生到熟悉化.在這些轉(zhuǎn)化的過程中，非智力因素的作用相當(dāng)重要.非智力因素主要指興趣、情感、意志等，其中，興趣、情感能直接轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)動機，意志則在學(xué)生掌握知識的過程中起著積極的作用.教師可從激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提升數(shù)學(xué)情感、加強意志力等角度來設(shè)計課堂教學(xué)，優(yōu)化復(fù)雜的運算，增強學(xué)生的信心，培養(yǎng)其自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，最終提升其數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

一、興趣激發(fā)：建構(gòu)運算模型，發(fā)展轉(zhuǎn)化思想

學(xué)習(xí)活動能否順利開展、達成預(yù)期目標(biāo)，固然要以學(xué)生的智力因素為基礎(chǔ)和主導(dǎo)，但也離不開學(xué)生主體的興趣.濃厚的學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)的原動力，積極的興趣是從事學(xué)習(xí)活動并取得成就的最初條件.興趣一般表現(xiàn)為人們力求認(rèn)識世界、渴望獲得科學(xué)文化知識和探求真理時帶有情緒色彩的心理[1].從心理上看，高中生的興趣指向事物的內(nèi)部規(guī)律，不斷由膚淺變得深刻；而由于學(xué)習(xí)任務(wù)和壓力變大，他們對學(xué)業(yè)相關(guān)的興趣變淡，其他方面的興趣變濃.因此，教師可創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜歡的、熟悉的真實案例情境，如以生活常識、數(shù)學(xué)文化、競技游戲、深度的思維結(jié)論等作為課堂引入情境，以激發(fā)學(xué)生主體的好奇心或競爭意識，促使學(xué)生自主學(xué)習(xí).需要注意的是，以非智力因素帶動智力因素設(shè)計教學(xué)，選擇的情境必須內(nèi)容適當(dāng)、難度適中.

（一）以情境激發(fā)興趣，建構(gòu)模型化運算

數(shù)學(xué)運算表現(xiàn)為數(shù)字的計算和估算、變量式子的組合變形與分離、幾何圖形中各量的確定與計算等形式，教師可以采用模型化、熟悉化、直觀化和特殊化等策略來培養(yǎng)學(xué)生的運算能力.數(shù)學(xué)模型是參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).建立數(shù)學(xué)模型，便于溝通實際問題與數(shù)學(xué)工具.因此，數(shù)學(xué)模型化是提高學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的重要途徑.

教師要做生活的有心人，積極利用課外時間，搜尋可促進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的圖片、視頻、故事、有獎競賽等，仔細(xì)甄別梯度并歸類.然后根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的學(xué)情、興趣點，創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的情境.如此引入相關(guān)數(shù)學(xué)問題，可讓學(xué)生在興趣的推動下，將注意力從枯燥的數(shù)學(xué)概念、定理轉(zhuǎn)移到具體的數(shù)學(xué)模型上來，主動去探究問題.教師再適當(dāng)分析問題，引導(dǎo)學(xué)生挖掘條件，歸納數(shù)學(xué)模型，進行模型化、熟悉化的運算，以提升運算速度和學(xué)習(xí)效果.

例題1：在鐵路的附近，有一大型倉庫.現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，那么怎樣設(shè)計能使公路最短？最短路程又是多少？

師：構(gòu)成平面幾何圖形的基本元素是點和直線，有哪幾種距離的基本類型？

生：點與點之間的距離、點到直線的距離、兩條平行直線間的距離.

師：前面我們研究學(xué)習(xí)過哪種距離？有什么結(jié)論嗎？

生：兩點之間的距離，已知P(x1,y1)，

師：大家回憶一下，之前我們是如何探求平面中點到點的距離公式的？

生：利用坐標(biāo)系，把點坐標(biāo)化.

師：很好，點可以在坐標(biāo)系中用坐標(biāo)量化，那么直線呢？

生：直線在坐標(biāo)系中有直線的方程.

師：那么，問題就變成了平面坐標(biāo)系中一個點到一條直線的距離問題.即把實際生活中的問題數(shù)學(xué)化，建立平面直角坐標(biāo)系，將點和直線分別量化為坐標(biāo)和方程，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

設(shè)計意圖：筆者以鐵路和倉庫之間的直線距離這種實際生活中的應(yīng)用問題，將抽象的“點到直線的距離”問題具體化，引發(fā)學(xué)生解決問題的興趣，然后引導(dǎo)學(xué)生逐步分析問題、發(fā)掘條件等，使其思維向解析幾何問題模型轉(zhuǎn)化，最后建立平面直角坐標(biāo)系，培養(yǎng)學(xué)生的模型歸納能力.

（二）運用數(shù)形結(jié)合思維轉(zhuǎn)化問題，代入概念運算

針對比較繁難的數(shù)學(xué)運算，教師要讓學(xué)生學(xué)會觀察，學(xué)會換個思維或角度去思考運算的方向，如從平面視角去觀察空間問題，從空間視角去觀察平面問題，代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化等.運用數(shù)形結(jié)合、直觀想象等數(shù)學(xué)思維來思考，可以有效降低數(shù)學(xué)運算的難度.

例題2：如果點M(x,y)在變化過程中，總滿足關(guān)系式10，試寫出它的方程.

師：如果使用開根號進行代數(shù)化運算，你有什么感受？

生：需要將左邊根式移項后平方，整理后再移項再平方，感覺非常復(fù)雜.

師：聯(lián)系兩個根號的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合思維思考一下.

生：好像是點到點的距離之和，就是一個動點M(x,y)到兩個定點F1(0,3)，F(xiàn)2(0,-3)的距離之和等于10的點的軌跡.

師：結(jié)合剛學(xué)過的橢圓的定義，再想想它的方程是什么？

生：就是長軸長為10，焦距為6而且中心在遠(yuǎn)點的橢圓，那么整個式子化簡后就是：

設(shè)計意圖：學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不僅源于對問題的好奇，更源于對數(shù)學(xué)問題的熟悉、親切.筆者以學(xué)生熟悉的課本習(xí)題為例，逐層分析，引導(dǎo)學(xué)生換位思考，根據(jù)橢圓的定義和距離的代數(shù)形式，運用數(shù)形結(jié)合思維進行轉(zhuǎn)化，目的是激發(fā)學(xué)生的探索興趣，提升其圖形直觀想象能力.因為，無障礙理解、模型化的習(xí)題解答，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能增強學(xué)生解題過程中的自信和熱情，使其對解題產(chǎn)生極大的渴望.可以這么說，興趣是提高數(shù)學(xué)運算能力的開始，而熱情和成功的體驗，則是提高數(shù)學(xué)運算能力的不竭動力.

二、情感代入：梯度問題導(dǎo)引，提升運算能力

情感是課堂教學(xué)的第一要素，高中生處于情感認(rèn)知的懵懂時期，具有強烈的探求心理，但是生理上他們還處于青春發(fā)育的成長階段，心智不夠成熟，自信心、成就感發(fā)展水平比較低.這具體表現(xiàn)為：害怕挫折失敗，承受能力比較差，提出問題、分析問題、解決問題的積極性比較低.因此，教師必須營造積極和諧、主動探究的課堂氛圍，使學(xué)生思維活躍、熱情高漲.低起點、深思維、有寬廣度的課堂往往受到學(xué)生的喜愛.教師可采用變式教學(xué)、從特殊到一般、從陌生到熟悉等策略，營造有思維、有變化、有深度的課堂氛圍，讓學(xué)生有“五步一景，十步一畫”的感覺，持續(xù)激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，在解題的過程中體驗成功、收獲信心，并產(chǎn)生進一步深入鉆研的熱情，提高數(shù)學(xué)運算能力.

（一）特殊例題引入，復(fù)雜計算熟悉化

從數(shù)學(xué)概念的定義開始，設(shè)計特殊的“點到直線的距離”問題，計算量更小，學(xué)生也有更高的興趣和熱情去發(fā)現(xiàn)解法的多樣性.

例題3：在平面直角坐標(biāo)系中，求點P（1，2）到直線l：x+y-5=0的距離.

師：談?wù)勀闶侨绾吻簏cP到直線l的距離的？

生：根據(jù)點到直線距離的定義，過P向直線l作垂線交于點Q，求出點Q的坐標(biāo)，然后利用兩點之間距離公式，求出PQ的長度.

師：那么如何求點Q的坐標(biāo)？

生：利用點斜式求出過點P垂直于直線l的直線l′的方程，再聯(lián)立l與l′的方程，求出交點坐標(biāo)Q.

設(shè)計意圖：距離問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象以及運算能力的很好載體，而垂線段法是求點到直線距離的一種常見的方法.筆者先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩點之間的距離求出點到直線的距離，目的是讓所有的學(xué)生都能夠積極參與，獲得解題成就感，激發(fā)自信心，營造熱烈的課堂氛圍.再利用點斜式求出坐標(biāo)，使其思路逐步深化，以此引導(dǎo)學(xué)生深入研究直觀圖形，發(fā)掘更多更好的思路.

（二）學(xué)生自主展示，追求最優(yōu)算法

由于例題起點低，學(xué)生收獲了成功的喜悅，熱情高漲，筆者趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計不同的解法，然后上臺展示、講解.

師：上面的垂線段法，同學(xué)們在解答的時候有什么感受？

生：計算有點麻煩.

師：有沒有其他簡便些的思路？大家可以從最短距離這個角度考慮，再根據(jù)自己的想法來優(yōu)化運算.

生：解直角三角形法，將“點到直線的距離”問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在斜邊及角度（直線的傾斜角）已知的情況下，運用三角函數(shù)的知識可以輕松求解（解法略）.

生：等面積法，巧妙構(gòu)造直角三角形，避開研究三角形的內(nèi)角，計算簡潔、快捷（解法略）.

生：目標(biāo)函數(shù)法，“點到直線的距離”就是垂線段的長度，而垂線段是直線上所有點到定點連線的線段中距離最短的一條，利用這個最短性，與函數(shù)的最值聯(lián)系起來，用函數(shù)法來解決（解法略）.

設(shè)計意圖：筆者讓學(xué)生思考垂線段法求“點到直線的距離”的弊端，引導(dǎo)他們從最短距離這個角度思考，使其認(rèn)識由幾何直觀的“形”向代數(shù)內(nèi)涵的“數(shù)”轉(zhuǎn)化，再現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、直觀轉(zhuǎn)化，簡化數(shù)學(xué)運算.而讓多個學(xué)生上臺展示、講解，既可以增加學(xué)生的優(yōu)化意識和競爭意識，又可以增強上臺講解學(xué)生的自信和成就感，并以此為激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)意志作鋪墊.

三、意志磨礪：從特殊到一般，深化運算素養(yǎng)

僅有興趣和情感，課堂氛圍固然良好，但學(xué)生能否帶著這樣的熱情深入學(xué)習(xí)還是未知數(shù)，這就需要學(xué)生具有持之以恒的意志.因此，在學(xué)生會解答特殊的、簡單的、低起點的問題之后，教師需要進一步設(shè)計可持續(xù)研究、有一定高度并能讓學(xué)生保持探究熱情的問題，以此鍛煉學(xué)生的意志，促使學(xué)生深化數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

我們知道，從初中到高中，數(shù)學(xué)運算從數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的簡單運算開始轉(zhuǎn)向變量和字母的復(fù)雜運算.而在經(jīng)歷了解特殊例題的獲得感和一題多解的成就感之后，學(xué)生亟須向新的高度發(fā)起挑戰(zhàn)，也具備了挑戰(zhàn)字母運算的能力.因此，筆者適時創(chuàng)設(shè)問題情境，帶領(lǐng)學(xué)生合作探究，由特殊向一般化遞進，訓(xùn)練學(xué)生的字母運算能力.

（一）分組合作探究，加強數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

例題4：在平面直角坐標(biāo)系中，求點P(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的距離.

分組：指定班級里運算能力最好的6個學(xué)生組成第一小組，要求必須用垂線段法；喜歡運用解三角形法的組成第二小組，喜歡運用等面積法的組成第三小組，喜歡運用目標(biāo)函數(shù)法的組成第四小組，每組6~8人；還有其他想法的學(xué)生組成第五小組，并到講臺邊上來接受教師指導(dǎo).每組自主選擇一名組長.

要求1：每個組員運用自己所選的方法獨立求解，規(guī)定8分鐘時間解答，解答完后，同組組員交換檢查，發(fā)現(xiàn)問題或錯誤時及時更正.

設(shè)計意圖：筆者設(shè)計從具體數(shù)字運算到抽象字母運算的案例，讓學(xué)生經(jīng)由特殊的具體例題上升到一般的推理模式，掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會有邏輯地思考問題，并能在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián).按同種思維方法分組，可以培養(yǎng)團隊氛圍.每個學(xué)生先自主獨立運算，可培養(yǎng)個體的數(shù)學(xué)運算能力；同組互查，既可在互動的氛圍中加深印象，又可發(fā)現(xiàn)各自運算中的不足.在這一由具體到一般的計算過程中，大量的復(fù)雜運算很能考驗學(xué)生的意志品質(zhì)，而由于之前特殊例題的鋪墊，學(xué)生的算法思路一般不會出問題，關(guān)鍵在于選擇合適的方法.此題還可以運用向量法來求解，設(shè)計最后一個小組的目的即在此.

（二）各組相互點評，優(yōu)化數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

分組合作探究演算非?？简瀸W(xué)生的能力，但經(jīng)歷了自主運算、合作探究的過程后，學(xué)生已經(jīng)收獲了信心以及解決問題的方法，且磨礪了意志.因此，為進一步鍛煉學(xué)生的運算能力，筆者設(shè)計讓計算最快的小組優(yōu)先發(fā)言.

要求2：由組長總結(jié)發(fā)言1分鐘，提出優(yōu)缺點.計算時間最短的小組優(yōu)先上臺發(fā)言，談?wù)動嬎氵^程中的想法和注意點.

設(shè)計意圖：四種方法中，以垂線段法的運算最為復(fù)雜，所以設(shè)計班級里運算能力最強的一組來應(yīng)對，以示公平.在這種競爭氛圍中，學(xué)生“八仙過海，各顯神通”，計算能力展露無遺.組員之間可以優(yōu)勢互補、查缺補漏，最后組長總結(jié)發(fā)言，則相當(dāng)于對本組的思維方法再作一次歸納總結(jié)、思維升華.而各組相繼發(fā)言，也便于學(xué)生汲取長處、互相學(xué)習(xí)，磨礪鉆研精神.

我們知道，人類智慧活動的心理結(jié)構(gòu)可分為智力和非智力兩大系統(tǒng)：智力是直接參與智慧活動的操作系統(tǒng)；非智力是對智慧活動起發(fā)動、調(diào)節(jié)等作用的動力系統(tǒng)，在學(xué)習(xí)活動中體現(xiàn)為學(xué)習(xí)動機、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)熱情、學(xué)習(xí)毅力、意志品質(zhì)等.這些非智力因素雖不直接參與對知識的感知、理解、掌握和運用等操作[2]，但能影響智力因素的作用.因此，教師應(yīng)將非智力因素融入課堂教學(xué)設(shè)計，促使非智力因素和智力因素深度融合，讓學(xué)生獲得更多的知識體驗，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).□◢