高中數(shù)學(xué)中的常見不等式及其應(yīng)用

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 鄧啟龍

均值不等式,柯西不等式等一系列不等式,是證明不等式的重要依據(jù)和方法,是研究最值問題的強(qiáng)有力的工具,這些高中數(shù)學(xué)中的常見不等式在解題中具有廣泛的應(yīng)用.

首先給出高中數(shù)學(xué)中的常見不等式.

以上這些常見不等式和推論在證明不等式和求最值中具有廣泛的應(yīng)用.

一、運(yùn)用常見不等式證明不等式

二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

三、換元后證明不等式和求最值

注證法一通過整體換元后利用伯努利不等式來證明結(jié)論,思路非常巧妙.證法二根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行配湊,然后利用楊氏不等式證明結(jié)論,直接有效.

3.已知a,b,c≥ 0,證明:a(a ?c)2+b(b ?c)2≥(a ?c)(b ?c)(a+b ?c).

證明令x=a ?c,y=b ?c,則c≥0,c≥?x,c≥?y,且a=c+x,b=c+y.于是

注若題目中出現(xiàn)兩個(gè)變量的差,可考慮將差值換元,簡化表達(dá)式.

四、配湊和拆分

注根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引入?yún)?shù),將1 拆成λ+1?λ,然后利用柯西不等式,并由系數(shù)的比例關(guān)系求出參數(shù),進(jìn)而解決問題.

5.已知?ABC的三邊分別為a,b,c,2a+7b+11c=120,求?ABC的面積的最大值?

解由海倫公式得?ABC的面積

五、反證法

六、配對(duì)