借力空間向量法,巧解折疊問題

魏孝菊

(山東省臨沂第一中學)

處理立體幾何中有關折疊問題的關鍵是抓住折疊前后兩個圖形的特征關系,厘清哪些量發(fā)生了變化,哪些量沒有發(fā)生變化,然后充分利用空間向量法,化繁為簡,這樣可以有效降低試題難度.顯然,解題的起點是考查空間想象能力,落點是考查數(shù)學運算求解能力.

1 面面垂直問題

根據(jù)折疊后的圖形,建立空間直角坐標系,借助空間向量法靈活處理面面垂直問題,其關鍵是將面面垂直等價轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量垂直.

例1如圖1 所示,在梯形CEPD中,PD＝8,CE＝6,A為線段PD的中點,ABCD為正方形,現(xiàn)沿AB進行折疊,使得平面PABE⊥平面ABCD,得_到如圖2所示的幾何體.已知當點F滿足(0＜λ＜1)時,平面DEF⊥平面PCE,求λ的值.

圖1

圖2

解析如圖3 所示,建立空間直角坐標系A-xyz,則 點C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0).設點F(a,0,0),則＝(4－a,0,2),＝(4,－4,2).

圖3

點評一般地,建立空間直角坐標系求平面的法向量時,可以靈活利用待定系數(shù)法;特別地,若直線與平面垂直,則容易求得該平面的法向量坐標.

2 線面角問題

根據(jù)折疊后的圖形,適當建立空間直角坐標系,借助空間向量法靈活處理有關線面角問題,關鍵是求解平面的法向量、直線的方向向量以及準確利用線面角公式.

例2已知△ABC與△BCD所在平面互相垂直(如圖4),且∠BAC＝∠BCD＝90°,AB＝AC,CB＝CD,點P,Q分別在線段BD,CD上,沿直線PQ將△PQD向上翻折,使D與A重合.在翻折后的圖形(如圖5)中,求直線AP與平面ACQ所成角的大小.

圖4

圖5

解析取BC的中點O,BD的中點E,建立如圖6所示的空間直角坐標系.

圖6

不妨設BC＝2,P(x,1－x,0),則A(0,0,1),D(－1,2,0),O(－1,0,0).于是,由|AP|＝|DP|,得x2＋(1－x)2＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)2,解得x＝0,所以P(0,1,0)(即P,E重合),故＝(0,1,－1).

點評本題以翻折為載體設置問題,具有一定的難度,求解的關鍵在于通過適當作輔助線,靈活建立空間直角坐標系,并充分利用平面的法向量巧求線面角.

3 面面角問題

根據(jù)折疊后的圖形,適當建立空間直角坐標系,借助空間向量法靈活求解二面角的余弦值.方法1是先得到二面角的平面角,再轉(zhuǎn)化為求解具有共同起點的兩個向量的夾角的余弦值;方法2是先得到兩個平面的法向量,再轉(zhuǎn)化為利用法向量夾角的余弦值巧解目標問題.

例3如圖7所示,給出平面圖形ABB1A1C1C,其中BB1C1C是矩形,BC＝2,BB1＝4,AB＝AC＝.現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊,使△ABC和△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A1A,A1B,A1C,得到如圖8所示的空間圖形,試求二面角A-BC-A1的余弦值.

圖7

圖8

解析設BC,B1C1的中點分別為D和D1,連接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C是矩形,知DD1⊥B1C1.又因為平面BB1C1C⊥平面A1B1C1,所以DD1⊥平面A1B1C1.

又由A1B1＝A1C1,知A1D1⊥B1C1,故以D1為坐標原點,建立如圖9所示的空間直角坐標系D1-xyz,則由題設可得A1D1＝2,AD＝1.

圖9

根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)易知AD⊥BC,A1D1⊥B1C1,又△ABC和△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,所以AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平 面BB1C1C,于 是AD∥A1D1,所以A(0,－1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(－1,0,4),D(0,0,4).

連接A1D,則易知BC⊥AD,BC⊥DA1,可得BC⊥平面A1AD,所以BC⊥A1D,所以∠ADA1為二面角A-BC-A1的平面角.

點評本題求解二面角的余弦值,靈活運用了上述方法1.感興趣的讀者還可利用上述方法2進行求解.

通過本文我們可進一步感悟折疊問題的求解過程,加強空間向量知識在解題中的靈活運用,提高空間想象能力、運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合能力,進而提升數(shù)學核心素養(yǎng).

(完)