例談一元二次方程的異化與同構(gòu)在初高中數(shù)學中的運用

俞 綱 張文俊 李毅梅

(云南省昆明市第三中學)

解方程是學生在初中就學習過的內(nèi)容,但很多時候,我們對方程的使用只注重如何根據(jù)方程的標準形式求出方程的根,而忽視對方程結(jié)構(gòu)的靈活運用.縱觀近年的中考和高考試題,有不少題都需要通過對方程結(jié)構(gòu)的靈活運用來尋找計算的突破口,這值得學生重視.

1 方程結(jié)構(gòu)的異化使用

例1(2021年云南中考卷24)已知拋物線y＝－2x2＋bx＋c經(jīng)過點(0,－2),當x＜－4時,y隨x的增大而增大,當x＞－4時,y隨x的增大而減小.設(shè)r是拋物線y＝－2x2＋bx＋c與x軸的交點(交點也稱公共點)的橫坐標,m＝

(1)求b,c的值;

(2)求證:r4－2r2＋1＝60r2;

(3)以下結(jié)論:m＜1,m＝1,m＞1,你認為哪個正確? 請證明你認為正確的那個結(jié)論.

解析(1)b＝－16,c＝－2(求解過程略).

(2)由于方程r2＋8r＋1＝0的根比較復(fù)雜,且r不指定是哪一個根,因此不能簡單運用求根公式或根與系數(shù)的關(guān)系直接解決,要將方程有針對性地“異”化為其他形式進行求解.

點評上述兩題難倒很多學生,大家想不到要將標準的一元二次方程異化為其他形式進行求解,因此“吐槽”此題很偏很怪,完全不是一元二次方程的典型問題,甚至很多高中學生都無從下手.其實這些題并不是很難,只是學生對于方程的使用過于機械與死板,缺乏對方程的結(jié)構(gòu)與形式進行有針對性的變形,缺乏靈活運用的意識.其實這種意識在高中也是必須具備的,如函數(shù)中的隱零點問題就是這種思想的運用.當然,除了要注意把一個方程異化為其他形式之外,我們還要注意能在多個形式類似的方程中發(fā)現(xiàn)其共同的結(jié)構(gòu)本質(zhì),從而同構(gòu)出相同的方程.

2 方程結(jié)構(gòu)的同構(gòu)使用

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若動點P(x0,y0)為橢圓外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.

當過點P的兩條切線均與坐標軸垂直時,P的坐標為(±3,±2),此時點P也在圓x2＋y2＝13上.

綜上,點P的軌跡方程為x2＋y2＝13.

點評求解該題的技巧在于兩條切線所滿足的條件是相同的,從而兩切線斜率所滿足的等式是相同的結(jié)構(gòu),從而同構(gòu)出一個一元二次方程,并運用根與系數(shù)的關(guān)系來轉(zhuǎn)化,避免了復(fù)雜的計算.

同理,切線DB的方程為

把式①與式②分別看作關(guān)于x1,y1和x2,y2的二元一次方程,它們結(jié)構(gòu)相同,我們同構(gòu)得2tx－2y＋1＝0,則A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足該二元一次方程,而兩個不同點確定唯一一條直線,所以直線AB方程為2tx－2y＋1＝0,直線AB恒過定點

點評求解該題的技巧在于并沒有用A,B兩點坐標來表示直線AB的方程,而是從直線DA的方程和直線DB的方程同構(gòu)出一個二元一次方程,以此作為直線AB的方程,避免了復(fù)雜的計算.

例5(2021年全國甲卷理20)拋物線C的頂點為坐標原點O.焦點在x軸上,直線l:x＝1 交C于P,Q兩點,且OP⊥OQ.已知點M(2,0),且圓M與l相切.

(1)求拋物線C和圓M的方程;

(2)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與圓M相切.判斷直線A2A3與圓M的位置關(guān)系,并說明理由.

(1)拋物線C:y2＝x,圓M:(x－2)2＋y2＝1(求解過程略).

所以直線A2A3與圓M相切.當直線斜率不存在時,可以驗證該結(jié)論也成立.

綜上,若直線A1A2,A1A3與圓M相切,則直線A2A3與圓M相切.

點評方法1的關(guān)鍵是把式①整理為關(guān)于y2的一元二次方程,從而同構(gòu)出關(guān)于y的一元二次方程,且認定y2,y3為該方程的兩根,借助根與系數(shù)的關(guān)系完成計算.其實我們也可以把式①整理為關(guān)于x2,y2的二元一次方程來使用.

變式已知拋物線y2＝2px上的點M(m,0)(m＞0),是否存在以M為圓心,r為半徑的圓M,使得對于C上三個點A1,A2,A3,當直線A1A2,A1A3均與圓M相切時,必有直線A2A3與圓M也相切?若存在,則圓M的半徑r與m有何關(guān)系?

由式①得2pm－2pr＝r2,把該式代入式②化簡,可得16p3r4＝16p3r4恒成立;把2pm－2pr＝r2代入式③化簡,可得(2pr3)2＝4p2r6恒成立.由此可得,若直線A1A2,A1A3均與圓M相切,當r滿足r2＋2pr－2pm＝0時,必有直線A2A3與圓M也相切.

當有直線斜率不存在時,可以驗證該結(jié)論也成立,即滿足條件的圓其實有很多個,只要當r滿足r2＋2pr－2pm＝0即可.

點評其實例5的本質(zhì)就是彭賽列閉合定理的一類特殊情況,變式相當于用初等數(shù)學的方法對這類特殊情況進行了一般化的證明,而這種同構(gòu)思想也正是我們解決圓錐曲線問題的一種重要技巧.

方程的異化與同構(gòu)本質(zhì)都是對方程結(jié)構(gòu)的靈活運用,其實這種思想在數(shù)學中是極其重要的,特別地,在數(shù)學中用迭代算法求根、用不動點法求通項公式等時都會使用.要想運用好該思想,我們必須明確目的,根據(jù)目的進行針對性轉(zhuǎn)化,從而更好地利用方程的結(jié)構(gòu)巧妙地解決問題.

(完)