陳展斌，王 軍

（湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

量子散射/碰撞是探究原子結(jié)構(gòu)和各種物理效應(yīng)的重要手段之一。在入射電子能量很低的情況下，碰撞電離過程中各種相互作用將發(fā)揮重要作用。研究低能區(qū)的碰撞不僅有利于人們揭示碰撞過程中的物理效應(yīng)，而且能更好地檢驗(yàn)各種近似模型的有效性[1-9]。

(e，2e)反應(yīng)是最常見的一種碰撞過程，涉及的碰撞對象可以是原子、大分子和團(tuán)簇等。通過對碰撞末態(tài)產(chǎn)物狀態(tài)（如散射物質(zhì)的電荷態(tài)、出射電子的能量、角分布和反沖離子）動(dòng)量的分析，可以揭示物質(zhì)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和相互作用。

近年來，伴隨多通道動(dòng)量譜儀的成功應(yīng)用和全空間反沖動(dòng)量譜儀分辨能力的提升，一些新的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)。He 原子是研究關(guān)聯(lián)動(dòng)力學(xué)理想的靶原子，其（e，2e）反應(yīng)是研究的熱點(diǎn)。理論上，一階玻恩近似適用于高能（e，2e）反應(yīng)，但不能正確給出recoil 峰的幅度和譜線輪廓。高階模型如二階玻恩近似雖給出了合理的形狀和幅度，但其推導(dǎo)過程非常復(fù)雜。密耦合方法在計(jì)算（e，2e）反應(yīng)時(shí)所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量之間也存在較大差異。其主要原因在于一些特殊條件下，入射電子和出射電子波函數(shù)不能正確描述碰撞的實(shí)際情況，在距離核較遠(yuǎn)的區(qū)域，慢電子漸進(jìn)行為被忽視了。H.R.J.Walters 等[1]發(fā)現(xiàn)在共面條件下，多種理論方法計(jì)算的He 原子（e，2e）反應(yīng)截面均能與實(shí)驗(yàn)測量吻合，但在非共面條件下理論計(jì)算的幅度均小于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。他們推斷理論和實(shí)驗(yàn)測量的差異可能來源于角向分布函數(shù)的處理。Zhang Z.等[2]在測量敲出電子能譜時(shí)發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與其它實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果并不一致。在一些特殊條件下，二階玻恩近似模型仍不能給出合理解釋。J.Berakdar等[7]利用扭曲波方法計(jì)算了He 原子（e，2e）反應(yīng)的三重微分截面（TDCS），發(fā)現(xiàn)微分截面在很大程度上取決于非零角動(dòng)量和扭曲電子。Sun S.Y.等[10]采用全非微擾方法計(jì)算了He 原子（e，2e）反應(yīng)的散射截面。結(jié)果表明靶離子的極化在He 原子單離化過程中非常重要?？紤]極化效應(yīng)后的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合程度較高，但單離化與雙離化截面的比值還需進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)和理論證實(shí)。此外，還有一些其它關(guān)于理論預(yù)言與實(shí)驗(yàn)測量不一致的情況[11-12]。

對于He 原子（e，2e）反應(yīng)，目前還有很多問題沒弄清楚。在中低能入射情況下，很多物理效應(yīng)對截面的影響沒有統(tǒng)一定論。B.A.De Harak 等[3]測量了共面條件下入射能為150 eV，敲出電子能量為34.5 eV，敲出電子角θb為75°,90°,-105°時(shí)，氦原子（e，2e）反應(yīng)中TDCS 隨θa在-40°～40°的變化情況。這種實(shí)驗(yàn)幾何安排比較特殊，其角度變化很小但動(dòng)量轉(zhuǎn)移非常大，稱為截面依賴動(dòng)量轉(zhuǎn)移幾何安排。

然而，雖然實(shí)驗(yàn)已過多年，但鮮有在該幾何條件下的理論報(bào)道。特別是，作為一種具有清晰圖像的物理效應(yīng)，殘留電子屏蔽效應(yīng)在該特殊幾何安排下的影響還沒有被揭示過。這里需要特別注意且容易混淆的是，雖然文字上表述相似，殘留電子屏蔽效應(yīng)和屏蔽效應(yīng)在物理圖像上有著本質(zhì)區(qū)別。殘留電子屏蔽效應(yīng)的物理圖像表現(xiàn)在靶態(tài)殘留電子的存在，對末通道電子所感受到電荷的影響，集中在電子-電子-電子之間“三電子的相互屏蔽作用”。體現(xiàn)在修正模型與DS3C 模型之間的差異。而屏蔽效應(yīng)是DS3C 和3C 模型之間由于考慮動(dòng)力學(xué)屏蔽而引起的[4]，物理圖像在于兩個(gè)出射電子之間屏蔽的影響。集中在“電子-電子-核之間的相互作用”，與靶態(tài)殘留的第三方電子無關(guān)。

本研究利用DS3C 模型[4]系統(tǒng)研究了這種特殊幾何安排下He 原子（e，2e）反應(yīng)截面。并將幾種重要的殘留電子屏蔽理論引入其中。計(jì)算了不同散射能量、不同入射能量、不同散射角度情況下的TDCS，通過與實(shí)驗(yàn)測量進(jìn)行對比，揭示了靶原子結(jié)構(gòu)特征和碰撞過程之間的關(guān)系。探索了不同理論模型下殘留電子屏蔽效應(yīng)對截面的影響。

2 理論方法

TDCS 給出了碰撞過程較為完整的動(dòng)力學(xué)描述。通常用公式（1）描述（e，2e）反應(yīng)過程[4-5]：

其物理意義為（e，2e）反應(yīng)后兩自由電子在立體角dΩ1、dΩ2中同時(shí)被探測到的概率。

在DS3C 模型中，兩個(gè)出射電子波函數(shù)用3 個(gè)兩體庫侖波函數(shù)的乘積表示，表達(dá)式如下[4-5]：

其中，庫侖波函數(shù)由一個(gè)系數(shù)、一個(gè)伽瑪函數(shù)、一個(gè)合流超幾何函數(shù)連乘組成，形式如下：

系數(shù)αj（j=1,2,12）的具體表達(dá)式如下：

索末菲參數(shù)是模型修正的重點(diǎn)，比較經(jīng)典的修正是從動(dòng)量相關(guān)上得到的任意幾何條件下的索末菲參量，表示如下[4-5]：

需指出的是，從反應(yīng)過程上說原子中殘留的電子并不能完全屏蔽原子核的電荷。DS3C 模型中忽略了實(shí)際散射過程中出射電子所感受到的殘留電荷并不是1。針對以上情況，本文繼續(xù)對該模型進(jìn)行修正，并通過引入3 種修正有效電荷的方案來研究電離過程中TDCS 的變化規(guī)律。這些修改方案雖存在于文獻(xiàn)中[6-8]，卻未能運(yùn)用到特殊幾何學(xué)安排條件下。本文將其引入動(dòng)量依賴幾何條件下，將式（5）中Z換為Z*。

第一個(gè)方案是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的有效電荷[6]，具體表達(dá)式為

式中Ei（i=1,2）為反應(yīng)后兩個(gè)出射電子的能量。

第二個(gè)方案[7]：

式中Fi(θ)為第i個(gè)出射電子感受到He+中殘留電子對核的屏蔽函數(shù)，其表達(dá)式如下：

第三個(gè)方案采用量子力學(xué)課本中提出的形狀因子，考慮殘留電子的屏蔽效應(yīng)[8]，其表達(dá)式為

式中：ki(i=1,2)為兩電子出射的動(dòng)量；θi為第i個(gè)出射電子對入射方向的張角。

3 結(jié)果與討論

本研究共考慮3 種殘留電子屏蔽效應(yīng)，并修改了DS3C 模型，參考實(shí)驗(yàn)幾何條件，固定入射電子能量Ei=150 eV，敲出電子能量Eb=34.5 eV，敲出電子角θb為75°,90°,-105°時(shí)，計(jì)算了散射角θa在-40°～40°之間He 原子（e，2e）反應(yīng)的TDCS。理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖1，其中DS3C 曲線摘自文獻(xiàn)[4]。由于實(shí)驗(yàn)是相對測量，因此，本文所得結(jié)果在θa=-18°時(shí)進(jìn)行了歸一化處理。

圖1 Ei=150 eV,Eb=34.5 eV 時(shí)，電子電離He 原子的TDCS 隨θa 的變化曲線Fig.1 TDCS curves of electron ionized He atoms changing with θa when Ei=150 eV,Eb=34.5 eV

從圖1 的曲線形狀看，圖1 中所有的理論結(jié)果均呈現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)，這與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)變化趨勢符合。為便于描述，一般把θa＜0°的峰稱為前峰，θa＞0°的峰稱為后峰。可看到前峰相對高而寬，后峰相對低而平緩。隨著散射角增大，前峰高度逐漸降低，后峰幅度增大。圖1 中，DS3C 及3 種殘留電子屏蔽模型均符合實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。就峰的相對高度而言，DS3C 與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間的吻合度較高。考慮殘留電子屏蔽效應(yīng)的模型一與DS3C 結(jié)果幾乎重合，這是因?yàn)槟Ｐ鸵粊碓从趯?shí)驗(yàn)擬合。模型二與三在散射角θa=0°附近即谷位置更符合實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果，但對前峰修正卻偏離了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。當(dāng)θb=90°時(shí)，DS3C 模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好?？紤]殘留電子屏蔽效應(yīng)的模型二降低了后峰，這與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不符。模型三則統(tǒng)一降低了兩峰高度。值得說明的是，模型三在θa＜25°部分的修正比較成功，理論結(jié)果幾乎與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重合。當(dāng)θb=-105°，所有曲線在峰的相對高度上均與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有較大偏差，表現(xiàn)在前峰低而后峰和中間谷高于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。在θa低于-20°和高于20°區(qū)域，理論和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得最好。

對于峰角分布，由圖1 可知，θb=75°和90°時(shí)，DS3C 曲線符合實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果，考慮殘留電子屏蔽效應(yīng)的模型一與DS3C 曲線基本重合。θb=-105°時(shí)，所有曲線峰和谷位置都向左偏移10°左右，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)谷位置，理論卻呈現(xiàn)出峰結(jié)構(gòu)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中兩峰較明顯，而理論預(yù)測后峰遠(yuǎn)比前峰高，前峰位置幾乎不能分辨。

進(jìn)一步探討殘留電子屏蔽效應(yīng)對所得截面的影響。入射電子能Ei=150 eV，敲出電子角θb=72°，敲出電子能量分別為17.5,34.5,65.0,92.0 eV 時(shí)，He 原子（e，2e）反應(yīng)DS3C 模型及3 種考慮殘留電子屏蔽模型的TDCS 隨θa的變化情況如圖2 所示。

圖2 Ei=150 eV,θb=72°時(shí)，考慮殘留電子屏蔽效應(yīng)后的電子碰撞電離He 原子TDCS 隨θa 的變化曲線Fig.2 TDCS curves of He atoms ionized by electron impact changing with θa with the residual electron shielding effect taken into consideration when Ei=150 eV,θb=72°

觀察圖2 可知，隨著角度增加，峰的高度不斷下降、寬度增加、角分布的位置不斷左移。當(dāng)敲出電子能量固定在17.5 eV 時(shí)，4 種曲線在截面形狀上近乎一致，差別僅體現(xiàn)在峰的相對高度。模型一的前峰和后峰高度有所下降，峰變窄，但峰位置幾乎沒變。在中間谷處和散射角小于-20°和大于20°的區(qū)域，曲線幾乎重合。模型二的修正表現(xiàn)在前峰位置向左側(cè)偏移，同樣，前峰和后峰高度降低，谷的高度有一定程度下降。模型三變化趨勢與前兩種模型基本一致，但幅度更小。隨著敲出電子能量增大到34.5 eV 時(shí)，模型一的修正曲線與DS3C 曲線基本重合。模型二和模型三降低了峰的幅度，峰寬變窄，且向左側(cè)收縮。敲出電子能量為65 eV 時(shí)，DS3C 和模型一的曲線重合，模型二前峰幅度降低，模型三曲線后峰消失。相對于DS3C 曲線，模型三前峰高度有所下降。當(dāng)敲出電子能量增加到92 eV 時(shí)，4 種理論的后峰均消失。DS3C 在后峰的位置有小的浮動(dòng)，而模型一和二所得結(jié)果重合，模型三前峰位置向右移動(dòng)，高度較DS3C理論值幾乎沒有改變。

固定敲出電子能量Eb=34.5 eV，敲出電子角θb=70°，入射電子能量Ei為95,150,260,480 eV 時(shí)TDCS 隨θa的變化趨勢如圖3 所示。

圖3 θb=70°，Eb=34.5 eV 時(shí)，考慮殘留電子屏蔽效應(yīng)后的電子碰撞電離He 原子TDCS 隨θa 變化曲線Fig.3 TDCS curves of He atoms ionized by electron impact changing with θa with the residual electron shielding effect taken into consideration when θb=70°，Eb=34.5 eV

由圖3 可知，從整體上看，隨著入射能量的增大，前峰高度增加，后峰逐漸突出，兩峰的位置向θa=0°處靠近。3 種模型修正效果均不明顯。這是因?yàn)殡S著入射能量增大，散射和敲出電子的能量均較大，而能量對應(yīng)于動(dòng)量和速度，即電子出射速度非?？?，其經(jīng)過反應(yīng)區(qū)域的時(shí)間非常短，電子幾乎感受不到核勢影響。當(dāng)入射電子能量為95 eV，DS3C 曲線沒有后峰，前峰的位置為-25°～-20°。模型一前峰的位置向左偏移了5°左右，同時(shí)高度降低；模型二和模型三的修正效果基本一致，體現(xiàn)為降低前峰高度，向左偏移前峰位置。隨著入射能量增加到150 eV，后峰開始呈現(xiàn)，DS3C 模型和模型一曲線幾乎重合；模型二和模型三的峰高均降低，不明顯的后峰變得更加模糊。此外可以看到曲線前峰的位置向左偏移寬度縮小，但θa在-40°～-30°和30°～40°的范圍，4種理論曲線幾乎重合。最后，入射能增加到480 eV 時(shí)，4 種理論曲線完全重合。需要注意的是由于前后峰都向著θa=0°方向靠近，導(dǎo)致中間的谷變成了尖銳的極小谷，TDCS 截面在最低處接近0。

固定入射電子能量Ei=150 eV，敲出電子能量Eb=34.5 eV，敲出電子角θb為70°,90°,105°和145°時(shí)TDCS 隨θa的變化情況如圖4 所示。

圖4 Ei=150 eV,Eb=34.5 eV 時(shí)，考慮殘留電子屏蔽效應(yīng)后的電子碰撞電離He 原子TDCS 隨θa 變化曲線Fig.4 TDCS curves of He atoms ionized by electron impact changing with θa with the residual electron shielding effect taken into consideration when Ei=150 eV,Eb=34.5 eV

由圖4 可知。從整體上看，模型一與DS3C 模型幾乎重合。4 種理論曲線都呈現(xiàn)相同的變化趨勢，即前峰高度隨θb增大而降低，后峰高度隨θb增加而升高。當(dāng)θb=70°時(shí)，4 種曲線的前峰均突出，后峰低矮不易察覺，模型二和模型三的修正都降低了前峰。當(dāng)θb=90°時(shí)，曲線峰結(jié)構(gòu)比較突出，模型三相較于DS3C 曲線結(jié)構(gòu)相差不大，前峰和后峰下降。當(dāng)θb=105°時(shí)，后峰強(qiáng)度超越前峰，在θa=-5°和10°附近，曲線向內(nèi)凹陷，說明核對電子的作用越來越大，反應(yīng)中殘留電子屏蔽修正非常明顯。

4 結(jié)論

本文修改了DS3C 模型，在截面依賴動(dòng)量轉(zhuǎn)移幾何條件下對He 原子的TDCS 進(jìn)行了理論計(jì)算，通過加入殘留電子屏蔽理論，開展了DS3C 模型和3 種修正模型的對比研究，討論了不同理論模型下殘留電子屏蔽效應(yīng)的影響。結(jié)果表明，殘留電子屏蔽效應(yīng)導(dǎo)致TDCS 在前散射區(qū)域幅度降低，而對后散射區(qū)域幅度的影響較小。這說明該效應(yīng)在決定TDCS 方面起重要作用，在處理碰撞過程中應(yīng)當(dāng)予以考慮。通過對比截面的特征發(fā)現(xiàn)模型一修正效果最差，模型二和模型三修正效果明顯，同時(shí)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的吻合程度進(jìn)一步提高。本文揭示的物理效應(yīng)有助于人們深入理解該幾何條件下的微觀碰撞過程，同時(shí)所得結(jié)果能為諸多領(lǐng)域的應(yīng)用研究提供理論參考。