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      對一個條件概率問題的思考與變式

      2023-01-09 08:54:25張洪源河北省唐山市第一中學2020級16班063000指導教師王筱穎
      中學數學月刊 2022年11期
      關鍵詞:兩球紅球盒子

      張洪源 (河北省唐山市第一中學2020級16班 063000) 指導教師 王筱穎

      條件概率是高中數學的重要知識點,掌握條件概率的概念和應用是學習的重點.近日,《天才基本法》這部電視劇在各大平臺熱播,劇情中出現了許多有趣的數學題目,其中的一個條件概率問題引發(fā)了筆者的深入思考.

      1 情景

      有三個完全相同的盒子,第一個盒子里面裝了2個紅球,第二個盒子里面裝了2個藍球,第三個盒子里面裝的是1個藍球和1個紅球.

      2 問題與分析

      從三個盒子中隨機選擇一個盒子,從里面拿出一個球,發(fā)現球是紅色的.這個盒子里剩下的那個球也是紅球的概率是.

      為了便于分析,我們將題目中各個盒子中的球進行編號.設第一個盒子中的兩個紅球分別為A1和A2;第二個盒子中的兩個藍球分別為B1和B2;第三個盒子里的紅球為A3,藍球為B3.

      評注此問題屬于條件概率中的“有序”問題,和著名的“三門問題”原理類似,解決問題時一定不能盲目依靠直覺求解.

      3 變式

      變式1 從三個盒子中隨機選擇一個盒子,發(fā)現盒里的兩球中有紅球.這個盒子里的兩球都是紅球的概率是.

      評注此問題屬于條件概率中的“無序”問題,如果采用列舉法,一定要注意A3B3和B3A3兩個事件都需滿足已知條件.

      變式2 從三個盒子中隨機選擇一個盒子,從里面拿出一個球,發(fā)現球是紅色的.這個球來自第一個盒子的概率是.

      評注此問題屬于條件概率中的后驗概率問題,即“執(zhí)果尋因”,可以使用貝葉斯公式直接求解.

      變式3 從三個盒子中隨機選擇兩個盒子,分別從中拿出一個球,發(fā)現拿出的球里有紅球.拿出的兩球是一紅一藍的概率是.

      評注此類問題事件情況數較多,需要對事件進行合理拆分,結合全概率公式求出所需事件概率.如果遇到求復雜事件的概率時,可以嘗試使用“正難則反”的方法,先求出其對立事件的概率,再得到所求概率.

      以上是筆者對于一個條件概率問題進行的思考與變式,希望能對各位讀者學習、理解此類問題有所幫助.

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