孔祥武 (江蘇省常州市第一中學(xué) 213003)

試題設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對一切n∈N*都成立.

(1)若λ=1，求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)求λ的值，使數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

“你那種做法好像怪怪的，有問題”，數(shù)學(xué)剛考完，數(shù)學(xué)備課組辦公室里就吵了起來.爭論的焦點(diǎn)就是上面這道考題的第二問.

教師A：“我這樣做，令n=1，得a2=λ+1,令n=2，得a3=(λ+1)2,要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列，必須有2a2=a1+a3，解得λ=0.又當(dāng)λ=0時，a1=a2=a3=1,所以等差數(shù)列{an}的通項公式只能是an=1，并且它的前n項和Sn=n，容易檢驗證明(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對任意n∈N*恒成立.”

教師B：“我覺得這題怪怪的，你那樣做好像太簡單了，會不會有問題？”

教師A：“先通過特殊的前三項逼出λ=0,再檢驗一般情況，充分性和必要性都有了,我們以前好多題不也是這么解的?”

教師C：“這種問題以前好像也碰到過，當(dāng)時你們說通過前幾項特殊情況進(jìn)行計算、推演，結(jié)果要檢驗，到底檢驗什么？是檢驗(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1,還是檢驗{an}是等差數(shù)列？”

筆者對這道題也作過思考，我們不妨把形如上題第二問的探索性問題稱為條件探索性問題.它是考試中的常見題型，在立體幾何和數(shù)列中尤為常見.到底該如何探究答案，得到答案后又該如何證明，書寫要注意什么？不少學(xué)生感到棘手，部分教師也有困惑.筆者想就本題的爭論內(nèi)容說一說自己的觀點(diǎn)，談一談此類問題的解題規(guī)范和教學(xué)建議.

1 審查題意時不可拘泥于字面理解

條件探索性問題一定要注意“審題”，在大多數(shù)情況下是尋找使得結(jié)論成立的充要條件.比如，本題第二問是典型的條件探索性問題，從字面看，應(yīng)該是尋找使得結(jié)論成立的充分條件.對本題而言，即由λ=0證明{an}是等差數(shù)列.但考慮到為什么只有λ=0、是否還有其他可能值，所以還得考慮必要性才嚴(yán)謹(jǐn).筆者認(rèn)為此類問題大多數(shù)情況下是要探求使得結(jié)論成立的充分必要條件，不能完全拘泥于字面理解，否則考試容易吃大虧.

從這個角度分析，教師A解法的前半部分應(yīng)該是逼出{an}是等差數(shù)列的必要條件λ=0，后半部分應(yīng)該是由λ=0結(jié)合大前提(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1去證明{an}是等差數(shù)列,而不是由{an}是等差數(shù)列去驗證(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1成立，所以該解法的后半部分是錯誤的.下面筆者給出本題的一個標(biāo)準(zhǔn)解法.

標(biāo)準(zhǔn)解法(1)an=2n-1(過程略).

(2)令n=1，得a2=λ+1.令n=2，得a3=(λ+1)2.要使數(shù)列{an}為等差數(shù)列，必須有 2a2=a1+a2，解得λ=0.

又a1=1,所以an=1(n∈N*).

所以λ=0時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

評注 上述解法規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，很好地體現(xiàn)了充要條件的兩個方面，必要性探究與充分性說理層次十分清晰.

2 解答問題時要防偷換概念和條件

仔細(xì)反思，我們不禁要問，為什么大家會覺得教師A的解法似曾相識，有幾分親切呢？為什么這種錯誤也有一定的“市場”呢？這是因為，我們一開始是從“要使得{an}是等差數(shù)列”入手，本來是去尋找使得結(jié)論成立的充分條件，不知不覺偷換概念變成“假設(shè){an}是等差數(shù)列”，進(jìn)而反復(fù)把等差當(dāng)成條件在使用，才得出{an}的通項公式只能為an=1,導(dǎo)致解題偏差.

我們可以將題目重新改造如下，以進(jìn)行對比分析：

設(shè)各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，求λ的值，使得(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對一切n∈N*都成立.

不難理解，題目表述改變后，教師A的解法就是正確的，可見明確誰是大前提、條件、結(jié)論至關(guān)重要.同時，像標(biāo)準(zhǔn)解法那樣，有層次地嚴(yán)格分成兩步(必要性探索和充分性證明)，解題思路會更加清晰明了.

3 探索求證時也可利用充要條件

既然大多數(shù)情況下，解答時既要完成必要性探究又要完成充分性說理，可不可以將兩者合二為一？

筆者在批閱試卷時，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生想到如下的第二問解法.

所以當(dāng)λ=0時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

這種解法對不對？按照我們先前的觀點(diǎn)，這種解法只是由等差條件推得λ=0，歷經(jīng)艱辛卻只是完成了一半，仍然沒有修成正果，未免可惜.事實(shí)上，上述解法思路合理自然，只是表達(dá)欠妥，我們可以把第一句話“假設(shè){an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d”稍作調(diào)整，改為：{an}是等差數(shù)列，等價于an=1+(n-1)d.這種解法的推導(dǎo)過程是結(jié)合大前提條件的恒等變形，過程是等價的，運(yùn)算是可逆的，可視為“λ=0”等價于“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”.

由此可見，善用充要條件、多用恒等變形、結(jié)合定義以算代證，可以理解為是將充分性和必要性合二為一了.雖然沒有像標(biāo)準(zhǔn)解法那樣很清晰地分成兩步，也應(yīng)該算作是正確的解答.這種以算代證的處理方法在用建系來處理的立體幾何探索性問題和解析幾何探索性問題時更為常見，它們的處理方式是如出一轍的.

4 書寫規(guī)范要參照既定的習(xí)慣

在立體幾何中條件探索性問題的書寫規(guī)范常常稍有差別，需要引起關(guān)注.比如我們經(jīng)常碰到的形如“在線段MN上是否存在一點(diǎn)A，使得AB∥平面DEF”這樣的問題.我們分為兩種情況來 考慮：①若不存在滿足條件的點(diǎn)A,書寫時只要假設(shè)存在點(diǎn)A，推出矛盾，即能說明點(diǎn)A不存在，這實(shí)質(zhì)是利用反證法來證明.②若存在滿足條件的點(diǎn)A，通常這樣的點(diǎn)也是唯一的.我們注意到參考解答常常省略了必要性探求過程，而直接給出了充分性的證明,即由點(diǎn)A的位置直接推導(dǎo)AB∥平面DEF.像本文試題中的問題就需要體現(xiàn)必要性探究，而此處卻省略了,這里面多少有些約定俗成的味道.也正是這種不一致造成了很多教師與學(xué)生的困惑.筆者以為,在解答條件探索性問題時要參考既定的書寫習(xí)慣，注意不同的命題場景.

條件探索性問題，想說愛你不容易，方向倘若一搞反，多花力氣也枉然.在參與命制試題時要注意題意的清晰表達(dá)，譬如條件探索性問題也可以根據(jù)情況說成“求使得命題q成立的一個充分條件(或充要條件)”，指向明確，避免玩文字游戲，防止造成不必要的誤解，以致引起考試不公平.