基于三維數(shù)字圖像相關(guān)法的管材脹形試驗

鄒正平，張

1. 北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京 100191

2. 北京航空航天大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，北京 100191

采取薄壁、整體結(jié)構(gòu)的輕質(zhì)結(jié)構(gòu)是實現(xiàn)輕量化制造的重要措施之一[1]。在此背景之下，管材充液成形(Tube-Hydroforming)及其相關(guān)技術(shù)憑借著其成形精度高、成形極限高、表面質(zhì)量好等優(yōu)點在航空、航天、高鐵及汽車等相關(guān)制造領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[2]。隨著管材充液成形應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大及相關(guān)數(shù)值模擬技術(shù)的不斷發(fā)展，管材力學(xué)性能正越來越被學(xué)者所重視。相較于板材，管材制備過程中存在滾彎、擠壓、焊接等制備工藝所帶來的一定的初始塑性變形行為。與原始板料相比，其力學(xué)性能發(fā)生了一定的變化。這也意味著，通過測試同種板材試驗結(jié)果來近似代替管材的力學(xué)性能存在著較大誤差[3]。

依據(jù)試驗原理的不同，可將管材力學(xué)性能測試分為直接法和間接法[4-7]。其中，環(huán)向拉伸試驗是間接法的主要方式之一，而管材液壓脹形試驗(Tube Bulging Test)則是直接法的代表。然而，間接法均需對管坯進(jìn)行如切割等加工制備，從而影響了該材料的力學(xué)性能。相反，管材液壓脹形試驗具有試驗方法簡單、設(shè)備要求低、可控變量多等優(yōu)勢，且其能更好地反映材料在流體面力作用下的變形規(guī)律及其成形極限。但是，精準(zhǔn)測量管材液壓脹形試驗中自由區(qū)域軸向及周向曲率難度較大。因此，國內(nèi)外諸多學(xué)者通過對軸向輪廓提出假設(shè)(余弦曲線、圓弧曲線或橢圓曲線)，進(jìn)而計算測量時刻的軸向及周向應(yīng)變。Fuchizawa假設(shè)管材脹形輪廓為圓弧形，并通過脹形試驗獲得了管材的本構(gòu)方程[8]。Strano等認(rèn)為脹管輪廓形狀更滿足余弦函數(shù)，在計算軸向曲率半徑時還結(jié)合了能量法和管材軸向靜力平衡方程[9]，獲得了對應(yīng)的材料性能參數(shù)。Hwang等則假設(shè)脹形輪廓具有橢圓的連續(xù)性，并結(jié)合橢圓方程簡化軸向曲率半徑的計算[10]。郎利輝等通過測量兩端軸向進(jìn)給量并利用超聲波測厚儀對頂點處壁厚進(jìn)行實時測量，再利用脹形輪廓假設(shè)得出了軸向和周向半徑[11]。苑士劍等提出脹形最高點壁厚線性分布模型，并認(rèn)為圓弧曲線是描述STKM11A鋼管自由脹形區(qū)域輪廓的最佳函數(shù)，給出了不同各向異性系數(shù)對管材脹形試驗的影響[12]。Vitu等通過分別對304不銹鋼、鎳基鐵合金和銅管進(jìn)行脹形試驗，驗證了Boudeau-Malécot計算模型在數(shù)據(jù)中的正確性[13]。何祝斌等對管材自由脹形及固定脹形試驗進(jìn)行了分析，分別探究了上述兩種情況下所獲取的成形極限曲線上的差異，并給出了長徑比大小對最終結(jié)果的影響[14]。然而，上述方法均對軸向輪廓進(jìn)行了假設(shè)，其具體形貌尚未確定，這給后續(xù)力學(xué)分析及計算引入了不確定因素，亟待解決。此外，采用傳統(tǒng)網(wǎng)格法測量管材脹破時的軸向及周向應(yīng)變時，存在由液壓沖擊現(xiàn)象而引入的偏大現(xiàn)象[15]，即所得成形極限曲線(Forming Limit Curve，F(xiàn)LC)較真實曲線分布更加“偏上”。

值得注意的是，趙赫等利用數(shù)字圖像相關(guān)法(DIC)方法對304不銹鋼薄壁管的環(huán)向拉伸進(jìn)行測試，驗證了環(huán)向拉伸試驗方法的可靠性[16]。張清慧利用DIC方法對薄管的屈曲行為進(jìn)行了測量，并給出了不同幾何尺寸及沖擊速度對結(jié)果的影響規(guī)律[17]。Sadlowska等利用DIC對管材脹形過程中的應(yīng)變進(jìn)行了測量，結(jié)果顯示該方法具備良好的測量精度[15]。

因此，首先采用三維數(shù)字圖像相關(guān)法作為非接觸測量方式，對5A02鋁合金管材液壓脹形試驗中自由區(qū)域管材外形貌數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，以確定其軸向輪廓表達(dá)形式。其次，通過假設(shè)自由區(qū)域管材內(nèi)外壁軸向輪廓具有相同表達(dá)形式，結(jié)合塑性變形體積不變準(zhǔn)則，給出了自由區(qū)域管材壁厚分布的計算方法。再次，通過調(diào)整自由區(qū)域管材長徑比來實現(xiàn)控制軸向及周向應(yīng)變比值，以獲得管材液壓脹形作用下的管材左側(cè)成形極限圖。最后，利用有限元方法對上述結(jié)果進(jìn)行對照驗證，驗證上述測試方法及計算方法的準(zhǔn)確性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 管材液壓脹形力學(xué)模型

管材液壓脹形試驗是一種將管材兩端約束密封，按照一定加載路徑(軸向力和內(nèi)壓力)迫使管材發(fā)生顯著變形，觀察并記錄自由區(qū)域管材軸向及周向的輪廓變化情況，并結(jié)合理論計算獲取管材力學(xué)性能參數(shù)的試驗方法。根據(jù)管材液壓脹形試驗原理，給出其自由區(qū)域端中點處微元體應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，如圖1所示[18-20]。

對圖1中微元體進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析，由變形條件可知，脹形最高點處的周向及厚向應(yīng)變?yōu)?/p>

(1)

(2)

式中：εθ為周向應(yīng)變;ro為管材初始外徑值，rθ為任意時刻脹形最高點處周向曲率半徑；εt為厚向應(yīng)變；ti為任意時刻脹形最高點處材料厚度；to為管材初始厚度。

考慮到材料塑性變形過程中體積不變原則，有

εz=-(εθ+εt)

(3)

式中：εz為軸向應(yīng)變。

本試驗中，任意時刻脹形最高點處周向曲率半徑同該點處厚度滿足如下條件：

(4)

則可認(rèn)為脹形最高點處微元體無彎矩作用，由薄膜理論[14,21]有

(5)

式中：σθ為脹形最高點處軸向應(yīng)力;σz為脹形最高點處周向應(yīng)力;pi為任意時刻內(nèi)壓大小。若采取自由脹形試驗，即管材僅受流體內(nèi)壓作用，由靜力平衡有

F+2πrθσzti=π(rθ-ti)2pi

(6)

式中：F為側(cè)推力。

聯(lián)立式(1)～式(6)，則脹形最高點處的周向應(yīng)力和軸向應(yīng)力可以表示為

(7)

(8)

考慮到脹形最高點處微元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，忽略該材料的面內(nèi)異性[11]，根據(jù)Von-Mises準(zhǔn)則，則該點處等效應(yīng)力與等效應(yīng)變可表示為

(9)

(10)

若已得到軸向和周向應(yīng)變，則式(2)可以表示為

ti=toeεt=toe-(εz+εθ)

(11)

1.2 管材液壓脹形幾何模型

對于管材液壓脹形來講，其自由區(qū)域輪廓可以表示為

Ψ(P,θ,x)=0

(12)

若忽略材料各向異性的影響，考慮到脹形過程中其任意一點處的軸向輪廓為圓[22]，如圖2所示，輪廓函數(shù)Ψ(P,θ,x)退化為二元函數(shù)F(P,x)，則有

rθ=ro+hmax

(13)

圖2 自由區(qū)域軸向輪廓

(14)

式中：hmax是脹形最高點處脹形高度值。

對于內(nèi)壓P=Pi時，脹形自由區(qū)域任意位置的軸向曲率半徑rz可以表示為

(15)

特別的，當(dāng)式(15)中x=xE時，rz為最高點處軸向曲率半徑，其中xE為脹形最高點處橫坐標(biāo)。

若式(15)已知，則軸向應(yīng)變可以表示為

(16)

式中：LO為自由區(qū)域原始長度;xS為內(nèi)壓P=Pi時，曲線2與原始管坯輪廓曲線相切點PS的橫坐標(biāo)。

對于任意一個P=Pi時刻，管材外表輪廓函數(shù)退化為一元函數(shù)f(x)來表示?？紤]到邊界約束處的圓角作用，輪廓曲線2可以近似為圓弧表示，將f(x)用分段函數(shù)來表示，且考慮到兩曲線一階連續(xù),則有

f(x)=F(P,x)|P=Pi=

(17)

(18)

式中：rd為軸向約束裝置圓角半徑;xT為曲線2與曲線1相切點PT的橫坐標(biāo)。

假設(shè)內(nèi)輪廓h(x)同外輪廓f(x)有相同表達(dá)形式，則有

(19)

式中：rD為軸向約束裝置在內(nèi)壁輪廓處圓角半徑;xN為曲線3和曲線4過渡點PN橫坐標(biāo)。

考慮到曲線3和曲線4一階連續(xù)，則有

xN=xT+tTsin(θ)

(20)

式中：tT為曲線1和曲線2過渡點處法向厚度。

若忽略約束圓角處材料流動，則有

tT=to

(21)

結(jié)合塑性變形體積不變準(zhǔn)則，則有

(22)

聯(lián)立式(15)～式(22)可得自由區(qū)域壁厚分布。

1.3 三維數(shù)字圖像相關(guān)法

三維數(shù)字圖像相關(guān)方法測量技術(shù)是一種雙目立體視覺技術(shù)與數(shù)字散斑相關(guān)方法相結(jié)合的光學(xué)測量技術(shù)，其作為非接觸測量方式具備測量精度高、數(shù)據(jù)采集簡單及使用范圍廣等優(yōu)點[23-24]。

1.3.1 形函數(shù)及亞像素插值函數(shù)

對于管材脹形試驗來講，其參考子集除了發(fā)生剛性平移還有轉(zhuǎn)動及扭曲等形變，故采用二階形函數(shù)來表征：

(23)

式中:u、v為中心參考點在水平和豎直方向的位移(即剛性位移);(xi,yi)及(x′i,y′i)為子集內(nèi)任一點變形前后位置坐標(biāo)；Δx和Δy分別為參考點和任一點初始時刻水平和豎直方向距離；各階偏導(dǎo)表示參考子集目標(biāo)點的應(yīng)變梯度。

在進(jìn)行數(shù)字圖像相關(guān)匹配時往往需要像素與像素之間的灰度值進(jìn)行相關(guān)運算，相較于其他方法，雙3次樣條插值法能有效地提升計算精度，計算效率相對較高，且更符合自然光照在空間內(nèi)的變化規(guī)律[25-27]。因此，選取雙3次樣條函數(shù)作為插值函數(shù)，其表達(dá)式為

G(x*,y*)=a00+a01(y′)+a02(y′)2+

a03(y′)3+a10(x′)+a11(x′)(y′)+

a12(x′)(y′)2+a13(x′)(y′)3+a20(x′)2+

a21(x′)2(y′)+a22(x′)2(y′)2+

a23(x′)2(y′)3+a30(x′)3+a31(x′)3(y′)+

a32(x′)3(y′)2+a33(x′)3(y′)3

(24)

式中：G(x*,y*)為插值點處灰度值;a00～a33為待定系數(shù)。

1.3.2 相關(guān)函數(shù)及相關(guān)搜索算法

相關(guān)函數(shù)是定量表征參考子集與變形子集相似程度的評價標(biāo)準(zhǔn)。合適的相關(guān)函數(shù)有利于提高測量精度與加快收斂速度。選取受光照影響小的相關(guān)函數(shù)，其形式如式(25)所示[25]：

(25)

當(dāng)相關(guān)函數(shù)取得極值時，即認(rèn)為獲得最佳匹配。通過一定的搜索算法從相關(guān)系數(shù)分布中找到最佳匹配點的過程稱作相關(guān)搜索。相關(guān)因子定義為

(26)

式中：Cr為相關(guān)函數(shù)，當(dāng)S=0時相關(guān)，當(dāng)S=1時不相關(guān)。

易知S=Smin的必要條件為

(27)

圖3 Newton-Raphson迭代算法流程圖

1.3.3 應(yīng)變計算

對于上述采取3次樣條插值得到的位移場，采取方網(wǎng)格-三角形節(jié)點法進(jìn)行應(yīng)變計算[27]，如圖4所示。取目標(biāo)計算點P周圍的4個點建立4個三角形網(wǎng)格，分別求每個三角形的拉格朗日應(yīng)變，加權(quán)平均后即可得到P點應(yīng)變大小。

圖4 應(yīng)變計算原理圖

(28)

式中：li為v1和v2的模長。

有柯西-格林張量同拉格朗日應(yīng)變轉(zhuǎn)換關(guān)系為

C=I+2E

(29)

式中：I為單位矩陣，且有

(30)

則真實應(yīng)變可表示為

(31)

式中：Emax和Emin為矩陣E中的最大和最小元素。

2 管材脹形試驗系統(tǒng)

按照管材脹形試驗要求，可將其分為液壓裝置、密封工裝和測量系統(tǒng)，試驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。其中，試驗過程中液壓加載路徑控制由實時控制系統(tǒng)控制，三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)實時觀測待測區(qū)域形貌。

圖5 管材液壓脹形試驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖

2.1 液壓系統(tǒng)及密封工裝

液壓系統(tǒng)可分為高、低壓系統(tǒng)兩部分，其中低壓部分(額定壓力為25 MPa)作用于左右側(cè)推缸及鎖緊裝置，并為高壓增壓缸提供動力。而高壓增壓缸產(chǎn)生的高壓部分(額定壓力為150 MPa)主要作用于待測管坯，為脹形試驗提供內(nèi)壓力。上述壓力系統(tǒng)均通過電控系統(tǒng)進(jìn)行控制。

密封工裝的形式會影響管材脹形試驗中的邊界條件，常見的邊界條件有自由邊界和固定邊界。密封工裝原理及三維結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。其中，在管端施加精確的雙向軸向力和軸向位移，從而實現(xiàn)脹形區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變精確控制。同時，在向心鎖緊力F的作用下，管材兩端材料被完全約束，材料不能進(jìn)入脹形區(qū)域，以保證其滿足自由脹形條件，即近似滿足式(22)。

圖6 邊界條件原理圖

2.2 三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)

三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)是測量脹形過程中管坯外形貌的主要機構(gòu)。該系統(tǒng)組成主要涵蓋CCD相機、照明裝置、信號觸發(fā)器、支架和數(shù)據(jù)處理裝置，如圖7所示。其中，CCD相機型號為GT1920,分辨率為1 936×1 456 PPI，像素尺寸為4.54 μm×4.54 μm，采集頻率為40 fps，選取Gige作為數(shù)據(jù)傳輸方式，觸發(fā)方式為脹形試驗系統(tǒng)增壓伺服系統(tǒng)信號控制的硬觸發(fā)模式，其詳細(xì)性能參數(shù)如表1所示。鏡頭選取為LM25JC5M2，其焦距為25 mm，其詳細(xì)參數(shù)如表2所示。照明光源選取DH-RIW120-W環(huán)形光源，額定功率為120 W，其所搭配的DH-AP1024F-1控制器可方便調(diào)節(jié)光照強弱。此外，選取型號為CC-076-O-4的陶瓷基材料標(biāo)定板。其表面經(jīng)過漫反射處理，能有效降低正面光源直射帶來的放光或斑點。其中心距為4.0 mm，精度為0.001 5 mm，陣列方式為13×12。

圖7 三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)

表1 GT1920 CCD相機參數(shù)

表2 LM25JC5M2型號鏡頭參數(shù)

3 管材脹形試驗

3.1 樣件制備

采取外徑為26.13 mm、壁厚為1.5 mm的5A02鋁合金管材作為試驗原料。將其切割成150 mm長的管坯，并在管坯兩端進(jìn)行倒角處理，而后在其表面噴涂白色啞光漆以降低光源帶來的強反射噪點，最終在其表面噴涂人工散斑點，如圖8所示。

圖8 試驗樣件制備

3.2 測量系統(tǒng)設(shè)定

像素坐標(biāo)同世界坐標(biāo)存在對應(yīng)關(guān)系可以表示為[29]

s[u,v,1]T=H[X,Y,1]T

(32)

式中：s為比例因子;[u,v,1]T為像素坐標(biāo);[X,Y,1]T為角點世界坐標(biāo);矩陣H為單應(yīng)性矩陣，其表示相機的內(nèi)參參數(shù)及外參參數(shù)。

利用常見的“張氏標(biāo)定法”對其本系統(tǒng)左右兩相機進(jìn)行標(biāo)定，如圖9所示。其中，左、右相機單應(yīng)性矩陣HL、HR分別為

(33)

圖9 相機標(biāo)定

由于網(wǎng)格大小會影響自由區(qū)域表面重建精度和計算時間，即過大的網(wǎng)格會降低輪廓精度；而過小的網(wǎng)格會極大增加計算量[30]，本文取值為20像素，參考子區(qū)大小為41×41，如圖10所示。

圖10 定義網(wǎng)格

3.3 測量精度檢測

初始管材軸線和點云的距離可以表示為

(34)

當(dāng)式(35)取最小值時，可以確定s。

(35)

本文中s=[1,-0.009,-0.086]，將采集輪廓點分別代入式(35)，得到不同點相對軸線向量的距離，如圖11所示。其中，管材外徑利用千分尺進(jìn)行測量，其3次測量的平均值為26.13 mm；而采取本文測量裝置的測量結(jié)果中，最大值為26.517 mm，最小值為25.740 mm，即偏差上限為1.48%，偏差下限為1.50%?？傮w偏差小于1.5%，說明本測量系統(tǒng)有較高的測量精度。

圖11 管材初始點相對距離

3.4 軸向輪廓擬合

圖12 軸向輪廓擬合

對制備的管坯進(jìn)行自由脹形試驗，其內(nèi)壓加載速率為0.5 MPa/s，當(dāng)內(nèi)壓小于10 MPa時，該樣件無顯著變形，故選脹形壓力為12 MPa時對中部長70 mm的自由區(qū)域的軸向輪廓曲線進(jìn)行擬合。其中，管材軸向方向向量s不變，利用式(35)對其進(jìn)行計算。采用最小二乘法對余弦函數(shù)、橢圓函數(shù)及圓弧函數(shù)進(jìn)行擬合，如圖12所示。其中，三角函數(shù)擬合的可決系數(shù)R-square為0.999，大于圓弧的0.886和橢圓的0.996。即對于5A02鋁合金管材自由脹形來講，其軸向輪廓曲線采取三角函數(shù)擬合效果最好，其一般表達(dá)形式為f(x)=acos(b(x-c))+r0，橢圓函數(shù)擬合效果次之，圓弧最差。分別選取內(nèi)壓為10.25、10.75、11.75、12.00、12.25、13 MPa時，對其進(jìn)行擬合計算。聯(lián)立式(11)～式(15)，計算脹形最高點軸向曲率半徑rz和周向曲率半徑rθ，如表3所示。

表3 不同壓力下軸向輪廓函數(shù)參數(shù)值

聯(lián)立式(1)～式(3)，對不同壓力下(10.25、10.75、11.75、12.00、12.25、13 MPa)的應(yīng)變進(jìn)行計算，得到3個應(yīng)變同脹形壓力及軸向相對位置的云圖分布，如圖13所示。其中，從上至下依次為εθ、εz和εt。

圖13 應(yīng)變分布云圖

3.5 本構(gòu)方程建立

(36)

式中：K為強度系數(shù)；n為應(yīng)變硬化指數(shù);ε0為初始應(yīng)變。

擬合結(jié)果顯示，強度系數(shù)K為440.7，硬化指數(shù)n為0.299，初始應(yīng)變ε0為0.008 1。將其代入到ABAQUS軟件中進(jìn)行有限元(FEM)計算，其在12.0 MPa內(nèi)壓作用下的Mises等效應(yīng)力分布如圖14所示。

圖14 等效應(yīng)力分布云圖

圖15 本構(gòu)方程

根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果對材料本構(gòu)方程進(jìn)行反求，得強度系數(shù)為421.2，硬化指數(shù)為0.276，初始應(yīng)變?yōu)?.007 4，如圖15所示。其中，兩者強度系數(shù)K的相對誤差為4.63%，硬化指數(shù)n的相對誤差為8.33%，初始應(yīng)變ε0的相對誤差為9.46%。

3.6 壁厚分布計算

聯(lián)立式(16)～式(22)，可以得到不同脹形壓力(10.25、10.75、11.75、12.00、12.25、13 MPa)作用下的脹形自由區(qū)域壁厚同脹形壓力及軸向位置的分布，如圖16所示。其中，黑點為脹形最高點處壁厚測量值，曲面為計算結(jié)果。當(dāng)內(nèi)壓為11.75 MPa時，計算和實際測量結(jié)果出現(xiàn)最大偏差。即最大絕對誤差為0.023 mm，最大相對誤差為1.71%。

圖16 壁厚分布云圖

3.7 管材FLC建立

在管材成形領(lǐng)域中，常見的缺陷可分為起皺和破裂。而當(dāng)前工程實踐中常用的破裂判斷準(zhǔn)則為成形極限曲線，即FLC。目前，F(xiàn)LC獲取方式可以分為理論方式和試驗測試方法兩類。本文采取試驗法進(jìn)行FLC的獲取。

圖17 5A02鋁合金管材左側(cè)FLC

4 結(jié) 論

首先建立了管材液壓脹形的力學(xué)模型和幾何模型，推導(dǎo)了自由區(qū)域壁厚分布計算的一般方法，給出了利用管材自由脹形試驗求解本構(gòu)方程的計算流程。其次，介紹了三維數(shù)字圖像相關(guān)法基本理論，完成了管材自由脹形系統(tǒng)的搭建及測試。再次，完成了5A02鋁合金管材的自由脹形試驗及FLC試驗。最后，借助有限元方法對上述結(jié)果進(jìn)行了驗證，結(jié)果表明：

1) 通過擬合驗證了余弦函數(shù)是表征5A02鋁合金管材軸向輪廓的最佳擬合函數(shù)，可決系數(shù)R-square達(dá)0.999。計算了不同壓力下自由區(qū)域中壁厚的分布，理論值同實測值的相對誤差小于2%。

2) 對5A02鋁合金進(jìn)行了液壓脹形試驗，獲取了帶初始應(yīng)變的冪指數(shù)形式的本構(gòu)方程。利用ABAQUS軟件對其進(jìn)行了對照驗證，兩者相對誤差小于10%。

3) 通過控制自由區(qū)域管材長度，完成了5A02鋁合金管材左側(cè)FLC的建立。