基于中軸變換的直刃刀漢字雕刻方法

孫子博，曹利新

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引言

數(shù)控銑削的基本加工原理是利用高速旋轉(zhuǎn)的銑刀將工件材料打碎，從而使加工材料與工件分離，具有精度高、效率高、柔性高等特點。但通過銑削加工木材或NOMEX蜂窩復(fù)合材料時存在加工粉塵大、纖維拔出等問題。為保證加工質(zhì)量，通常需要減小切削參數(shù)，從而會制約加工效率[1-2]。刀具憑借超聲技術(shù)能以較小切削力完成加工，因而以切割形式去除材料的直刃刀在加工中逐漸得到應(yīng)用[3-4]。因為直刃刀在加工時需要控制3個移動自由度和3個旋轉(zhuǎn)自由度，所以刀具路徑規(guī)劃方法與銑削等常見加工方式的不同。

由于現(xiàn)有CAM技術(shù)還不支持直接生成直刃刀加工時的刀具路徑，因而國內(nèi)外學(xué)者研究了直刃刀加工經(jīng)典零部件時的刀具路徑規(guī)劃方法，高濤等[5]指出了規(guī)劃直刃刀加工刀具路徑時應(yīng)處理軌跡突變處的抬刀問題與軸向過切問題；Liu等[6]基于行切法規(guī)劃了直刃刀加工長方體時的刀具路徑，但其重點在于搭建后處理系統(tǒng)；Cui等[7]基于往復(fù)行切法規(guī)劃了直刃刀加工類圓柱面時的刀具路徑，并分析了影響殘留高度的刀具路徑參數(shù)。但還沒有學(xué)者研究采用直刃刀加工自由曲線輪廓時的刀具路徑規(guī)劃方法[8]。

輪廓的中軸變換結(jié)果富含其幾何學(xué)信息，因為易生成輪廓等距線[9]，所以被廣泛應(yīng)用于刀具路徑規(guī)劃。Elber等[10]基于相鄰中軸變換圓的半徑變化最小提出了一種C1連續(xù)的型腔銑削刀具路徑規(guī)劃方法，該方法適用于高速加工細(xì)長型區(qū)域；楊夢媛等[11]基于中軸變換規(guī)劃了型腔高速銑削的類環(huán)切法刀具路徑，生成的刀具路徑平滑無抬刀且步距在允許范圍內(nèi)平穩(wěn)變化。目前，基于中軸變換的刀具路徑規(guī)劃方法主要是針對回轉(zhuǎn)型刀具，還沒有學(xué)者將其應(yīng)用于直刃刀加工。

本文以矢量漢字雕刻為研究對象，基于中軸變換提出了一種直刃刀雕刻矢量漢字的方法，該方法同時適用于加工自由曲線輪廓。本文簡述了中軸變換的定義與直刃刀去除材料的過程，并詳細(xì)闡述了刀具路徑點與工具坐標(biāo)系姿態(tài)的確定方法，最后通過仿真與實驗相結(jié)合的方法驗證了所提方法的可行性。

1 中軸變換定義

平面域圖形的中軸線是指所有最大圓盤的圓心集合，而最大圓盤是指完全包含在封閉輪廓內(nèi)部且至少與邊界輪廓相切于兩點的圓。即中軸線上的點到兩側(cè)邊界輪廓的距離相同。將最大圓盤稱為中軸變換圓，將中軸線上的點即圓盤圓心稱為中軸點[12]。令Pc為邊界輪廓C上一點，Pm為其對應(yīng)的中軸點，則可以定義半徑函數(shù)r（m）：

其中，R+為非負(fù)實數(shù)集，dis（Pm，Pc）表示點Pm到點Pc的距離。將中軸線與相應(yīng)半徑函數(shù)統(tǒng)稱為中軸變換。

圖1 矩形ABCD的中軸變換

本文對連續(xù)域邊界采用巴文蘭[12]提出的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行中軸變換求解，以基元段為單位提取如下數(shù)據(jù)：各中軸點的坐標(biāo)與相應(yīng)的變換圓半徑、兩邊界點坐標(biāo)以及兩邊界點處曲率。

2 直刃刀結(jié)構(gòu)與材料去除方式

本文采用的直刃刀刀具結(jié)構(gòu)如圖2所示，在Ot點建立工具坐標(biāo)系Ot-XtYtZt，圖中S為切削刃，L、b、H、2δ、γ分別表示刀具寬度、刀具厚度、刀具長度、刀尖角與刀刃面夾角。以L=5 mm、b=2 mm、H=35 mm、δ=30°、γ=4°建立的刀具3D模型如圖3所示。由于刀具只在Yt正方向上有實體，因而加工時Yt軸應(yīng)與加工區(qū)域內(nèi)側(cè)同向；而由于切削刃分布在Xt方向兩側(cè)，因而加工時Xt軸與進(jìn)給方向平行即可。

圖2 直刃刀三視圖

圖3 直刃刀3D模型

直刃刀加工時刀具沿同一條刀具路徑以不同傾斜角α（繞Xt軸旋轉(zhuǎn)的角度）加工兩次，使“V”形切屑與工件分離。工件加工區(qū)域呈“V”形凹槽，因此直刃刀加工又被稱為“V”形加工。

在待加工工件表面建立工件坐標(biāo)系O-XYZ，以平行于X軸的加工軌跡為例，直刃刀加工時材料的去除方式如圖4所示。其中YOZ平面內(nèi)的示意圖如圖4（a）所示，XOZ平面上A-A截面內(nèi)的示意圖如圖4（b）所示，加工過程的3D效果如圖4（c）所示。圖4中DL為刀具路徑，vf為進(jìn)給方向，ap為加工深度，α1與α2為兩次加工時的傾斜角。

圖4 直刃刀加工時材料去除方式

加工時以DL為刀具路徑，首先以α1為傾斜角進(jìn)行加工，此時Xt軸方向為X軸負(fù)方向；然后以DL為刀具路徑，再以α2為傾斜角進(jìn)行加工，此時Xt軸方向與X軸正方向一致。兩次加工后所去除材料在YOZ平面內(nèi)的形狀如圖4（a）中Ω所示。

3 漢字雕刻加工方法概述

結(jié)合前兩節(jié)可知，選取待加工輪廓在一定加工深度ap下的中軸線為刀具路徑，調(diào)整傾斜角α使刀具在加工表面上剛好與待加工輪廓接觸，即可雕刻出“V”形輪廓。

當(dāng)待加工輪廓確定后，加工深度ap與傾斜角α相互影響：給定加工深度ap不變，則每個中軸點處的傾斜角α=arctan（r/ap），此時可實現(xiàn)等深度漢字雕刻；給定傾斜角α不變，則每個中軸點處的加工深度ap=r/tanα，此時可實現(xiàn)等錐度漢字雕刻。

因為中軸線可被劃分成若干個基元段，所以待加工輪廓也能以基元段為單位被劃分成若干個區(qū)域。在每個區(qū)域內(nèi)進(jìn)行“V”形加工，并在區(qū)域的交界處進(jìn)行垂直加工，從而完成漢字雕刻。

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圖5中外側(cè)曲線為待加工輪廓，內(nèi)側(cè)實曲線為中軸線，圓為分叉點處的中軸變換圓。該輪廓的中軸線有3個端點與1個分叉點，分叉點處的變換圓與輪廓有3個切點，分叉點與切點的連線如圖5中虛線所示。分叉點將中軸線分成了3個基元段，即PMi（i=1,2,3）；而分叉點與切點又將輪廓分成3個區(qū)域，每個區(qū)域包含1條中軸線PMi和2條邊界線PC1i與PC2i。

圖5 待加工輪廓及其中軸線

因為輪廓能以基元段為單位進(jìn)行劃分，同時生成兩種雕刻方法（等深度與等錐度）的刀具路徑的原理相同，所以本文以PM1所在區(qū)域為例闡述等深度雕刻的刀具路徑規(guī)劃方法。

首先，將工件坐標(biāo)系確定在待加工表面上，并指定加工深度為ap。則待加工表面處的Z坐標(biāo)值z=0，刀具路徑處的Z坐標(biāo)值z=-ap。然后，根據(jù)中軸線上各離散點的坐標(biāo)確定刀具路徑的X、Y坐標(biāo)值，從而確定刀具路徑的位置，如圖6（a）所示。其次，根據(jù)中軸線上各離散點與對應(yīng)邊界點的相對位置關(guān)系確定刀具路徑點的刀具姿態(tài)，與圖4（a）所示相同。圖6中，pm為刀具路徑上一點，pc1與pc2為與之對應(yīng)的邊界點，r為當(dāng)前變換圓半徑，則Zt1=pc1-pm，Xt1=vf1，Yt1=Zt1×Xt1，PC1處的工具坐標(biāo)系T1=[Xt1,Yt1,Zt1]。其中vf1為邊界曲線在PC1處的切線，方向與刀具路徑的前進(jìn)方向v同向。同理可計算出pc2處的工具坐標(biāo)系T2。

圖6 點pm處工具坐標(biāo)系姿態(tài)

加工時，首先調(diào)整姿態(tài)以PM1對應(yīng)的刀具路徑加工pc1側(cè)邊界，然后更換姿態(tài)再以相同刀具路徑加工pc2側(cè)邊界。兩次加工完成后，區(qū)域PM1仍在“切點-分叉點”連線處與工件相連。因此，在“切點-分叉點”處進(jìn)行垂直加工，使區(qū)域PM1與工件完全分離后再加工下一區(qū)域。

所謂垂直加工，是指刀具的Z軸垂直于待加工表面進(jìn)行加工，即α=0。此時，刀具路徑從z=0處的切點指向z=-ap處的分叉點，如圖7所示。沿分叉點與切點1以及切點3的連線完成垂直加工后，當(dāng)前區(qū)域即與工件徹底分離。因為垂直加工只起到分離材料的作用，所以每個分叉點處只需要進(jìn)行m次垂直加工，m為分叉點處的切點數(shù)量。

圖7 “切點-分叉點”處工具坐標(biāo)系姿態(tài)

綜上，漢字雕刻可以分為兩部分：沿中軸線的傾斜加工（α≠0）以沿及“切點-分叉點”的垂直加工（α=0）。以基元段為單位，完成所有基元段的加工，即可實現(xiàn)漢字的“V”形雕刻。

4 加工過切避免方式與方法驗證

4.1 加工過切的避免方式

因為本文采用的直刃刀在結(jié)構(gòu)上關(guān)于YtOtZt平面對稱，所以加工曲率較小且為正的邊界時在Xt方向上存在過切[13]。而當(dāng)邊界曲線的曲率為負(fù)時，不存在加工過切，如圖8（a）所示。圖中Ωin表示加工區(qū)域內(nèi)側(cè)，Ωout表示加工區(qū)域外側(cè)，C表示待加工輪廓，pz為刀具Zt軸與加工表面的交點，bx為刀具寬度：

圖8 加工過切示意圖

式中：Lreal為刀具的實際接觸長度；bx為點pz到點Ot的距離。

當(dāng)曲線曲率為正時，存在Xt向過切，如圖8（b）中陰影A所示。過切量與曲率半徑ρ、加工深度ap以及刀具刃面角γ有關(guān)。在加工過程中，因為ρ、ap與刀具結(jié)構(gòu)都是確定的，所以只能通過調(diào)整傾斜角α來避免過切。

調(diào)整傾斜角α后，避免了過切的刀具位置如圖8（b）中虛線所示。雖然調(diào)整后在當(dāng)前位置存在加工殘留B，但是后續(xù)加工會將其去除，因而不會影響加工效果。

每個刀位點處無過切的傾斜角α可以通過求解如下無約束優(yōu)化問題得到：

式中：dis(pz,pz1)表示圖8（b）中點pz1到點pz的距離。

4.2 雕刻方法驗證

本文結(jié)合仿真加工與實際加工對所提方法進(jìn)行驗證。因為刀具在超聲波作用下能以較小切削力進(jìn)行加工，同時有學(xué)者驗證了超聲切割加工SiO2氣凝膠材料[14]、Nomex蜂窩復(fù)合材料[15]以及蜂窩板發(fā)泡膠[16]等材料的可行性，所以可以認(rèn)為借助超聲技術(shù)的直刃刀能夠在木制品上完成漢字雕刻。因?qū)嶒灄l件有限，故選擇陶藝泥作為漢字雕刻實驗材料。

（1）仿真加工

提取楷體單筆畫“中”字的輪廓并對其進(jìn)行中軸變換，得到的輪廓與中軸線如圖9（a）所示。選擇等深度“V”形雕刻并令ap=8 mm，使用圖3所示刀具模型，通過二次開發(fā)的UG六軸加工仿真模塊加工后的工件如圖9（b）所示。對比9（a）與9（b）可以看出，雕刻后漢字形狀與原輪廓一致，且雕刻后漢字呈現(xiàn)“V”形，符合預(yù)期。

圖9 仿真加工效果

（2）實際加工

提取楷體連筆畫“大”字的輪廓并對其進(jìn)行中軸變換，得到的輪廓與中軸線如圖10（a）所示。選擇等錐度雕刻并令錐度為90°，選擇如圖10（b）所示的末端執(zhí)行器，雕刻后的漢字如圖10（c）所示。從圖10（c）可以看出，雕刻方法具有如下特點：（1）能保留尖角特征，有利于體現(xiàn)漢字神韻；（2）形成的切屑是以基元段為單位的“V”形切屑條，能夠避免產(chǎn)生大量粉塵，有利于改善加工環(huán)境；（3）刀具路徑總長度短，加工效率高。

圖10 實際加工效果

5 結(jié)束語

基于中軸變換理論，提出了一種采用直刃刀雕刻漢字的方法：（1）以加工深度下的中軸線為刀具路徑，傾斜不同角度先后加工兩側(cè)邊界曲線，加工后漢字截面呈“V”形，符合漢字雕刻的需要；（2）可實現(xiàn)等深度“V”形雕刻與等錐度“V”形雕刻，適用于不同應(yīng)用場景；（3）因為方法是基于待加工輪廓的中軸變換結(jié)果，所以同時適用于加工單連通輪廓與多連通輪廓；（4）通過在分叉點處沿“切點-分叉點”加工解決了軌跡突變處的刀具干涉問題，并通過調(diào)整傾斜角解決了曲率為正時存在的Xt向過切；（5）該方法的有效加工刀具路徑長度為2倍的中軸線長度與3倍的分叉點變換圓半徑，故加工效率高。