可展薄膜的Miura彈性折痕建模與分析

唐愉真，劉 超，肖 洪，郭宏偉，王治易，謝 超，劉榮強(qiáng)

(1.機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(哈爾濱工業(yè)大學(xué))，哈爾濱 150001；2.中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司 空間結(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu)技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，上海 201108)

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，深空探測(cè)、地球觀測(cè)、射電天文學(xué)等航天任務(wù)對(duì)航天器的結(jié)構(gòu)與可展機(jī)構(gòu)的尺寸、質(zhì)量、可靠性等提出了更高的要求?？烧归_(kāi)薄膜具有質(zhì)量輕、尺寸大等一系列優(yōu)點(diǎn)，其廣泛應(yīng)用于太陽(yáng)帆、大孔徑天線、遮陽(yáng)罩中，如NASA 研制的NanoSail-D太陽(yáng)帆[1]，R3D2衛(wèi)星中的P-DAHGR 薄膜反射陣面天線[2]等。隨著空間任務(wù)對(duì)大尺寸薄膜的需求越來(lái)越迫切，如何實(shí)現(xiàn)可展薄膜的大折展比折疊，折疊后如何實(shí)現(xiàn)高效有序展開(kāi)，以及展開(kāi)后如何保證薄膜表面的高精度成為研究熱點(diǎn)之一。

Miura-ori是由Miura[3-4]提出的一種折紙方法，該研究的初衷是致力于解決地圖的折疊問(wèn)題，目前這種折紙方法廣泛應(yīng)用于航空航天、建筑等眾多領(lǐng)域。如Wright等[5]開(kāi)發(fā)了一種使用Miura-ori折疊方法的裝配過(guò)程，以及一個(gè)用于制造3 m× 3 m太陽(yáng)帆的原型裝配臺(tái)；Velez等[6]提出了一種基于擴(kuò)展Miura-ori折紙圖形的可折疊可重構(gòu)深空通信天線；Yu等[7]設(shè)計(jì)了一種基于Miura-ori的氣動(dòng)可折疊驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的爬行軟體機(jī)器人；Li 等[8]根據(jù)Miura-Ori原理提出了一種設(shè)計(jì)和制造可伸縮電路板的方法；Horner等[9]詳細(xì)討論了Miura-Ori太陽(yáng)帆模型的構(gòu)造技術(shù)，并概述了各種可能的展開(kāi)方法；肖洪等[10]基于 Miura-ori折紙?jiān)硖岢霰∧し雷o(hù)罩折疊方法，并進(jìn)行了參數(shù)分析。

薄膜在折疊過(guò)程中局部發(fā)生變形，由此產(chǎn)生折痕[11]。折痕改變了膜面材料的狀態(tài)與行為，且在薄膜完全展開(kāi)狀態(tài)下具有一定的不可恢復(fù)性[12-13]，對(duì)折疊態(tài)薄膜展開(kāi)過(guò)程與展開(kāi)結(jié)果產(chǎn)生了一定程度的影響。在研究折痕的彈塑性變形方面，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者將薄膜折痕處假設(shè)為完全塑性變形，以便對(duì)折痕區(qū)域展開(kāi)研究。Woo等[14]采用有限元法模擬薄膜折疊和單軸拉伸試驗(yàn)，以計(jì)算薄膜的有效模量；Furuya等[15-16]建立了由彈性鉸鏈和板組成的一維可展開(kāi)薄膜分析模型，通過(guò)數(shù)值分析研究了薄膜的抗彎剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，還對(duì)一維Z型折疊薄膜進(jìn)行了數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，將大變形理論作為彈性問(wèn)題進(jìn)行理論分析，研究了折疊膜結(jié)構(gòu)太陽(yáng)帆的展開(kāi)性能；Satou等[17-18]采用有限元方法研究可展開(kāi)薄膜的折疊特性，估計(jì)了折痕中可能出現(xiàn)的塑性變形，還對(duì)一維Z型折疊薄膜進(jìn)行了彈塑性有限元分析，檢驗(yàn)折痕的力學(xué)性能；Reynolds等[19]對(duì)光學(xué)應(yīng)用的薄膜提出了一種彈性折疊方法，使用特定的最小半徑折痕而不是剛性折痕；侯德高等[20]對(duì)薄硅橡膠板的交叉折疊進(jìn)行了數(shù)值分析，研究了薄膜的變形和應(yīng)力；謝志民等[21]對(duì)柔性復(fù)合薄膜材料的折疊損傷進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，并討論了由于壓縮屈曲導(dǎo)致的復(fù)合薄膜在拉伸中出現(xiàn)的伸長(zhǎng)破壞的現(xiàn)象。上述研究的薄膜折痕多數(shù)以一維折痕為研究對(duì)象，很少涉及二維折痕的研究，而且，目前對(duì)薄膜展開(kāi)過(guò)程的分析大部分停留在理論分析階段，沒(méi)有實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的工程應(yīng)用。深入研究折痕處的力學(xué)行為對(duì)薄膜展開(kāi)過(guò)程是否順暢以及展開(kāi)后的表面精度至關(guān)重要，二維彈性折痕的可行性分析具有重大的研究意義。

本文提出基于Miura彈性折痕的可展薄膜構(gòu)型，可以兼顧大尺度、輕量化、高展收可靠性等性能要求，并對(duì)折痕參數(shù)作出合理優(yōu)化以實(shí)現(xiàn)大折展比及小折痕總長(zhǎng)，同時(shí)建立數(shù)值模型，分析折痕在折疊過(guò)程中力學(xué)行為變化，驗(yàn)證薄膜二維彈性折痕的可行性，使得展開(kāi)后薄膜的平整度及表面精度達(dá)到最優(yōu)。

1 空間薄膜可展機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)

空間薄膜可展開(kāi)機(jī)構(gòu)通常由展開(kāi)支撐機(jī)構(gòu)、薄膜和張拉系統(tǒng)組成?；诹呅蔚膸缀螛?gòu)型，根據(jù)空間薄膜可展機(jī)構(gòu)具有薄膜結(jié)構(gòu)可折疊、輕量化、高折展比、高剛度和大尺寸等性能要求，本文提出了中心展開(kāi)空間薄膜可展機(jī)構(gòu)，如圖1所示。中心展開(kāi)的展開(kāi)方式具有良好的同步展開(kāi)性并且易于控制，同時(shí)在面密度、收攏展開(kāi)尺寸和動(dòng)力學(xué)特性等方面也具有優(yōu)勢(shì)。

(a)收攏狀態(tài)

(b)展開(kāi)狀態(tài)

中心展開(kāi)空間薄膜可展機(jī)構(gòu)選用開(kāi)縫圓管彈性伸桿作為展開(kāi)支撐機(jī)構(gòu)，卷曲后能夠發(fā)生較大的彈性變形，從而存儲(chǔ)一定的彈性變形能；當(dāng)解除約束后彈性變形自動(dòng)恢復(fù)，實(shí)現(xiàn)自驅(qū)動(dòng)展開(kāi)，且桿件展開(kāi)狀態(tài)具有一定的彎曲剛度和強(qiáng)度。張拉系統(tǒng)采用網(wǎng)狀懸線張拉方案，通過(guò)內(nèi)外懸線以及連接線的合理配置，有效減輕了繩索總質(zhì)量，并極大程度地消除了褶皺，提高了薄膜的表面精度和平整度，有效改善了中心展開(kāi)空間薄膜可展機(jī)構(gòu)整體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

中心展開(kāi)空間薄膜可展機(jī)構(gòu)將薄膜整體分解成了6個(gè)三角形薄膜，借鑒折紙方法Miura-ori來(lái)實(shí)現(xiàn)三角形薄膜的折疊展開(kāi)。參照Miura-ori的谷線和脊線，合理配置薄膜的折痕，展開(kāi)時(shí)靠近中心的薄膜角點(diǎn)固定，彈性伸桿帶動(dòng)邊緣的薄膜角點(diǎn)進(jìn)行展開(kāi)，當(dāng)彈性伸桿完全展開(kāi)時(shí)完成整個(gè)薄膜的展開(kāi)。而針對(duì)中心展開(kāi)空間薄膜可展機(jī)構(gòu)中的三角形薄膜，如何設(shè)計(jì)優(yōu)化Miura-ori折痕參數(shù)，來(lái)滿足機(jī)構(gòu)性能要求，實(shí)現(xiàn)高折展比和對(duì)薄膜較小的塑性損傷，需要進(jìn)一步深入研究。

塑性折痕會(huì)使薄膜產(chǎn)生塑性變形，甚至造成薄膜的損傷，不僅會(huì)影響薄膜的展開(kāi)效率及展開(kāi)穩(wěn)定可靠度，而且可能存在殘余應(yīng)力以及應(yīng)力集中的現(xiàn)象，導(dǎo)致薄膜產(chǎn)生褶皺乃至撕裂，影響薄膜的展開(kāi)形態(tài)及表面精度。在完成優(yōu)化的Miura-ori三角形薄膜折疊方法的基礎(chǔ)上，研究其彈性折痕的可行性。而建立折痕的解析模型來(lái)分析其彈塑性，模型很復(fù)雜且很難可視化直觀分析薄膜各處的應(yīng)力分布情況。可以通過(guò)有限元來(lái)觀察應(yīng)力分布是否存在應(yīng)力集中以及最大應(yīng)力是否超過(guò)屈服強(qiáng)度來(lái)驗(yàn)證Miura-ori彈性折痕的可行性。在得到的優(yōu)化折痕參數(shù)基礎(chǔ)上建立數(shù)值分析模型，利用有限元軟件ABAQUS/Explicit顯示分析模塊來(lái)模擬折疊過(guò)程，分析折疊后薄膜的應(yīng)力分布并驗(yàn)證Miura-ori彈性折痕的可行性。

2 Miura-ori折痕參數(shù)分析和優(yōu)化

Miura-ori折疊方法中的兩個(gè)主要折痕參數(shù)分別是折痕間距和折痕傾角，基于折痕參數(shù)的幾何和數(shù)值關(guān)系建立分析模型，對(duì)折痕參數(shù)進(jìn)行分析和優(yōu)化，以提高薄膜的折展比，同時(shí)通過(guò)減小折痕總長(zhǎng)來(lái)降低對(duì)薄膜的損傷。

2.1 Miura-ori 折疊薄膜折展比計(jì)算

Miura-ori折疊因其快速簡(jiǎn)單的展開(kāi)方式而廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星天線和太陽(yáng)能聚光器等空間任務(wù)中，將Miura-ori折疊應(yīng)用到中心展開(kāi)空間薄膜機(jī)構(gòu)的薄膜折疊設(shè)計(jì)中。圖2(a)中繪制了Miura-ori基本單元的折痕參數(shù)及折展構(gòu)型，其構(gòu)型由折痕長(zhǎng)度a，b和折痕傾角θ這3個(gè)參數(shù)決定，并由4個(gè)二面角來(lái)描述其折展構(gòu)型狀態(tài)。由此基本單元可知，Miura-ori只需要一次折展即可完成折疊及展開(kāi)，折展比大，折展效率高。中心展開(kāi)空間薄膜可展機(jī)構(gòu)由6個(gè)三角形薄膜組成，將Miura-ori應(yīng)用于三角形構(gòu)型，得到如圖2(b)所示的基于Miura-ori的三角形薄膜折痕分布圖，圖中d為折痕間距，L為薄膜邊長(zhǎng)，θ為折痕傾角，s為薄膜厚度。

(a)Miura-ori基本單元

(b)基于Miura-ori的三角形薄膜

為了計(jì)算基于Miura-ori的三角形薄膜的折展比，需要先計(jì)算Miura-ori折疊的展開(kāi)體積Vd和折疊體積Vf。根據(jù)幾何關(guān)系，可以計(jì)算薄膜的展開(kāi)體積為

(1)

基于Miura-ori折疊的三角形薄膜折疊過(guò)程和收攏狀態(tài)如圖3所示，其收攏狀態(tài)的包絡(luò)體積可被視為具有平行四邊形底部的棱柱。反之，要展開(kāi)基于Miura-ori折疊的三角形薄膜，只需要對(duì)3個(gè)角點(diǎn)進(jìn)行張拉。

圖3 基于Miura-ori折疊的薄膜折疊過(guò)程和收攏狀態(tài)

棱柱的高度與薄膜的厚度和折疊后的薄膜層數(shù)有關(guān)，根據(jù)幾何關(guān)系和棱柱體積計(jì)算公式，推導(dǎo)基于Miura-ori折疊的三角形薄膜的折疊體積為

(2)

根據(jù)折展比的定義，進(jìn)一步推導(dǎo)了基于Miura-ori的三角形薄膜的折展比表達(dá)式：

(3)

由式(3)可知，基于Miura-ori的三角形薄膜的折展比只與薄膜的折痕傾角θ和折痕間距d有關(guān)。

當(dāng)L=25 m，折痕間距不應(yīng)超過(guò)薄膜邊長(zhǎng)，所以0 m≤d≤25 m，折痕傾角0°≤θ≤90°，繪制基于Miura-ori的三角形薄膜的折展比關(guān)于折痕參數(shù)的曲線，如圖4所示。由圖4可知，在折痕間距一定時(shí)，基于Miura-ori折疊的薄膜的的折展比隨折痕傾角的增大而增大。在折痕傾角一定時(shí)，折展比隨折痕間距的增大而減小。

圖4 Miura-ori折疊的折展比關(guān)于折痕參數(shù)的曲線

2.2 基于Miura-ori折疊薄膜折痕長(zhǎng)度計(jì)算

(4)

(5)

折痕總長(zhǎng)為豎直折痕和水平傾斜折痕長(zhǎng)度總和，即

(6)

式中：θ為折痕傾角，L為薄膜邊長(zhǎng)，d為折痕間距，ΣL為折痕總長(zhǎng)。由式(6)易知，Miura-ori折疊的折痕總長(zhǎng)與折痕間距、折痕傾角和薄膜邊長(zhǎng)有關(guān)，合理設(shè)計(jì)這些參數(shù)可以有效縮短折痕長(zhǎng)度，降低對(duì)薄膜造成的損傷程度。

2.3 薄膜折痕參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)薄膜可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求，對(duì)折痕參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以實(shí)現(xiàn)高折展比、短折痕長(zhǎng)度，綜合折展比和折痕長(zhǎng)度，定義折展比與折痕長(zhǎng)度的比Θ/ΣL為優(yōu)化目標(biāo)，基于Miura-ori折疊的Θ/ΣL表達(dá)式為

(7)

將三角形薄膜邊長(zhǎng)L=25 m帶入式(7)中進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(8)

式中其他折痕參數(shù)均為已知量，只需求解d和θ兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解。計(jì)算后求得基于Miura-ori折疊的最優(yōu)折痕參數(shù)為θ=80°,d=0.25 m。

3 二維彈性折痕數(shù)值建模分析

一維彈性折痕較為容易實(shí)現(xiàn)，而二維彈性折痕必然會(huì)存在折痕交點(diǎn)，此處會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中，容易產(chǎn)生塑性變形。為了分析二維彈性折痕，選擇最為簡(jiǎn)單的四折痕基本單元進(jìn)行分析，分別對(duì)折痕傾角θ=90°及θ<90°的四折痕基本單元建立數(shù)值仿真模型，分析二維彈性折痕的可行性。圖2(a)中所示的Miura-ori基本單元，也可看作折痕傾角θ<90°的四折痕基本單元，先對(duì)基本單元進(jìn)行數(shù)值建模分析，為后續(xù)建立多折痕的Miura-ori彈性折痕分析模型奠定基礎(chǔ)。

3.1 折痕傾角θ=90°彈性折痕有限元仿真分析

為更好地分析薄膜的二維彈性折痕，對(duì)折痕傾角θ=90°的四折痕基本單元進(jìn)行分析，建立如圖5所示的幾何模型，薄膜基本幾何參數(shù)為：厚度t=25 μm，有效邊長(zhǎng)L=100 mm。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論可知，當(dāng)薄膜的材料參數(shù)確定，其彈性折痕的曲率半徑與薄膜厚度成正比，數(shù)值模型以厚度為25 μm的聚酰亞胺薄膜為例來(lái)進(jìn)行分析。為實(shí)現(xiàn)交叉折疊，根據(jù)折痕的峰線和谷線分布，第一步要將AD、BC兩邊沿著折痕EF對(duì)折，第二步則將AB、CD兩邊沿著折痕GH對(duì)折。選用ABAQUS/Explicit顯示分析模塊來(lái)進(jìn)行薄膜折疊過(guò)程的數(shù)值分析。

單元類型和網(wǎng)格尺寸直接決定了創(chuàng)建有限元模型的質(zhì)量，進(jìn)而影響仿真分析的計(jì)算速度和準(zhǔn)確性。為了對(duì)薄膜折疊和展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行比較準(zhǔn)確的數(shù)值模擬，要選擇正確的單元類型以及合適的網(wǎng)格尺寸。在確定網(wǎng)格尺寸時(shí)，不僅要保證薄膜折痕附近的網(wǎng)格質(zhì)量和計(jì)算精度，而且要保證合適的計(jì)算時(shí)間。根據(jù)收斂性測(cè)試，最終網(wǎng)格劃分均采用四邊形進(jìn)階算法，網(wǎng)格大小設(shè)定為1 mm，薄膜選用M3D4R單元。此外，在進(jìn)行顯示分析步時(shí)，對(duì)計(jì)算時(shí)長(zhǎng)的選取也會(huì)影響收斂性及計(jì)算速度。針對(duì)薄膜二維彈性折痕，每一個(gè)折疊過(guò)程劃分為一個(gè)計(jì)算步，綜合考慮仿真的準(zhǔn)確性、收斂性以及計(jì)算速度，設(shè)定每一個(gè)分析步時(shí)間為0.1 s。綜上，在ABAQUS中建立折痕傾角θ=90°薄膜的有限元模型，如圖5 (c)所示。薄膜添加的材料為聚酰亞胺，其常溫(22 ℃)狀態(tài)下的主要特性如表1所示。

(a) 薄膜的具體尺寸 (b)導(dǎo)入ABAQUS的幾何模型 (c)有限元模型

表1 聚酰亞胺材料特性

折痕傾角θ=90°的四折痕基本單元需要兩步折疊得到最終的折疊構(gòu)型，所以分別建立Step-1和Step-2兩個(gè)計(jì)算步來(lái)進(jìn)行邊界條件的添加和折疊結(jié)果的計(jì)算。為了更好地觀察折疊后的應(yīng)力分布情況，邊界條件添加到特定的節(jié)點(diǎn)上，通過(guò)控制節(jié)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)折疊，相較于將剛體與薄膜綁定之后控制剛體的邊界條件添加方法，節(jié)點(diǎn)控制法對(duì)薄膜的構(gòu)型影響更小，所得變形及應(yīng)力結(jié)果只跟彈性折痕有關(guān)，不受剛體的影響，結(jié)果更加準(zhǔn)確。如圖6(a)所示，在薄膜的中間定義一條路徑EF以便于后處理提取路徑上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值，Step-1中邊界條件為如圖6所示的節(jié)點(diǎn)集向著中心點(diǎn)O沿著X軸旋轉(zhuǎn)90°，得到如圖6(b)所示的折疊構(gòu)型。

對(duì)Step-1的仿真結(jié)果進(jìn)行后處理，提取所定義的路徑EF上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值，繪制如圖7所示的Step-1后Von Mises應(yīng)力沿路徑分布圖。由圖7可知，路徑上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力呈對(duì)稱分布，在路徑25 mm及75 mm處出現(xiàn)應(yīng)力最大值，為0.67 MPa；而路徑50 mm處應(yīng)力值為0.48 MPa，造成這一應(yīng)力分布的原因是，只在靠近邊緣的特定節(jié)點(diǎn)處添加了邊界條件，靠近中間處的節(jié)點(diǎn)處于自由狀態(tài)，所以彈性折痕附近處的路徑EF的應(yīng)力分布應(yīng)呈對(duì)稱性，但應(yīng)力最大處不一定出現(xiàn)在路徑中點(diǎn)處，且各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值都很小，非常接近。經(jīng)歷Step-1折疊后薄膜的應(yīng)力值仍處于彈性范圍內(nèi)，未發(fā)生塑性變形，初步驗(yàn)證了一維彈性折痕的可行性。

(a)Step-1邊界條件

(b)Step-1后薄膜構(gòu)型

圖7 Step-1后Von Mises應(yīng)力沿路徑分布

在Step-1基礎(chǔ)上，進(jìn)行第二步折疊Step-2的仿真計(jì)算。如圖8(a)所示，根據(jù)第二步折疊的特性，定義兩條路徑EF及GH以便于后處理提取路徑上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值。Step-2中邊界條件為如圖8(a)所示的節(jié)點(diǎn)集向著中心點(diǎn)O沿著Y軸旋轉(zhuǎn)90°，得到如圖8(b)所示的折疊構(gòu)型，即折痕傾角θ=90°的四折痕基本單元的最終折疊構(gòu)型。

并對(duì)Step-2的仿真結(jié)果進(jìn)行后處理，提取所定義的路徑EF及GH上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值，繪制如圖9所示的Step-2后Von Mises應(yīng)力沿路徑分布圖。由圖9可知，兩條路徑上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力總體呈對(duì)稱分布，薄膜邊界附近應(yīng)力并不大，當(dāng)靠近兩條折痕交點(diǎn)時(shí)，應(yīng)力急劇增大，并且在兩條折痕交點(diǎn)處應(yīng)力達(dá)到最大值，為2.794 MPa。通過(guò)和材料屬性對(duì)比分析可知，經(jīng)歷Step-2折疊后薄膜的應(yīng)力值仍處于彈性范圍內(nèi)，未發(fā)生塑性變形，初步驗(yàn)證了二維彈性折痕的可行性。路徑EF的應(yīng)力分布對(duì)稱性較好，而路徑GH的應(yīng)力分布總體趨勢(shì)呈現(xiàn)對(duì)稱性，少量區(qū)域不完全對(duì)稱，造成這一應(yīng)力分布的原因是，OE和OF完全對(duì)稱且受力情況相同，而OG會(huì)被折疊到OH的內(nèi)側(cè)，造成應(yīng)力值存在一定的差異，但是兩條路徑的最大應(yīng)力值都出現(xiàn)在點(diǎn)O處，因?yàn)辄c(diǎn)O為四折痕的交點(diǎn)，符合彈塑性力學(xué)規(guī)律。

(a)Step-2邊界條件

(b)Step-2后薄膜構(gòu)型

圖9 Step-2后Von Mises應(yīng)力沿路徑的應(yīng)力分布

3.2 折痕傾角θ<90°彈性折痕有限元仿真分析

為了進(jìn)一步分析驗(yàn)證折痕傾角θ<90°的四折痕基本單元折疊過(guò)程，建立如圖10(a)所示的幾何模型，薄膜基本幾何參數(shù)為：厚度t=25 μm，有效邊長(zhǎng)L=100 mm。為了實(shí)現(xiàn)折痕傾角θ<90°四折痕基本單元的折疊，實(shí)際上是根據(jù)折痕的脊線和谷線分布，將相鄰表面沿著他們的連接折痕折疊實(shí)現(xiàn)的，而且僅需一個(gè)步驟就能完成所有折痕的折疊。同樣選用ABAQUS/Explicit顯示分析模塊來(lái)進(jìn)行折痕傾角θ<90°四折痕基本單元折疊過(guò)程的數(shù)值分析。

在ABAQUS中建立折痕傾角θ<90°四折痕基本單元的有限元模型，并在如圖10(b)所示的折痕處定義兩條路徑AOA′及BOB′，其中薄膜選用M3D4R單元，網(wǎng)格劃分均采用四邊形進(jìn)階算法，網(wǎng)格大小為1 mm，同樣薄膜添加的材料為聚酰亞胺。利用建立的有限元模型，對(duì)薄膜折痕傾角θ<90°四折痕基本單元的折疊過(guò)程進(jìn)行仿真分析，如上所述其折疊過(guò)程只需要一個(gè)步驟，所以建立一個(gè)分析步Step-1來(lái)進(jìn)行邊界條件的添加和折疊結(jié)果的計(jì)算即可。如圖10(c)所示，兩組相鄰的表面分別沿著傾斜折痕旋轉(zhuǎn)90°得到如圖11所示的折疊構(gòu)型。

(a)幾何模型 (b)有限元模型 (c)邊界條件

圖11 折痕傾角θ<90°的折疊過(guò)程

對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行后處理，提取所定義的路徑AOA′及BOB′上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值，分別繪制如圖12所示的Von Mises應(yīng)力分布曲線。由圖12可知，在路徑AOA′上，最大應(yīng)力值發(fā)生在40 mm處，在路徑BOB′上，最大應(yīng)力值發(fā)生在70 mm處，這兩處坐標(biāo)對(duì)應(yīng)位置均為O點(diǎn)，應(yīng)力值為2.83 MPa，應(yīng)力值仍處于彈性范圍內(nèi)，未發(fā)生塑性變形，初步驗(yàn)證了折痕傾角θ<90°四折痕基本單元的二維彈性折痕的可行性。

(a)路徑AOA′

(b)路徑BOB′

4 Miura-ori彈性折痕仿真和樣機(jī)研制

4.1 基于Miura-ori折疊過(guò)程有限元仿真分析

參照上一章中的數(shù)值模型建立方法，建立了如圖13(a)所示的基于Miura-ori的三角形薄膜的幾何模型，薄膜基本幾何參數(shù)為：厚度t=25μm，有效邊長(zhǎng)L=100 mm。同樣的，Miura-ori折疊的實(shí)現(xiàn)是根據(jù)折痕的峰線和谷線分布，將相鄰表面沿著他們的連接折痕折疊，并且僅需一個(gè)步驟就能完成所有折痕的折疊。在折痕交點(diǎn)處的5個(gè)節(jié)點(diǎn)分別定義為節(jié)點(diǎn)1、2、3、4、5，以便于分析折痕交點(diǎn)處的應(yīng)力情況。同樣選用ABAQUS/Explicit顯示分析模塊來(lái)進(jìn)行基于Miura-ori薄膜折疊過(guò)程的數(shù)值分析。單元的類型、材料的屬性以及網(wǎng)格尺寸均與上一章相同，進(jìn)而得到如圖13(b)所示的基于Miura-ori薄膜彈性折疊的有限元模型。

(a)Miura-ori幾何模型 (b) Miura-ori有限元模型 (c) Miura-ori邊界條件

利用建立的有限元模型，對(duì)薄膜基于Miura-ori的折疊過(guò)程進(jìn)行仿真分析，其折疊過(guò)程同樣只需要一個(gè)步驟，所以建立一個(gè)分析步Step-1來(lái)進(jìn)行邊界條件的添加和折疊結(jié)果的計(jì)算即可。如圖13(c)所示，各組相鄰的表面分別沿著傾斜折痕旋轉(zhuǎn)90°，得到如圖14所示的折疊構(gòu)型。

在上述仿真中，不難看出在折疊過(guò)程中多條折痕交點(diǎn)處的應(yīng)力相比于薄膜其他位置應(yīng)力更大，為此，提取上述5個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線，如圖15所示?？梢杂^察出3個(gè)特征，首先，在折疊過(guò)程進(jìn)行到一半左右，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力達(dá)到最大值，其中節(jié)點(diǎn)2的應(yīng)力峰值最大，為3.6 MPa，但折疊后薄膜的應(yīng)力值仍處于彈性范圍內(nèi)，未發(fā)生塑性變形，驗(yàn)證了薄膜基于Miura-ori折疊多折痕彈性折痕的可行性；其次，可以發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)1處的應(yīng)力峰值最小，節(jié)點(diǎn)4、5的應(yīng)力峰值與節(jié)點(diǎn)1相近，而節(jié)點(diǎn)1、4、5均為薄膜臨近邊界上的節(jié)點(diǎn)，相應(yīng)可以得出結(jié)論，臨近邊界上的折痕交點(diǎn)相較于薄膜內(nèi)部的折痕交點(diǎn)在折疊過(guò)程中產(chǎn)生的應(yīng)力較??；最后，在幾何模型中，節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)5是成幾何對(duì)稱的，對(duì)于所得到的應(yīng)力變化曲線中，節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)5的應(yīng)力變化在折疊前0.05 s內(nèi)幾乎完全一致，在后0.05 s內(nèi)有一點(diǎn)偏差，符合應(yīng)力分布變化規(guī)律。

圖14 Miura-ori折疊過(guò)程

圖15 薄膜各折痕交點(diǎn)處應(yīng)力隨時(shí)間變化曲線

4.2 空間可展開(kāi)薄膜機(jī)構(gòu)樣機(jī)研制

根據(jù)所提出的空間薄膜可展機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)方案，研制薄膜邊長(zhǎng)為2.5 m，厚度為25 μm的原理樣機(jī)，其中薄膜基于Miura-ori的折痕參數(shù)設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，對(duì)三角形薄膜進(jìn)行折痕參數(shù)優(yōu)化及二維彈性折痕的研制。桿件采用碳纖彈性伸桿，懸線采用凱夫拉繩索，接頭采用尼龍基玻璃纖維復(fù)合材料3D打印制作?？臻g可展開(kāi)薄膜機(jī)構(gòu)樣機(jī)的收攏態(tài)及展開(kāi)態(tài)構(gòu)型如圖16所示。

(a) 收攏態(tài)

(b) 展開(kāi)態(tài)

整個(gè)機(jī)構(gòu)在彈性伸桿的作用下沿著徑向方向同步展開(kāi)，并通過(guò)繩索驅(qū)動(dòng)薄膜的展開(kāi)，整個(gè)展開(kāi)過(guò)程流暢無(wú)卡滯。利用樣機(jī)進(jìn)行多次重復(fù)展收實(shí)驗(yàn)，樣機(jī)均順利地實(shí)現(xiàn)了軸向的重復(fù)展收，且展收過(guò)程穩(wěn)定可靠，驗(yàn)證了所提出的構(gòu)型設(shè)計(jì)的合理性。樣機(jī)中的薄膜展開(kāi)過(guò)程如圖17所示，其中圖17(a)為Miura-ori薄膜的收攏態(tài)構(gòu)型，收攏態(tài)體積符合上述計(jì)算公式，所占空間小，滿足大折展比要求，且折痕總長(zhǎng)數(shù)值較小，驗(yàn)證了薄膜折痕參數(shù)優(yōu)化的有效性。根據(jù)Miura-ori的展開(kāi)方法，在繩索牽引下張拉3個(gè)角點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)薄膜的高效有序展開(kāi)，得到圖17(d)所示的薄膜展開(kāi)態(tài)構(gòu)型，其展開(kāi)形態(tài)平整，具有較高的表面精度，驗(yàn)證了可展薄膜的Miura彈性折痕的可行性及優(yōu)越性。

圖17 薄膜展開(kāi)過(guò)程

5 結(jié) 論

1)本文設(shè)計(jì)了一種空間薄膜可展機(jī)構(gòu)，滿足薄膜結(jié)構(gòu)可折疊、輕量化、高折展比、高剛度和大尺寸等性能要求。建立幾何模型，計(jì)算了基于Miura-ori薄膜折疊方式的折展比和折痕總長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)折展比和折痕總長(zhǎng)與折痕傾角和折痕間距有關(guān)，并優(yōu)化得到最優(yōu)折痕參數(shù)。

2)分別建立折痕傾角θ=90°及θ<90°的四折痕基本單元以及基于Miura彈性折痕的三角形薄膜數(shù)值仿真模型，發(fā)現(xiàn)其關(guān)鍵路徑上各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值均處于彈性范圍內(nèi)，未發(fā)生塑性變形，驗(yàn)證了二維彈性折痕的可行性。

3) 研制了空間薄膜可展機(jī)構(gòu)原理樣機(jī)并進(jìn)行了重復(fù)展收試驗(yàn)，展開(kāi)過(guò)程流暢無(wú)卡滯，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)的合理性，薄膜的大折展比和小折痕總長(zhǎng)表明了折痕參數(shù)優(yōu)化的有效性，薄膜展開(kāi)后表面平整說(shuō)明了二維彈性折痕的可行性及優(yōu)越性。

通過(guò)對(duì)基于Miura彈性折痕的空間薄膜可展機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)、建模分析及樣機(jī)研制，為空間薄膜可展開(kāi)結(jié)構(gòu)的彈性折痕設(shè)計(jì)分析和進(jìn)一步研發(fā)提供了有益參考。后續(xù)將采用非接觸測(cè)量的方法來(lái)測(cè)試可展薄膜Miura彈性折痕的應(yīng)力分布情況，量化驗(yàn)證數(shù)值模擬工作的準(zhǔn)確性。