浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學(xué)

方鎮(zhèn)軍

涉及函數(shù)零點的存在性問題是歷年高考數(shù)學(xué)試題中的熱點與難點問題之一，每年高考試卷上都有其熟悉的影子.巧妙地把函數(shù)零點與存在性這兩個重點問題加以融合，創(chuàng)新新穎，變化多端，同時又可以很好融合其他相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，有效考查考生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等，具有較好的高考區(qū)分度與選拔性，一直備受命題者青睞.

1 問題呈現(xiàn)

此題以函數(shù)零點的存在性為問題背景，交匯并融合三角函數(shù)、不等式、函數(shù)的最值以及函數(shù)的零點等眾多知識，題目簡單明了，創(chuàng)新新穎.抓住函數(shù)本質(zhì)，利用函數(shù)零點的存在性加以突破，可以通過導(dǎo)數(shù)思想，換元、重要不等式等思維巧妙切入，利用導(dǎo)數(shù)法或重要不等式法來處理，進(jìn)而得以破解.

2 問題破解

思維視角一：導(dǎo)數(shù)思維.

故填答案：10.

點評：根據(jù)函數(shù)的零點存在性問題對函數(shù)的解析式加以變形，等價轉(zhuǎn)化并合理構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù).利用導(dǎo)函數(shù)的零點的確定與求解來轉(zhuǎn)化與確定所構(gòu)造函數(shù)的最小值，進(jìn)而根據(jù)題目條件建立相應(yīng)的指數(shù)不等式，結(jié)合正整數(shù)n來確定其最小值.導(dǎo)數(shù)法直接處理，目的明確，只是運算量大，過程繁雜.

思維視角二：換元思維.

故填答案：10.

故填答案：10.

故填答案：10.

點評：根據(jù)函數(shù)解析式的特征，借助正弦換元、均值換元或正切換元等方式引入?yún)?shù)；結(jié)合函數(shù)的構(gòu)造，通過求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來確定函數(shù)的最小值；根據(jù)指數(shù)不等式的求解，以及正整數(shù)n來確定其最小值問題.換元是手段，簡化關(guān)系式、求導(dǎo)是目的.不同的換元處理，有不同的解題功效.

思維視角三：重要不等式思維.

故填答案：10.

點評：根據(jù)函數(shù)的零點存在性問題加以變形，結(jié)合三角關(guān)系式的合理轉(zhuǎn)化，利用權(quán)方和不等式確定三角關(guān)系式的最小值，進(jìn)而根據(jù)題目條件建立相應(yīng)的指數(shù)不等式，通過不等式的求解，以及正整數(shù)n來確定其最小值問題.借助權(quán)方和不等式轉(zhuǎn)化確定最值是破解的關(guān)鍵所在，只是該不等式對大部分考生來說比較陌生，只是作為一個了解.

3 題源探秘

根據(jù)原問題的分析與破解，其實質(zhì)是求解函數(shù)f(x)=sin2nx+cos2nx的最小值問題，巧妙利用函數(shù)零點的存在性以及指數(shù)不等式加以進(jìn)一步地融合、提升與拓展.回歸本質(zhì)，探秘題源.

問題(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省賽區(qū)預(yù)賽第7題)函數(shù)f(x)=sin2kx+cos2kx(k∈N*)的最小值為______.

點評：對比高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽問題，破解時直接借助權(quán)方和不等式，可以更加快捷地處理該問題.而對一般考生來說，利用導(dǎo)數(shù)法或換元法處理也同樣可以求解，這里不多贅述，可以參考原問題的解析過程求解.

4 解后反思

涉及函數(shù)零點的存在性問題是相關(guān)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等方面交匯與融合的一個很好場所，破解的基本思路是進(jìn)行合理的等價轉(zhuǎn)化，變形為相應(yīng)的方程、對應(yīng)的代數(shù)式、函數(shù)的解析式等，通過方程思想、代數(shù)式的不等式處理、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法等來分析與處理.破解此類問題要求具備比較高的化歸與轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力等，同時對創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用等方面都有較高的要求.