不同版本教材“誘導(dǎo)公式證明”的比較研究

?西華師范大學數(shù)學與信息學院

胡奇云

?綿陽東辰國際學校

陳文靜

1 引言

2 不同版本教材中誘導(dǎo)公式的證明分析

2.1 新人教A版的證明特點

2.2 舊人教B版的證明特點

教材首先證明了角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)關(guān)系，觀察該公式特征，進行猜想，進而研究角α與α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系.結(jié)合這兩個公式，推陳出新，得到角α與α+nπ(n∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系：角α與α加上π的偶數(shù)倍的同名三角函數(shù)值相等；角α與α加上π的奇數(shù)倍的正弦、余弦值互為相反數(shù)，角α與α加上π的奇數(shù)倍的正切值相等.歸納總結(jié)公式，有利于學生理解與記憶，并培養(yǎng)良好的學習習慣.

2.3 新人教B版的證明特點

公式證明最后，均以相應(yīng)的三角函數(shù)線之間的關(guān)系進行輔佐，學生動手操作，關(guān)聯(lián)舊知，互相結(jié)合加深印象，避免死記硬背公式.

2.4 北師大版的證明特點

教材內(nèi)容分為誘導(dǎo)公式與對稱、誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)兩部分，直觀展現(xiàn)了誘導(dǎo)公式的兩種證明方法，并以此將誘導(dǎo)公式進行分類.相較于其他版本，北師大版教材中各誘導(dǎo)公式的證明標題更加明確，主體突出，如“角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系”，證明結(jié)論也沒有順勢給出相關(guān)的正切函數(shù)，使知識點更加聚焦.

2.5 湘教版的證明特點

教材通過已證得的誘導(dǎo)公式來推導(dǎo)證明角α與π-α的三角函數(shù)關(guān)系，也提示學生從兩個角的終邊關(guān)于y軸對稱來探究，又繼續(xù)引導(dǎo)學生借助單位圓的三角函數(shù)線來研究，證明方法不再局限于一種，鍛煉學生的邏輯推理能力，有利于思維的發(fā)展.

2.6 各個版本教材證明的共同點

(1)證明過程均利用單位圓的對稱性.三角函數(shù)具有奇偶性，而奇偶性也是對稱性的一種形式，故三角函數(shù)也具有這些性質(zhì)[3].圓最特殊和最重要的性質(zhì)就是對稱性，所以利用圓的對稱性來研究三角函數(shù)的對稱性，符合2017年版課程標準要求.在單位圓中，兩個終邊具有對稱性的角，其與單位圓的交點亦具有對稱性，根據(jù)交點坐標的特征即證得誘導(dǎo)公式.

(2)對于研究角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系，以上版本教材都是依據(jù)三角函數(shù)的定義證明，銜接舊知，體現(xiàn)定義的基礎(chǔ)性與導(dǎo)向性.

(4)各版本教材均歸納了公式間的共同特征，將其一般化，總結(jié)概括為法則并明確用途.

3 課堂教學建議

3.1 對比教材，進行互補

3.2 自主探究，合作交流

證明誘導(dǎo)公式的思路和方法有多種，且有很強的邏輯性.課堂上教師可以讓學生自己動手證明，或小組合作探究.引導(dǎo)學生仔細觀察，猜測分析角之間的關(guān)系，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，提升學生數(shù)學學習的興趣.推理過程也能幫助學生內(nèi)化數(shù)學知識和領(lǐng)悟數(shù)學思想，防止學生思維僵化和教學“滿堂灌”的現(xiàn)象，符合學生身心發(fā)展的需要.

3.3 關(guān)聯(lián)知識，注重聯(lián)系

誘導(dǎo)公式安排在三角函數(shù)定義之后，教師應(yīng)在教學過程中注意新舊知識點的聯(lián)系和銜接，由淺入深帶領(lǐng)學生感受誘導(dǎo)公式的重要作用以及單位圓在三角函數(shù)中的重要性，強化對知識點的理解[4].另外，初中階段初步認識的銳角三角函數(shù)，在證明過程中也能用來引導(dǎo)學生進行關(guān)聯(lián)，從特殊到一般，加深情境印象，鞏固知識結(jié)構(gòu).

4 總結(jié)與反思

誘導(dǎo)公式揭示了終邊具有某種關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.各版本教材使學生基于單位圓從角終邊的對稱性的角度深刻理解并運用誘導(dǎo)公式，體會對稱的作用.誘導(dǎo)公式的證明體現(xiàn)了數(shù)學中的簡化思想、化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想.如何合理有效地將不同版本教材的特點運用于教學活動中，使課堂效率最大化，還有待研究.