■凌健

筆者最近開設(shè)了一節(jié)“二次根式復(fù)習(xí)”市級(jí)公開課。在準(zhǔn)備這節(jié)課的過(guò)程中，筆者依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）理念，圍繞大觀念引領(lǐng)的單元整體教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，有效探索了吳鍔教授提出的“基于情境、問題導(dǎo)向、深度理解、高度參與、開放多元”教學(xué)模式。單元復(fù)習(xí)課一般有兩種設(shè)計(jì)方式：一種是廣鋪式，對(duì)所有知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理；另一種是深挖式，圍繞某一知識(shí)點(diǎn)充分挖掘其價(jià)值展開復(fù)習(xí)。本課是一節(jié)廣鋪式的單元復(fù)習(xí)課，下面結(jié)合課例加以說(shuō)明。

一、憑借問題，梳理要點(diǎn)，激活經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建知識(shí)體系

問題1：為美化環(huán)境，某小區(qū)決定在小區(qū)配電房前面的長(zhǎng)方形空地上都種上草皮。已知配電房的使用面積為54平方米。如果配電房是正方形的，那么配電房的每條邊長(zhǎng)為54米，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形空地長(zhǎng)為54米。如果空地的寬為6米，鋪滿一塊長(zhǎng)方形空地需要購(gòu)買多少平方米的草皮？

設(shè)計(jì)意圖：基于生活情境設(shè)計(jì)問題，引出二次根式課題和概念。連同后續(xù)問題，以問題串的形式，讓學(xué)生回顧二次根式研究?jī)?nèi)容，包括概念、性質(zhì)、運(yùn)算、運(yùn)用，并通過(guò)追問，引導(dǎo)學(xué)生回憶二次根式乘法法則和最簡(jiǎn)二次根式的概念。

筆者隨后給出相應(yīng)的題組，以幫助學(xué)生及時(shí)鞏固知識(shí)。

題組1：（1）下列各式中，（ ）是二次根式。

（2）求使x-2有意義的x的取值范圍。

（3）若a＜1，請(qǐng)化簡(jiǎn)

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置（1）（2）（3）的目的是讓學(xué)生深度理解二次根式的雙重非負(fù)性。被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，才能確定它是二次根式。算術(shù)平方根本身也是非負(fù)數(shù)，即題目（4）是讓學(xué)生鞏固乘法法則，在計(jì)算時(shí)做到明算理、懂算法。學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算，將結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式的過(guò)程，可以深化對(duì)最簡(jiǎn)二次根式概念的理解。

問題2：草坪的長(zhǎng)是寬的多少倍呢？

題組2：（5）計(jì)算

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2是讓學(xué)生回憶二次根式除法法則，再通過(guò)題（5）及時(shí)鞏固。類比有理數(shù)的除法法則，讓學(xué)生體會(huì)法則在二次根式中仍然適用，強(qiáng)化“結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式”。

問題3：為了保護(hù)草坪，就得用籬笆把四周圍起來(lái)。要做到合理用料，請(qǐng)計(jì)算長(zhǎng)方形空地的周長(zhǎng)是多少米？長(zhǎng)比寬長(zhǎng)多少米？

題組3：（6）化簡(jiǎn)

（7）下列是同類二次根式的是（ ）。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3讓學(xué)生回憶二次根式的加法法則、減法法則并通過(guò)題組3及時(shí)鞏固。通過(guò)題（6）的①，學(xué)生可以體會(huì)化簡(jiǎn)二次根式實(shí)質(zhì)上就是把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)；通過(guò)題（6）的②，學(xué)生討論被開方數(shù)的正負(fù)性，進(jìn)一步感悟分類的數(shù)學(xué)思想。題（7）的C選項(xiàng)可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在這兩個(gè)二次根式成立的條件下，a、b都是非負(fù)數(shù)，從而歸納出“解題時(shí)一定要注意隱含條件”。

二、典型例析，訓(xùn)練思維，深度理解，感悟數(shù)學(xué)思想方法

例題的選擇必須要有針對(duì)性、典型性，難度適中，最好是針對(duì)學(xué)生在新課學(xué)習(xí)時(shí)掌握不到位的知識(shí)點(diǎn)，這樣才能突出重點(diǎn)、訓(xùn)練思維，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)不斷感悟數(shù)學(xué)思想方法，完善對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，做到深度理解。

例1：如果表示a、b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖1所示，那么化簡(jiǎn)結(jié)果等于（ ）。

圖1

A.-2bB.2bC.-2aD.2a

例2：已知且x為偶數(shù)，求的值。

三、綜合運(yùn)用，提升能力，升華理解，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新精神，就需要我們的課堂更加開放，設(shè)計(jì)開放性的問題，給學(xué)生獨(dú)立探究的空間和時(shí)間。只有這樣，才能讓學(xué)生的思維更有深度，課堂生成更加靈動(dòng)。

問題4：你能夠想到幾種分母有理化的情形？嘗試編一道分母有理化的題目。

題組4：（9）嘗試化簡(jiǎn)

（10）觀察下列各式及驗(yàn)證過(guò)程：

a.針對(duì)上述式①②③的規(guī)律，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粭l按以上規(guī)律變化的式子；

b.請(qǐng)寫出滿足上述規(guī)律的用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并加以驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4讓學(xué)生列舉分母有理化的情形，復(fù)習(xí)分母有理化的三種類型，為學(xué)生自主編題奠定基礎(chǔ)。學(xué)生基礎(chǔ)不同，編寫的題目難度也不同。教師可以讓各層次的學(xué)生展示編寫的題目，并追問分母有理化的結(jié)果。對(duì)于第（9）題，學(xué)生可以很自然地就完成該題的化簡(jiǎn)；對(duì)于題（10），筆者讓學(xué)生先自主探究，再小組合作探究，最后分小組進(jìn)行展示。

四、歸納小結(jié)，整體建構(gòu)，升華理解，形成知識(shí)的完整脈絡(luò)

筆者引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、思想和方法等方面對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，從而建構(gòu)本章的知識(shí)體系、思想體系和方法體系，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解二次根式。類比數(shù)的運(yùn)算來(lái)研究式的運(yùn)算，可以幫助學(xué)生感悟數(shù)式通性。回顧數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)歷程，即從數(shù)字到字母，再到整式、分式、二次根式，有利于學(xué)生感悟?qū)W習(xí)代數(shù)問題的一般路徑，從而形成代數(shù)問題的大觀念。板書設(shè)計(jì)（略）。

五、教學(xué)反思

1.基于情境，貫穿始終，建立二次根式的知識(shí)體系

新課標(biāo)指出，要強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)，注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境。教學(xué)情境一般包括三類，分別是生活情境、學(xué)科內(nèi)部情境和跨學(xué)科情境。本節(jié)課以學(xué)生熟悉的長(zhǎng)方形草坪作為情境，設(shè)計(jì)了一系列的問題，引出二次根式的概念、性質(zhì)、加減乘除和混合運(yùn)算等內(nèi)容，并通過(guò)相應(yīng)的題組及時(shí)鞏固；基于生活情境，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，梳理知識(shí)脈絡(luò)，幫助學(xué)生形成二次根式的知識(shí)體系。同時(shí)，情境的引入激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增加了學(xué)生的閱讀量，培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力。

2.問題導(dǎo)向，促進(jìn)思考，形成研究問題的方法和思想

新課標(biāo)還指出，要強(qiáng)化問題提出，重視設(shè)計(jì)合理問題。問題是數(shù)學(xué)的心臟。好的問題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生深度思考。本節(jié)課設(shè)計(jì)了一系列循序漸進(jìn)的問題，沿著“問題→對(duì)話（或追問）→生成→發(fā)展”這一注重課堂生成的有效途徑，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。整堂課以問題為引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生類比整式的運(yùn)算，探究二次根式的運(yùn)算，并對(duì)二次根式的研究方法進(jìn)行系統(tǒng)思考，對(duì)相關(guān)知識(shí)體系進(jìn)行全面理解，從而逐步形成研究二次根式的思想體系。

3.深度理解，活用變式，提高分析、解決問題的能力

同一個(gè)問題的變式教學(xué)，能讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)二次根式運(yùn)算的算理，并熟練運(yùn)用算法進(jìn)行計(jì)算。在進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，先分析題目結(jié)構(gòu)，再進(jìn)行運(yùn)算，可以培養(yǎng)學(xué)生從宏觀、中觀、微觀三個(gè)角度思考問題的習(xí)慣。本節(jié)課的兩個(gè)例題讓學(xué)生充分地感悟了類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)對(duì)于二次根式中“因式在非負(fù)條件下才能自由‘進(jìn)出’根號(hào)”這個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，學(xué)生也有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

4.深度參與，落實(shí)“三會(huì)”，彰顯學(xué)生主體地位

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要包括三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，因此，平時(shí)的數(shù)學(xué)章節(jié)課教學(xué)應(yīng)充分落實(shí)“三會(huì)”。本節(jié)課所選的題目，全部由學(xué)生自主完成并上臺(tái)講解，教師只做必要的引導(dǎo)和補(bǔ)充。學(xué)生自主經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)、概括歸納、遷移運(yùn)用等學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

5.開放多元，創(chuàng)新編題，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

新課標(biāo)指出，初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一是創(chuàng)新意識(shí)。創(chuàng)新意識(shí)主要指學(xué)生能從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題。本節(jié)課在拓展提升環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了自主編題這樣一個(gè)開放性、多元化的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，著力發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

總之，復(fù)習(xí)課要從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，從知識(shí)的系統(tǒng)性和整體性的角度進(jìn)行建構(gòu)，注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，這樣才能在教學(xué)的過(guò)程中讓學(xué)生“既見樹木，又見森林”，形成對(duì)知識(shí)的整體認(rèn)識(shí)，提煉大觀念，讓知識(shí)在課堂上自然地生成，讓學(xué)生的能力得到全面提升，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。