陳冠華, 楊馳航, 張晨, 張皓,*

(1. 中國科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心 太空應(yīng)用重點實驗室, 北京 100094; 2. 中國科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

地月空間是近地軌道與月球軌道之間的空間區(qū)域,擁有豐富的戰(zhàn)略資源。 近年來,地月空間逐漸受到關(guān)注。 2017 年,NASA 提出將在未來十年內(nèi)建立一個連接地月空間與深空的空間運輸網(wǎng)絡(luò)[1]。 對于深空中長期執(zhí)行的科學(xué)研究任務(wù),穩(wěn)定及近似穩(wěn)定的軌道,如遠(yuǎn)距離逆行軌道(distant retrograde orbit, DRO)、近直線暈軌道(near-rectilinear halo orbit, NRHO)及三角平動點軌道(triangular libration points orbits),是這類任務(wù)的潛在應(yīng)用軌道。 NASA 已經(jīng)提出了在圍繞月球的NRHO 軌道上部署深空門戶空間站的方案[2]。 在NASA 的小行星重定向任務(wù)(ARM)中,航天器與近地小行星交會并將其捕獲至地月系統(tǒng)DRO 上,如此小行星能夠長期維持軌道穩(wěn)定而不需要施加控制[3]。

DRO 是圓型限制性三體問題(circular restricted three-body problem, CR3BP)中的一類特殊周期軌道。 地月系統(tǒng)的DRO 位于月球公轉(zhuǎn)平面,繞月逆行,其運動范圍廣,有著高度穩(wěn)定性,對地球和月球都有良好的覆蓋性,因而是本文關(guān)注的重點。

過去數(shù)年,學(xué)者們對地月空間、日地系統(tǒng)及其他CR3BP 系統(tǒng)的DRO 軌道特性、軌道轉(zhuǎn)移和應(yīng)用方案進(jìn)行了一系列的研究。

在DRO 的軌道特性方面,目前學(xué)者的理論研究主要集中在軌道有界性、穩(wěn)定性、攝動力影響及延拓求解等方面。 對地月空間的DRO,Bezrouk等[4-5]研究了地月系統(tǒng)中攝動力對DRO 的影響,證明了大幅值DRO 的軌道穩(wěn)定性主要由太陽光壓影響,而小幅值DRO 的軌道穩(wěn)定性主要由月球固體潮所影響;彭超等[6]利用延拓求解DRO 共振軌道,并分析了其非開普勒特性與軌道穩(wěn)定性;吳小婧等[7]研究了DRO 在實際力學(xué)環(huán)境中的攝動,發(fā)現(xiàn)太陽引力、月球偏心率是主要的攝動因素,為DRO 的精確建模和標(biāo)稱軌道設(shè)計奠定了一定的理論基礎(chǔ)。 對火星系統(tǒng)的DRO,陳泓儒等[8]研究了在火衛(wèi)一附近如何設(shè)計具有期望穩(wěn)定特性和觀測特性的有界軌道,并驗證了穩(wěn)定性水平。

在DRO 的軌道轉(zhuǎn)移方面,目前學(xué)者的理論研究集中在DRO 與地球低軌道(low Earth orbit,LEO)、NRHO、深空軌道等軌道之間的低能耗轉(zhuǎn)移。 在地月空間中,Capdevila 等[9-10]利用脈沖機(jī)動實現(xiàn)從LEO 到DRO、從DRO 到周邊的周期軌道,以及DRO 與NRHO 之間的轉(zhuǎn)移,并將有代表性的解轉(zhuǎn)化到星歷模型,比較了任務(wù)成本;張瑞康等[11]研究了從DRO 向軌道傾角為0° ～90°的月球低軌道之間的轉(zhuǎn)移,對轉(zhuǎn)移路徑進(jìn)行了分類,并比較了脈沖成本和飛行時間;曾豪等[12]研究了NRHO 與DRO 的低能往返軌道轉(zhuǎn)移在月球探測中的應(yīng)用,結(jié)合天體借力飛行技術(shù)和混合優(yōu)化技術(shù)系統(tǒng)分析了關(guān)鍵參數(shù)的影響,給出了往返軌道設(shè)計初值的選擇策略。 在深空轉(zhuǎn)移方面,Cavallari等[13]研究了從地月系統(tǒng)DRO 到火星的低能耗轉(zhuǎn)移;Conte 和Spencer[14]設(shè)計了從LEO 出發(fā)進(jìn)入火星系統(tǒng)DRO 軌道的轉(zhuǎn)移方案,并探討了地月系統(tǒng)DRO 作為中轉(zhuǎn)站的可行性;Scott 和Spencer[15]計算了從LEO 到日地系統(tǒng)DRO 的轉(zhuǎn)移軌道族;Ocampo 和Rosborough[16]研究了使用脈沖和連續(xù)推力從近地停泊軌道轉(zhuǎn)移到日地系統(tǒng)DRO 的能量。

在DRO 的軌道應(yīng)用方面,對地月空間的DRO,徐明和徐世杰[17]提出在DRO 上放置中繼衛(wèi)星的概念;王文彬等[18]將DRO 用于深空自主導(dǎo)航,提出在DRO 衛(wèi)星與另一個衛(wèi)星之間進(jìn)行星間測距以確定絕對軌道狀態(tài),并給出了動態(tài)模型誤差和星載時鐘誤差下的導(dǎo)航性能評估。 對其他系統(tǒng)的DRO,Ocampo 和Rosborough[16]提出了在日地系統(tǒng)DRO 上部署太陽風(fēng)暴預(yù)警系統(tǒng)等應(yīng)用;在木星冰封衛(wèi)星任務(wù)中,木星系統(tǒng)DRO 為航天器在木衛(wèi)二歐羅巴周圍的逃逸和捕獲提供了瞬時穩(wěn)定的轉(zhuǎn)移路徑[19];在歐洲航天局的DePhine 任務(wù)中,火星系統(tǒng)DRO 被用作該項目中火衛(wèi)一與火衛(wèi)二基地的備選軌道之一[20-21]。

可以看出,盡管目前與DRO 的應(yīng)用相關(guān)的研究有很多,但對DRO 的軌道基礎(chǔ)特性研究仍待完善。 由于DRO 的穩(wěn)定性,長期的軌道保持所需的燃料成本較低,但其缺乏雙曲流形結(jié)構(gòu),進(jìn)出DRO 軌道附近區(qū)域的轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計會受到一定制約,并可能需要更高的燃料成本;另外,由于DRO 位于小天體繞大天體的公轉(zhuǎn)平面內(nèi),其應(yīng)用受到了該平面的諸多限制。 因此,對DRO 附近動力結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步探索,有助于深入了解該區(qū)域復(fù)雜的軌道特性和設(shè)計轉(zhuǎn)移軌道。 例如,由于分岔成三維的DRO 軌道族具有平面外法向振幅,可用于規(guī)避日食、保持和地球連續(xù)通信等,其應(yīng)用范圍更廣,而多周期DRO 的周邊可能存在流形結(jié)構(gòu),因此通過DRO 軌道族的分岔研究其附近的周期性結(jié)構(gòu),能為軌道轉(zhuǎn)移提供很大的設(shè)計便利。 為此,本文探討了地月系統(tǒng)DRO 軌道族的相關(guān)特性。 首先,給出了動力學(xué)模型、周期軌道和流形的計算方法、穩(wěn)定性理論相關(guān)的理論知識;然后,研究了DRO 軌道族的分岔、穩(wěn)定性及周邊的流形結(jié)構(gòu);最后,討論了不同分支平均軌道周期與能量的關(guān)系。

1 周期軌道與流形計算

1.1 圓型限制性三體問題

采用CR3BP 進(jìn)行建模。 在該近似模型中,地球P1與月球P2圍繞其公共質(zhì)心做圓周運動,航天器P3受地月2 個主天體引力的影響。 在圖1 所示的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中,原點O設(shè)在P1和P2的共同質(zhì)心,x軸沿P1指向P2,z軸與系統(tǒng)角動量方向平行,y軸由右手定則確定。 本文將其無量綱化處理:2 個主天體質(zhì)量m1+m2= 1,定義μ=m2/(m1+m2)為系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù),則通過計算可知:m1=1 -μ,m2=μ。P1和P2的位置坐標(biāo)分別為( -μ,0,0)和(1 -μ,0,0)。

圖1 圓型限制性三體問題Fig.1 Circular restricted three-body problem

在上述系統(tǒng)中,航天器P3的狀態(tài)矢量為x=[x,y,z,vx,vy,vz]T,其動力學(xué)方程可表示為[21]˙x=f(x)=

式中:r1= [(x+μ)2+y2+z2]1/2;r2= [(x+μ-1)2+y2+z2]1/2。

在天體力學(xué)中,定義系統(tǒng)能量的-2 倍為雅可比積分常數(shù)J,數(shù)學(xué)表示為[22]

1.2 周期軌道的微分修正與數(shù)值延拓

記方程(1)的解為xt=φ(x0,t), 表示從初始狀態(tài)x0運動t時間后的狀態(tài)。 則方程(1)的周期解需要滿足:

式中:T為軌道周期。 求解周期解實際上即為求解滿足式(3)的軌道初值x0與周期T。

一般采用龐加萊截面降低式(3)的維度,龐加萊截面是多維相空間中的一種廣義曲面,動力系統(tǒng)中連續(xù)的軌跡映射在龐加萊截面上表現(xiàn)為同性質(zhì)的離散的點[23-24]。 由于DRO 軌道族在旋轉(zhuǎn)系中關(guān)于x-z平面對稱,本文選取平面y=0 作為龐加萊截面。 需注意,在計算軌道周期T時,單周期軌道的周期T為穿越一次龐加萊平面的時間,而N-周期軌道的周期T為穿越N次龐加萊平面的時間。

對平面周期軌道的求解,在應(yīng)用龐加萊截面后,維度降低的迭代初值記為w= [x0,vy,0]T,對應(yīng)的周期軌道初值為x0= [x0,0,0,0,vy,0,0]T。此時,周期軌道需要滿足的式(3)改寫為

式(4)可以通過牛頓迭代法進(jìn)行求解。 在求出一個周期解之后,就可以進(jìn)行數(shù)值延拓,求解得到整個周期解族。 在延拓時,選擇合適的延拓參數(shù)(本文選擇軌道能量J),延拓初值可以由式(5)預(yù)測:

式中:k為周期軌道族中的軌道編號。

對三維周期軌道的求解,在應(yīng)用龐加萊截面后,維度降低的迭代初值記為w= [x0,z0,vy,0]T,對應(yīng)的周期軌道初值為x0= [x0,0,z0,0,vy,0,0]T。 此時,周期軌道需要滿足的式(3)改寫為

對式(6)的延拓求解時,選取參數(shù)為z。 延拓方程如下:

周期解求出之后,求解其變分方程就可以得到其單值矩陣M。M是該周期軌道一個軌道周期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,數(shù)學(xué)表示如下[25]:

滿足初始條件M(0) =I。

1.3 流形的計算

由單值矩陣M的特征值對應(yīng)的特征向量所張成的空間稱為該系統(tǒng)的不變流形。 在CR3BP中,周期軌道單值矩陣M的特征值集C具有如下形式[25]:

式中:λ1＜1 為系統(tǒng)的穩(wěn)定特征值,對應(yīng)的特征向量v1產(chǎn)生了穩(wěn)定流形;1/λ1＞1 為系統(tǒng)的不穩(wěn)定特征值,對應(yīng)的特征向量v2產(chǎn)生了不穩(wěn)定流形。由于穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形關(guān)于x-z平面對稱,在得到穩(wěn)定流形后通過翻轉(zhuǎn)即可得到不穩(wěn)定流形[22]。

記對應(yīng)穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的特征向量分別為vs和vu。 沿著vs方向給一個小擾動ε,得到穩(wěn)定流形的積分初值:

式中:xp為周期軌道的初值;在地月系統(tǒng)中一般取ε=50 km;“ ±”表示沿x軸正負(fù)方向穩(wěn)定流形的2 個分支。 對xs數(shù)值積分即可得到xp初值對應(yīng)穩(wěn)定流形上的2 條軌道。 對周期軌道均勻取若干個離散點,分別按照上述方法計算其軌道,則可以繪制出該周期軌道的流形結(jié)構(gòu)。

對于多周期軌道等幾何形狀較為復(fù)雜的軌道,直接繪制其流形會顯得雜亂,不利于后續(xù)分析。 因此,仍采用龐加萊截面的方式呈現(xiàn)流形,即定義一個龐加萊截面,記錄流形穿越該截面的坐標(biāo)。 一個周期軌道的流形將會在該截面上構(gòu)成一個或多個封閉的形狀。

2 穩(wěn)定性理論

衡量軌道穩(wěn)定性的指標(biāo)是穩(wěn)定性指數(shù),定義為

式中:λi為單值矩陣M的特征值,i=1,2,3。 若所有穩(wěn)定性指數(shù)vi= 1,則該軌道線性穩(wěn)定,并具有穩(wěn)定子空間;若任何一個穩(wěn)定性指數(shù)vi＞1,則軌道不穩(wěn)定,軌道存在穩(wěn)定及不穩(wěn)定流形[25]。

在CR3BP 下,非平凡(不為1)的特征值的特征方程有以下形式[26]:

式中:α與β可由單值矩陣M與周期T計算得出:

求解特征方程P(λ) =0 可得λi,從而可以判斷周期解的穩(wěn)定性。 實際上,可以通過直接觀察α和β的值而得到周期解穩(wěn)定性情況,而不必求解四次方程P(λ) =0。

穩(wěn)定性與α-β的幾何關(guān)系稱為Broucke 圖,如圖2 所示[26]。 Broucke 圖中有3 條關(guān)鍵曲線:β= -2α-2,β=2α-2,β=α2/4 +2。 這3 條曲線將α-β參數(shù)空間分為若干區(qū)域,每一個區(qū)域?qū)?yīng)了不同的穩(wěn)定性。 中心區(qū)域內(nèi)部所代表的特征值都在復(fù)平面單位圓上,表示軌道穩(wěn)定,而其余區(qū)域均有不穩(wěn)定流形。 同一周期軌道族在Broucke圖中體現(xiàn)為一條連續(xù)曲線,該曲線與上述關(guān)鍵曲線相交的地方就會產(chǎn)生分岔。 分岔是動力系統(tǒng)中一種常見的現(xiàn)象,會出現(xiàn)穩(wěn)定性變化或/和產(chǎn)生新的軌道族分支。 本文主要考慮了切分岔、倍周期分岔、二次Hopf 分岔與修正二次Hopf 分岔,如表1所示[25-28]。

圖2 穩(wěn)定性圖[26]Fig.2 Stability diagram[26]

表1 分岔類型[25-28]Table 1 Bifurcation type[25-28]

3 DRO 軌道族的分岔及延拓

3.1 DRO 軌道族的穩(wěn)定性與分岔

研究的DRO 軌道族的能量范圍為2≤J≤3.2,涵蓋了地月之間大部分區(qū)域,軌道形狀如圖3 所示。 在這個能量范圍內(nèi)繪制DRO 軌道族的穩(wěn)定性指數(shù)隨軌道能量的變化,如圖4 所示。

圖3 地月空間DROFig.3 DRO in Earth-Moon system

圖4 DRO 穩(wěn)定性指數(shù)Fig.4 Stability indices of DRO

觀察可知,當(dāng)2.365≤J≤3.2 時,所有穩(wěn)定性指數(shù)vi=1,表示該范圍的DRO 軌道均線性穩(wěn)定。而當(dāng)J＜2.365 時,穩(wěn)定性指數(shù)開始偏離,并始終略大于1,此時對應(yīng)的平面DRO 軌道略不穩(wěn)定。

為了更深入理解DRO 軌道族的特征結(jié)構(gòu)演化,在Broucke 穩(wěn)定性圖上繪制了其特征參數(shù)α和β的變化,如圖5 所示。

圖5 DRO 軌道族的Broucke 穩(wěn)定性圖Fig.5 Broucke stability diagram of DRO family

觀察可知,DRO 軌道族主要發(fā)生的分岔類型為切分岔和倍周期分岔。 分岔方程分別使用不同顏色的虛線標(biāo)注,DRO 在與分岔方程的相交點處發(fā)生分岔,用與分岔方程相同顏色的“*”標(biāo)記,此時產(chǎn)生對應(yīng)分岔類型的軌道族。 可以看到,J＞2.355 時的交叉點均發(fā)生倍周期分岔;而在J＜2.355時,DRO 軌道族的穩(wěn)定性曲線與切分岔軌跡線相交并過渡到不穩(wěn)定區(qū)域,平面DRO 不再穩(wěn)定。 這時產(chǎn)生了新的軌道族,即三維的DRO。

分岔到三維的DRO 分支的幾何特征如圖6 所示。 三維DRO 軌道族均具有z向的振幅,其中某些軌道能夠避開月球的遮擋,與地球進(jìn)行連續(xù)通信。

圖6 三維DROFig.6 3D DRO

三維DRO 軌道族分支的穩(wěn)定性指數(shù)如圖7所示。 所有穩(wěn)定性指數(shù)vi=1,軌道均線性穩(wěn)定。這是因為在發(fā)生切分岔時,單值矩陣的2 個非平凡特征值趨于統(tǒng)一,此時λ1=1/λ1= +1,軌道穩(wěn)定性從平面DRO 過渡到了三維DRO 分支上[29-30]。

圖7 三維DRO 的穩(wěn)定性指數(shù)Fig.7 Stability indices of 3D DRO

3.2 DRO 周邊多周期軌道族的延拓與穩(wěn)定性

在J＞2.355 的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),從Broucke 圖的分岔點處向外延拓求解其余周期軌道分支,得到如下一系列多周期軌道族。

1) 三周期平面DRO

在Broucke 圖上,DRO 與3 倍周期分岔方程(見圖5 中深藍(lán)色虛線)分別在J= 2. 85、J=2.955兩處相交。 三周期平面DRO(P3DRO)在整個2 ≤J≤3. 2 范圍內(nèi)都存在,均為平面軌道。圖8為P3DRO 的延拓結(jié)果。

圖8 P3DROFig.8 P3DRO

圖9 分別展示了該軌道族在不同延拓階段下的幾何形狀,對應(yīng)了不同的軌道能量。 可見,隨著J的數(shù)值從2 開始逐漸增大,P3DRO 的輪廓逐漸變小縮窄,軌道之間的間隔也不斷縮小;直到J=2. 85 處,P3DRO 與DRO 重合。 當(dāng)J開始偏離2.85時,P3DRO 立即與DRO 分離。 隨著J的增大,一開始其內(nèi)側(cè)軌道相對外側(cè)軌道的縮小速度更大,隨后外側(cè)軌道相對縮小速度加快,最終在J=2.955 處P3DRO 再次與DRO 重合。 當(dāng)J偏離2.955 后P3DRO 又分離演變成另一種形狀。 可以看出,同一軌道分支在發(fā)生分岔前后的幾何形狀差異很大,可以根據(jù)幾何形狀應(yīng)用于多種任務(wù)場景。

圖9 P3DRO 的幾何特性Fig.9 Geometric properties of P3DRO

圖10 展示了P3DRO 的穩(wěn)定性指數(shù)。 可以發(fā)現(xiàn),除2 處分岔點之外,其余軌道均有vi＞1,軌道均非常不穩(wěn)定。

圖10 P3DRO 的穩(wěn)定性指數(shù)Fig.10 Stability indices of P3DRO

2) 四周期平面DRO

在Broucke 圖上,DRO 與4 倍周期分岔方程(見圖5 中紅色虛線)分別在J=2.72、J=2.995兩處相交,沿J≤2. 72 及J≥2. 995 方向延拓出2 個平面分支。 圖11 和圖12 顯示了四周期平面DRO(P4DRO)2 個分支的延拓結(jié)果。

圖11 P4DRO 分支1 的延拓及其穩(wěn)定性指數(shù)Fig.11 Stability indices of P4DRO-1

圖12 P4DRO 分支2 的延拓及其穩(wěn)定性指數(shù)Fig.12 Stability indices of P4DRO-2

可以看出,P4DRO 的前一個分支在J≥2.43的范圍內(nèi)線性穩(wěn)定,而后一個分支均不穩(wěn)定。

3) 五周期平面與三維DRO

在Broucke 圖上,DRO 與5 倍周期分岔方程(見圖5 中黑色虛線)分別在J=2. 45、J=2. 9、J=2.99、J=3.025 四處相交,發(fā)生了4 次分岔。其中,在J≤2.45、J≥3.025 兩處延拓出2 個平面分支,而在J≤2.9、J≥2.99 兩處延拓出2 個三維分支。 圖13 和圖14 展示了五周期平面與三維DRO(P5DRO)的2 個平面分支。 圖15 和圖16 則展示了三維P5DRO。

圖13 P5DRO 平面分支1 的延拓及其穩(wěn)定性指數(shù)Fig.13 Stability indices of 2D-P5DRO-1

圖14 P5DRO 平面分支2 的延拓及其穩(wěn)定性指數(shù)Fig.14 Stability indices of 2D-P5DRO-2

圖15 P5DRO 三維分支1 的延拓及其穩(wěn)定性指數(shù)Fig.15 Stability indices of P5DRO-3D-1

圖16 P5DRO 三維分支2 的延拓及其穩(wěn)定性指數(shù)Fig.16 Stability indices of P5DRO-3D-2

P5DRO 的2 個平面分支均不穩(wěn)定。 對三維分支而言,能量在J=2.9 附近的P5DRO 分支均線性穩(wěn)定,而后一個三維P5DRO 分支在J＞2.996處開始則表現(xiàn)不穩(wěn)定。 仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn),P5DRO 存在同一能量對應(yīng)超過3 個穩(wěn)定性指數(shù)的現(xiàn)象,這是因為在P5DRO 的分支中,可能存在同一能量下對應(yīng)多個軌道的情況,如圖17 所示。此時需要根據(jù)延拓情況更改延拓參數(shù)的選擇。

圖17 同一能量對應(yīng)多個P5DROFig.17 Different P5DRO with same Jacobi energy

3.3 多周期軌道族的流形

對于3.2 節(jié)得到的軌道分支,可以看到不同軌道分支的最大穩(wěn)定性指數(shù)范圍各異,除了P3DRO 的最大穩(wěn)定性指數(shù)涵蓋了[100,103]區(qū)間范圍以外,其余軌道分支穩(wěn)定性指數(shù)大都有vmax＜10。 為了更直觀理解穩(wěn)定性指數(shù)大小對軌道流形的影響,分別選取了最大穩(wěn)定性指數(shù)為12.319 9、22.711 7、61.241 4、129.665 6 的多個P3DRO 進(jìn)行對比,繪制2 個軌道周期時間內(nèi)的穩(wěn)定流形,如圖18 所示;以及最大穩(wěn)定性指數(shù)為6.634 4 的三維P5DRO 在3 個周期時間內(nèi)的軌道穩(wěn)定流形,如圖19 所示。 其中,黃色和綠色分別表示穩(wěn)定流形沿正負(fù)方向的2 個分支。 觀察可知,當(dāng)最大穩(wěn)定性指數(shù)vmax＜10 時,其軌道流形并不明顯。 在之前各周期軌道的延拓分支中,三維DRO 及三維P5DRO 的其中一個分支均線性穩(wěn)定,其余軌道分支穩(wěn)定性指數(shù)大都處于近似穩(wěn)定或略微不穩(wěn)定的狀態(tài)。 因此在設(shè)計轉(zhuǎn)移軌道時,可主要利用P3DRO 周圍的流形。

圖18 不同穩(wěn)定性指數(shù)下的穩(wěn)定流形Fig.18 Manifold in different stability indices

圖19 不同穩(wěn)定性指數(shù)下的穩(wěn)定流形(J =3.003 5,vmax =6.634 4)Fig.19 Manifold in different stability indices(J =3.003 5,vmax =6.634 4)

為了在設(shè)計轉(zhuǎn)移軌道時能更方便地利用流形,選取了vmax=55.495 2 的二維P3DRO 和vmax=6.634 4 的三維P5DRO,在龐加萊截面分別繪制了穩(wěn)定流形穿越的坐標(biāo),如圖20 和圖21 所示。對平面軌道,選取y=0 作為截面,繪圖坐標(biāo)分別為x和vx;對于三維軌道,選取x=1 -μ作為截面,繪圖坐標(biāo)分別考慮為y-z-vx和y-z-vy。 其中,藍(lán)色和灰色分別表示積分3、12 個軌道周期內(nèi)的流形映射在截面上的點,紅色點表示周期軌道本身。從這些區(qū)域的點中讀取狀態(tài)信息,可選取合適的值進(jìn)行轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計。

圖20 y =0 截面處二維P3DRO 的穩(wěn)定流形(J =2.58,vmax =55.495 2)Fig.20 Manifold section of 2D P3DRO in y =0 section(J =2.58,vmax =55.495 2)

圖21 x =1 -μ 截面處三維P5DRO 的穩(wěn)定流形(J =3.003 5,vmax =6.634 4)Fig.21 Manifold section of 3D P5DRO in x =1 -μ section(J =3.003 5,vmax =6.634 4)

3.4 分岔結(jié)構(gòu)與軌道周期

將DRO 軌道族發(fā)生分岔后的延拓結(jié)果繪制成如圖22 所示的能量-狀態(tài)(J-x-vy)關(guān)系圖,可以更清晰地展示DRO 軌道族的分岔結(jié)構(gòu)。

圖22 分岔圖Fig.22 Bifurcation chart

定義N-周期DRO 的平均周期為T/N,T為軌道完整重復(fù)一次的軌道周期。 圖23 繪制了不同周期軌道族的能量與平均周期關(guān)系,圖24為放大顯示的P5DRO 四個分支的能量與平均周期關(guān)系。

圖23 能量-周期關(guān)系Fig.23 Relationship between energy and period

由圖23 可知,不同周期軌道的平均周期T/N均隨J的增加而單調(diào)下降。 其中,分岔到三維的DRO 分支與平面DRO 的平均周期相同。 P3DRO 的 中 間 分 支, 即 在2. 85 ≤J≤2.955 處, 其 平 均 周 期 與 DRO 相 同。 三 維P5 DRO 與平面P5DRO 的能量-周期關(guān)系放大后如圖24 所示,存在同一能量對應(yīng)多個軌道周期的情況。 二維平面的倍周期分岔軌道的平均周期均在P3 DRO 與DRO 的周期范圍之間。 研究周期軌道族的平均周期T/N,可以為一些空間任務(wù)提供選擇初始參數(shù)的參考依據(jù),如對在DRO 的多個軌道族上進(jìn)行衛(wèi)星編隊進(jìn)行周期匹配等。

圖24 P5DRO 的能量-周期關(guān)系放大圖Fig.24 Relationship between energy and period of P5DRO and its local magnification

4 結(jié) 論

1) DRO 軌道族主要發(fā)生切分岔和倍周期分岔,其中切分岔會改變軌道穩(wěn)定性,倍周期分岔的穩(wěn)定性則不變。 分岔后的不同分支之間幾何形狀差異大。

2) P3DRO 的穩(wěn)定性指數(shù)范圍最大,流形結(jié)構(gòu)明顯,其余軌道分支則線性穩(wěn)定或近似穩(wěn)定。

3) DRO 軌道族的平均周期T/N隨著能量值J升高而單調(diào)下降。 其中分岔到三維的DRO 分支與平面DRO 的周期相同,P5DRO 存在同一能量對應(yīng)多個軌道周期的情況,平面倍周期分岔軌道的平均周期介于DRO 與P3DRO 之間。