模糊擬度量空間中的一種序關(guān)系及其在最優(yōu)化問題中的應用

唐 肖，吳健榮

(蘇州科技大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215009)

Menger[1]首次提出概率度量空間的定義，利用分布函數(shù)來刻畫空間中兩點間的距離。然而，許多情況下，測量兩點間距離的不確定性不一定是由隨機性引起的。1975年，Kramosil等[2]將兩點之間的距離表示成一個模糊集，提出了模糊度量的概念，并以此建立了模糊度量空間(通常被稱為KM模糊度量空間)的基本框架。1994年，George等[3]改進了模糊度量并以此建立了GV模糊度量空間。

2004年，Gregori等[4]去掉了GV模糊度量定義中的對稱性，提出了模糊擬度量的概念，并且證明了每一個擬度量都可以誘導生成一個模糊擬度量，每一個模糊擬度量空間都可以擬度量化。2005年，Gregori等[5]利用柯西序列研究了模糊擬度量空間的完備性和完備化問題。隨后，他們研究了模糊擬度量空間的雙完備化問題[6]，給出了可雙完備化的充要條件。2010年，Rodriguez-Lopez等[7]研究了Hausdorff模糊擬度量的性質(zhì)及應用。2011年，Castro-Company等[8]在雙拓撲空間框架下，證明了每個模糊擬度量空間在等距同構(gòu)意義下都有唯一的雙完備化空間。隨后文獻[9]研究了預序完備的模糊擬度量空間上一類廣義壓縮的不動點定理以及在算法中的應用。2018年，Sánchez等[10]進一步研究了模糊擬偽度量的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在擬度量空間中，可以自然地誘導出一個偏序關(guān)系[11]。但在模糊擬度量空間中，相應的問題還沒有得到有效開展。受此啟發(fā)，本文在模糊擬度量空間中引入一種偏序關(guān)系，對其性質(zhì)進行比較深入的研究，并以此為工具，討論模糊擬度量空間上的優(yōu)化問題。

1 預備知識

本文中，X是一非空集合，?表示空集，N表示自然數(shù)集。

定義1[12]稱二元算子*：[0,1]×[0,1]→[0,1]為連續(xù)t-模，如果：

1)*滿足結(jié)合律和交換律；

2)*是連續(xù)的；

3)a*1=a,?a∈[0,1];

4)當a≤c且b≤d(a,b,c,d∈[0,1])時，a*b≤c*d。

引理1[13]設算子*：[0,1]×[0,1]→[0,1]是連續(xù)t-模，

1)若r1>r2，則存在r3∈(0,1)，使得r1*r3>r2,其中r1,r2∈(0,1);

2)若r4∈(0,1)，則存在r5∈(r4,1)，使得r5*r5>r4。

定義2[3]設X是一非空集合，*是連續(xù)t-模，如果映射M：X2×(0,∞)→(0,1]滿足以下條件：?x,y,z∈X,

MQ1)?t>0,M(x,x,t)=1;

MQ2)?t>0,M(x,y,t)=M(y,x,t)=1?x=y;

MQ3)?s,t>0,M(x,y,t)*M(y,z,s)≤M(x,z,t+s);

MQ4)M(x,y,·):(0,∞)→(0,1]是連續(xù)的；

則稱(M,*)為X上的一個GV模糊擬度量，稱(X，M，*)為GV模糊擬度量空間。

以下除非特別指明，所稱模糊擬度量(空間)均指GV模糊擬度量(空間)。

若模糊擬度量M滿足對稱性，即?x,y∈X,?t>0，都有M(x,y,t)=M(y,x,t)，則稱其為模糊度量，稱(X，M，*)為模糊度量空間。

引理2[3]?x,y∈X,M(x,y,·)是遞增的。

定義3[3]設(X,M,*)是一個模糊擬度量空間，x∈X,r∈(0,1),t>0，分別稱

BM(x,r,t)={y∈X|M(x,y,t)>1-r},

(1)

BM[x,r,t]={y∈Y|M(x,y,t)≥1-r}

(2)

為X的以x為中心、r為半徑的開球和閉球。

設A?X，若?x∈A，都存在t>0和r∈(0,1)，使得BM(x,r,t)?A，則稱A是開集。Gregori等[4]指出，(X，M，*)上開集的全體構(gòu)成X上一個拓撲，稱其為由模糊擬度量M誘導的拓撲，記為τM。

對于模糊擬度量空間(X,M,*)，令M-1(x,y,t)=M(y,x,t)，x,y∈X，顯然M-1也是模糊擬度量；令Ms(x,y,t)=min{M(x,y,t),M-1(x,y,t)},x,y∈X，則Ms是模糊度量，由Ms導出的拓撲記為τMs。

X中的子集A關(guān)于拓撲τM和τM-1的閉包分別記為cMA和cM-A。

定理1設(X,M,*)為模糊擬度量空間，則

1)拓撲τM是T0分離的；

2)拓撲τM是T1分離的充要條件是M滿足

?t>0,M(x,y,t)=1?x=y;

(3)

3)當M是模糊度量時，拓撲τM是T2分離的。

證明1)設x,y∈X,且x≠y。由MQ2)知，?t0>0，使得0

2)先證充分性。設x,y∈X，且x≠y。由(3)式知，?t1,t2>0，使得0

再證必要性。用反證法，假設τM是T1分離的，且?t>0，M(x,y,t)=1，但x≠y。由于τM是T1分離的，所以{y}關(guān)于τM是閉集，于是存在x的開鄰域BM(x,r0,t0)，使得BM(x,r0,t0)∩{y}=?，即y?BM(x,r0,t0)，亦即M(x,y,t0)≤1-r0，這與M(x,y,t)=1(?t>0)矛盾。

3)設x,y∈X,且x≠y,由MQ2)知，?t0>0，使得

0

(4)

由引理1，?(1-r0)*(1-r0)>m0。而BM(x,r0,t0/2)、BM(y,r0,t0/2)分別為x、y的開鄰域，但

BM(x,r0,t0/2)∩BM(y,r0,t0/2)=?。

(5)

事實上，若?z∈BM(x,r0,t0/2)∩BM(y,r0,t0/2)，則M(x,z,t0/2)>1-r0，M(y,z,t0/2)>1-r0，從而

M(x,y,t0)≥M(x,z,t0/2)*M(y,z,t0/2)≥

(1-r0)*(1-r0)>m0，

這與(4)式矛盾，所以(5)式成立。由此可見，拓撲τM是T2分離的。證畢。

注1滿足條件3)的模糊擬度量空間，稱為T1模糊擬度量空間。

2 模糊擬度量空間中的序關(guān)系

文獻[9]在KM模糊擬度量空間中引入了一種序關(guān)系，但對其性質(zhì)沒有作討論。類似地，本文在(GV)模糊擬度量空間中引入對應的序關(guān)系。

定義4設(X,M,*)是模糊擬度量空間，在其上定義一個關(guān)系“≤”如下：

x≤y當且僅當?t>0,都有

M(x,y,t)=1。

(6)

根據(jù)定義4容易得到以下結(jié)論。

定理2設(X，M，*)是模糊擬度量空間，則

1)“≤”滿足自反性、傳遞性和反對稱性，即“≤”是X上的一個偏序；

2)“≤”為相等關(guān)系當且僅當(X,M,*)為T1分離的模糊擬度量空間。

?y∈X，令

K(y)={x∈X:x≤y},

(7)

即x∈K(y)當且僅當x≤y。

定理3設(X,M,*)是模糊擬度量空間，y∈Y，則K(y)=cM{y}，從而K(y)關(guān)于拓撲τM是閉集。

M(x,y,t)≥M(x,xn,t/2)*M(xn,y,t/2)→1(n→∞)，

于是x∈K(y)。所以K(y)關(guān)于τM是閉集，由此可知cM{y}?K(y)。

反之，設x∈K(y)，則?t>0，有M(x,y,t)=1。于是，對x的任意一個鄰域BM(x,1/n,1/n)，總有y∈BM(x,1/n,1/n)，即{y}∩BM(x,1/n,1/n)≠?,于是x∈cM{y}。由x的任意性得到K(y)?cM{y}，從而K(y)=cM{y}。證畢。

設A為模糊擬度量空間(X,M,*)中的子集，記

↑A={y∈X:?x∈A,x≤y},

↓A={y∈X:?x∈A,y≤x}。

定理4設A為模糊擬度量空間(X，M，*)中的子集。

1)若A關(guān)于拓撲τM為開集，則A為上閉集，即↑A=A;

2)若A關(guān)于拓撲τM為閉集，則A為下閉集，即↓A=A。

證明1)任取y∈↑A，則?x∈A，使得x≤y。若A為開集，則存在x的開鄰域BM(x,r0,t0)，使得BM(x,r0,t0)?A。由于x≤y，所以M(x,y,t0)=1，從而y∈BM(x,r0,t0)?A。由y的任意性知↑A?A，于是↑A=A。

2)任取y∈↓A，則?x∈A，使得y∈↓{x}。由定理2，y∈cM{x}?cMA。若A為閉集，則y∈A。由y的任意性知↓A?A，于是↓A=A。證畢。

定理5設A為模糊擬度量空間(X，M，*)中的子集，則

↑A=∩{B∈τM:A?B}。

證明顯然“↑”為單調(diào)增的集值算子，因此由定理4的1)可得

↑A?∩{B∈τM:A?B}。

任取y?↑A，則?x∈A，都有xy,從而存在tx>0,使得0

∩{B∈τM:A?B}?↑A。

綜上所述，↑A=∩{B∈τM:A?B}。證畢。

M(x,y,t)≥M(x,xn,t/2)*M(xn,y,t/2)→1(n→∞)。

所以M(x,y,t)=1。從而x≤y。證畢。

證明?t>0，由xn≤zn≤yn得?n∈N,M(zn,yn,t/2)=1,M(xn,zn,t/2)=1。

M-1(zn,x,t)≥M(x,xn,t/2)*M(xn,zn,t/2)=

M(x,xn,t/2)，

M(zn,x,t)≥M(zn,yn,t/2)*M(yn,x,t/2)=M(yn,x,t/2)，

定理8設(X,M,*)是模糊擬度量空間，x,y∈X。若x≤y，則?t>0,?z∈X，總有M(x,z,t)≥M(y,z,t)。

證明?t>0，由x≤y得到M(x,y,t)=1，所以?s>t，總有

M(x,z,s)≥M(x,y,s-t)*M(y,z,t)=

M(y,z,t)。

由于映射M(x,y,·)連續(xù)，從而M(x,z,t)≥M(y,z,t)。證畢。

3 序關(guān)系在最優(yōu)化中的應用

先利用上節(jié)引入的序關(guān)系，給出模糊擬度量空間上集合的極小點和極大點的概念。

定義5設(X,M,*)是模糊擬度量空間，A?X。令

minA={a∈A:A∩K(a)={a}},

(8)

maxA={a∈A:A∩K-1(a)={a}}，

(9)

其中K-1(a)={x∈X:M(a,x,t)=1,?t>0}，則分別稱minA和maxA中的點為A的極小點和極大點。

定理9設(X，M，*)是模糊擬度量空間，A?X。a∈minA當且僅當

1)a∈A,

2)如果y∈A且y≤a，則y=a。

證明必要性。假定A?X，a∈minA。由(8)式得到a∈A且A∩K(a)={a}。如果y∈A且y≤a，則y∈A∩K(a),故y∈{a}，即y=a。

充分性。由條件1)知a∈A，從而A∩K(a)?{a}。由條件2)知,A∩K(a)?{a}。由minA的定義知,a∈minA。證畢。

設X是一個非空集合，(Y，M，*)、(Z，M′,*′)是模糊擬度量空間?？紤]如下帶約束條件的最優(yōu)化問題：

minf(x),g(x)≤a,x∈P。

(10)

其中：f:X→Y；g:X→Z；a∈Z；P?X。

令C=P∩{x∈X:g(x)≤a}，則上述問題(10)的解集即為minf(C)。由于向量最優(yōu)化問題、向量集值最優(yōu)化問題均可用模糊擬度量空間中最優(yōu)化問題來表述，所以問題(10)具有很大的一般性。

定義6設(X,M,*)是一個模糊擬度量空間，A?X，分別稱infA=min(cM-A)和supA=max(cMA)為A的下確界和上確界。

注2上述上、下確界概念不同于由偏序“≤”導出的上、下確界概念。

定義7設f:X→Y是拓撲空間X到模糊擬度量空間(Y，M，*)的映射，D(f)是f的定義域，x0∈D(f)?X。

1)如果?t>0,

則稱f在x0處上半連續(xù);

2)如果?t>0,

則稱f在x0處下半連續(xù)。

若f在集合C的任意一點處上半(下半)連續(xù)，則稱f在集合C上是上半(下半)連續(xù)的。

定理10設X是一個拓撲空間，C是X中的緊子集，(Y，M，*)是模糊擬度量空間，f:C→Y是上半連續(xù)映射。如果f在C上存在下確界，則

1)該下確界是可達的，即對于a∈inff(C)，存在x′使得f(x′)=a；

2)minf(C)≠?。

證明1)由假設,存在a∈inff(C)=min(cM-f(C))，于是

(cM-f(C))∩K(a)={a}。

(11)

及

f(x′)∈f(C)?cM-f(C)。

(12)

M(f(x′),a,t)≥M(f(x′),f(xni),t/2)*

M(f(xni),a,t/2)→1。

于是，M(f(x′),a,t)=1,即f(x′)∈K(a)。結(jié)合(11)、(12)式，可得f(x′)=a，這表明f在C上的下確界是可達的。

2)由上述證明過程可知,{a}=f(C)∩K(a)，從而f(x′)=a∈minf(C)，于是minf(C)≠?。證畢。

類似地，可以得到以下定理。

定理11設X是一個拓撲空間，C是X中的緊子集，(Y,M,*)是模糊擬度量空間，f:C→X是下半連續(xù)映射。如果f在C上存在上確界，則

1)該上確界是可達的；

2)maxf(C)≠?。