李 楠，叢 琳，陳重華，趙 迪，侯雨生，陳熙之

1. 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109； 2. 中國(guó)資源衛(wèi)星應(yīng)用中心，北京 100094

分布式合成孔徑雷達(dá)衛(wèi)星系統(tǒng)通過(guò)編隊(duì)方式形成多個(gè)干涉通道，成員衛(wèi)星無(wú)須物理聯(lián)系，可提供足夠長(zhǎng)且靈活可變的基線，并且復(fù)圖像在同一時(shí)刻獲得，從而保證了其良好的相關(guān)性。近年來(lái)，該技術(shù)已逐漸發(fā)展成為各航天大國(guó)的主流研究方向[1-6]。

衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)決定空間基線的長(zhǎng)度、指向及其變化情況，而基線矢量又對(duì)圖像的相關(guān)性起著決定性作用，并進(jìn)而影響干涉相位估計(jì)精度，是實(shí)現(xiàn)高精度測(cè)繪任務(wù)重要環(huán)節(jié)[7-10]。以德國(guó)TanDEM-X任務(wù)為例，該任務(wù)由TerraSAR-X和TanDEM-X兩顆衛(wèi)星組成，是經(jīng)過(guò)在軌驗(yàn)證并成功應(yīng)用的分布式InSAR衛(wèi)星系統(tǒng)典型代表，該系統(tǒng)為了獲取滿足2 m相對(duì)高程測(cè)量精度要求的DEM產(chǎn)品，從編隊(duì)衛(wèi)星的安全性出發(fā)先后設(shè)計(jì)了多組Helix繞飛構(gòu)形[8-10]。類似地，文獻(xiàn)[11]推導(dǎo)了被動(dòng)穩(wěn)定編隊(duì)飛行要素解析解，提出了一種適用于分布式InSAR基線約束的編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[12]分析了串行編隊(duì)、星下點(diǎn)圓形、空間圓形、干涉車輪和干涉鐘擺等典型編隊(duì)構(gòu)形相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系特性。文獻(xiàn)[13]以滿足基線約束的時(shí)間比作為優(yōu)化指標(biāo)，對(duì)編隊(duì)構(gòu)形進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，認(rèn)為雙星空間編隊(duì)是進(jìn)行分布式InSAR測(cè)高的理想構(gòu)形。

天繪二號(hào)(TH-2)衛(wèi)星作為我國(guó)第1代分布式InSAR衛(wèi)星系統(tǒng)，由A星和B星兩顆衛(wèi)星組成，并采用一箭雙星方式發(fā)射入軌形成編隊(duì)，正常工作模式下雙星編隊(duì)距離小于1 km。該編隊(duì)系統(tǒng)對(duì)于我國(guó)乃至全球DEM產(chǎn)品的自主獲取具有重要戰(zhàn)略意義。與現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法側(cè)重從穩(wěn)定性與基線對(duì)成像性能影響出發(fā)開展構(gòu)形優(yōu)化不同，在TH-2衛(wèi)星工程研制過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形不僅需要被動(dòng)穩(wěn)定性好、測(cè)繪基線長(zhǎng)度滿足要求，而且對(duì)于構(gòu)形干涉覆蓋區(qū)域、電磁兼容安全性，特別是受攝情況下編隊(duì)衛(wèi)星被動(dòng)防碰撞安全性都提出了苛刻要求[14-15]。為此，本文以e/i矢量表示的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程理論為基礎(chǔ)[16-19]，建立構(gòu)形設(shè)計(jì)工程約束的數(shù)學(xué)描述，以構(gòu)形被動(dòng)安全性最優(yōu)為目標(biāo)，采用啟發(fā)式算法開展符合多個(gè)工程約束條件下的編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

為了更好地描述相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)的空間幾何關(guān)系，這里引入e/i矢量描述方法，首先定義如下相對(duì)軌道根數(shù)Δo矢量[20]

(1)

式中，a為軌道半長(zhǎng)軸；e為偏心率；i為軌道傾角；Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)；ω為近地點(diǎn)幅角；u為平緯度幅角；下標(biāo)1表示主星絕對(duì)軌道六根數(shù)；下標(biāo)2表示輔星絕對(duì)軌道六根數(shù)；Δ表示相對(duì)軌道根數(shù)之差。同時(shí)，式(1)可以進(jìn)一步做如下定義

(2)

(3)

式中，δe和θ分別是Δe矢量的大小和相位；δi和ψ分別是Δi矢量的大小和相位。

輔星相對(duì)于主星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)雙星編隊(duì)坐標(biāo)系下輔星與主星的相對(duì)位置Δr=r2-r1來(lái)描述，Δr可以表示成

(4)

在編隊(duì)坐標(biāo)系下，相對(duì)位置與雙星之間相對(duì)軌道根數(shù)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，其轉(zhuǎn)換公式如下

(5)

考慮到Δa相比于a為小量(穩(wěn)定構(gòu)形情況下，Δa近似為0)，以分量形式展開可近似得到

(6)

令p=aδe，l=a(cotiΔiY+Δu)，s=aδi，同時(shí)利用三角公式可得

(7)

式(7)表明編隊(duì)衛(wèi)星之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以分解為垂直軌道面的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與軌道面內(nèi)的橢圓運(yùn)動(dòng)。在編隊(duì)坐標(biāo)系下XHOHYH平面內(nèi)橢圓的相位和大小由Δe矢量決定；l表明主星與橢圓的中心之間的偏移量。

2 編隊(duì)設(shè)計(jì)工程約束

衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形是影響天繪二號(hào)分布式InSAR系統(tǒng)DEM性能的關(guān)鍵因素?？紤]工程實(shí)踐，首先編隊(duì)構(gòu)形需要具備穩(wěn)定特性，即通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星系統(tǒng)在非球形等保守力攝動(dòng)下的構(gòu)形參數(shù)發(fā)散最小化，這不僅是干涉區(qū)域基線穩(wěn)定的有力保障，而且也是節(jié)省構(gòu)形保持燃料消耗，延長(zhǎng)衛(wèi)星使用壽命的關(guān)鍵因素；其次，要權(quán)衡測(cè)高精度與去相關(guān)效應(yīng)抑制能力，結(jié)合衛(wèi)星系統(tǒng)波位設(shè)計(jì)能力通過(guò)構(gòu)形設(shè)計(jì)來(lái)保證系統(tǒng)處于較好的基線長(zhǎng)度范圍，使得總的測(cè)高誤差滿足期望要求；第三，為了實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星系統(tǒng)全球框架下的高精度DEM獲取能力，需要設(shè)計(jì)編隊(duì)構(gòu)形以滿足全緯度范圍的基線約束；最后，為了保障衛(wèi)星系統(tǒng)在軌5 a壽命期內(nèi)的編隊(duì)運(yùn)行安全，構(gòu)形設(shè)計(jì)還要考慮電磁兼容安全性，特別是受空間攝動(dòng)影響下編隊(duì)衛(wèi)星被動(dòng)防碰撞安全性。

針對(duì)上述天繪二號(hào)編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)約束，結(jié)合雙星系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，建立如下設(shè)計(jì)約束的數(shù)學(xué)描述及優(yōu)化模型。

2.1 構(gòu)形穩(wěn)定性約束

僅考慮地球非球形引力攝動(dòng)J2作用下絕對(duì)軌道根數(shù)長(zhǎng)期變化有

(8)

參考文獻(xiàn)[21]的編隊(duì)構(gòu)形攝動(dòng)分析方法，將構(gòu)形參數(shù)p、s、θ、ψ、l對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并將式(1)—式(3)與式(8)代入化簡(jiǎn)可得

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中

(14)

(15)

由此可知，采用等傾角編隊(duì)設(shè)計(jì)原則，相對(duì)編隊(duì)構(gòu)形每天僅有偏心率矢量的固定旋轉(zhuǎn)，可保證構(gòu)形J2攝動(dòng)下的穩(wěn)定性。

2.2 干涉基線長(zhǎng)度約束

根據(jù)雷達(dá)干涉成像原理，當(dāng)接收天線和目標(biāo)點(diǎn)不在同一距離向平面內(nèi)時(shí)，成像處理中可經(jīng)方位向聚焦壓縮到距離向平面上，這等同于經(jīng)典的正側(cè)視情形。根據(jù)測(cè)量的需要，將空間基線沿航跡和切航跡兩個(gè)方向上分解為水平基線和垂直基線[22](或視線方向的垂直有效基線)。

(16)

根據(jù)測(cè)量相位差的不確定性與測(cè)高誤差關(guān)系式可知：一方面，要得到最好的測(cè)高精度就應(yīng)當(dāng)使相位誤差、波長(zhǎng)和斜距取最小值，即基線長(zhǎng)度最大；另一方面，基線越長(zhǎng)則去相關(guān)效應(yīng)越嚴(yán)重，當(dāng)達(dá)到臨界基線時(shí)，兩個(gè)信號(hào)不再相關(guān)，有效信噪比為零。因此，存在一個(gè)較好的基線長(zhǎng)度范圍使總的測(cè)高誤差滿足期望要求[23]，即

(17)

式中，B1為沿航跡基線B‖的上界，通常根據(jù)圖像相干性要求確定具體數(shù)值；B2、B3分別為垂直有效基線Beffect的約束邊界，通常需要綜合波位設(shè)計(jì)和地物特征確定。

圖1 編隊(duì)雙星基線關(guān)系Fig.1 Baseline relationship of the formation

2.3 干涉覆蓋區(qū)域約束

主星與繞飛星在編隊(duì)飛行過(guò)程中相對(duì)位置不斷變化，導(dǎo)致衛(wèi)星間的沿航跡基線和垂直有效基線也隨時(shí)間和星下點(diǎn)緯度相應(yīng)變化。若基線長(zhǎng)度在可成像的基線長(zhǎng)度范圍內(nèi)，則可被成像處理接收；否則，將會(huì)給接收信號(hào)的圖像處理帶來(lái)困難。故而，編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)需要考慮基線滿足前提下的目標(biāo)覆蓋區(qū)域能力，其中基線符合性可按式(17)計(jì)算判斷，基線滿足時(shí)衛(wèi)星緯度可利用衛(wèi)星實(shí)時(shí)軌道根數(shù)，由式(18)計(jì)算獲得

(18)

式中，L為衛(wèi)星實(shí)時(shí)緯度；L1、L2分別為干涉覆蓋區(qū)域邊界，具體根據(jù)干涉需求確定。

2.4 電磁兼容安全約束

衛(wèi)星編隊(duì)在軌運(yùn)行過(guò)程中，通常采取一發(fā)雙收工作模式[24]，即由兩顆衛(wèi)星中的一顆衛(wèi)星對(duì)目標(biāo)區(qū)域發(fā)射雷達(dá)波束，由編隊(duì)中的兩顆衛(wèi)星同時(shí)接收雷達(dá)反射波。為防止另一顆衛(wèi)星在雷達(dá)波照射下不能正常工作，要求編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)過(guò)程中能夠避免這種情形發(fā)生，即星間電磁兼容約束

0≤φ

(19)

式中，φ為A星與B星質(zhì)心連線矢量在編隊(duì)法向平面內(nèi)投影與法向坐標(biāo)軸夾角；A1、A2、A3、A4為規(guī)避區(qū)域邊界角度，且滿足關(guān)系0≤A1≤A2≤A3≤A4≤2π，通常根據(jù)載荷波位設(shè)計(jì)確定。雙星編隊(duì)法向平面坐標(biāo)系、繞飛規(guī)避區(qū)及相關(guān)角度示意如圖2所示。

圖2 編隊(duì)雙星互照避免區(qū)Fig.2 Prohibited range of formation according to the EMC constrains

2.5 被動(dòng)防撞安全約束

在空間攝動(dòng)力(主要為大氣阻力)因素影響下，編隊(duì)構(gòu)形y向(沿航跡方向)最不穩(wěn)定，容易發(fā)生漂移[25]。因此，為了確保編隊(duì)構(gòu)形具有足夠的安全性，就需要構(gòu)形設(shè)計(jì)結(jié)果能夠適應(yīng)y向漂移而不發(fā)生碰撞，即被動(dòng)防撞安全約束條件

(20)

式中，dxoz為雙星質(zhì)心距離在編隊(duì)法向平面內(nèi)的投影長(zhǎng)度；dsafe為安全防碰撞距離，應(yīng)大于編隊(duì)雙星構(gòu)型包絡(luò)，并考慮一定余量。

3 編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)方法

工程實(shí)際中，考慮到雙星編隊(duì)碰撞風(fēng)險(xiǎn)為在軌運(yùn)行最大隱患，應(yīng)優(yōu)先保障，故而以被動(dòng)安全距離最大化為構(gòu)形優(yōu)化目標(biāo)。進(jìn)一步綜合上述多個(gè)工程化約束分析，可將編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)劃歸為如下的多約束非線性優(yōu)化問(wèn)題

(21)

為了降低優(yōu)化問(wèn)題求解困難，采取理論分析與優(yōu)化算法相結(jié)合的設(shè)計(jì)思路：首先，從構(gòu)形在軌受空間擾動(dòng)力影響，存在構(gòu)形發(fā)散的現(xiàn)象出發(fā)，通過(guò)建立空間攝動(dòng)力主部受攝相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并有針對(duì)性地開展受攝發(fā)散機(jī)理研究，給出等傾角的穩(wěn)定構(gòu)形設(shè)計(jì)原則，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)參數(shù)目標(biāo)；其次，以滿足工程設(shè)計(jì)約束為前提，以編隊(duì)衛(wèi)星被動(dòng)安全性最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)，利用收斂速度較快的啟發(fā)式多目標(biāo)優(yōu)化算法[26]求解系統(tǒng)綜合效能最優(yōu)構(gòu)形參數(shù)，完成InSAR衛(wèi)星系統(tǒng)穩(wěn)定構(gòu)形設(shè)計(jì)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)將采用本文提出的編隊(duì)設(shè)計(jì)方法開展仿真試驗(yàn)，對(duì)構(gòu)形工程約束符合性進(jìn)行驗(yàn)證，并結(jié)合TH-2在軌飛行情況進(jìn)行方法有效性說(shuō)明。

軌道初始條件及工程約束樣例見(jiàn)表1。

表1 仿真初始條件

針對(duì)表1所述的多個(gè)工程約束條件，結(jié)合第3節(jié)所述的方法開展構(gòu)形優(yōu)化設(shè)計(jì)。具體來(lái)說(shuō)，為了降低多約束非線性優(yōu)化問(wèn)題的未知數(shù)求解緯度，首先進(jìn)行設(shè)計(jì)參數(shù)簡(jiǎn)化：考慮到構(gòu)形穩(wěn)定性約束要求，通過(guò)理論分析確定編隊(duì)構(gòu)形等傾角的設(shè)計(jì)原則，即構(gòu)形參數(shù)中ψ=90°；其次，考慮到編隊(duì)雙星面質(zhì)比偏差與控制殘差會(huì)造成星間相對(duì)距離漂移，故而不失一般性地采用與TH-2系統(tǒng)類似的雙星空間繞飛橢圓構(gòu)形，主星置于繞飛中心，即構(gòu)形參數(shù)中l(wèi)=0 m。在此基礎(chǔ)上，以安全距離最大化為目標(biāo)對(duì)式(21)描述的優(yōu)化模型進(jìn)行求解，確定剩余待求參數(shù)。最終的尋優(yōu)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 構(gòu)形尋優(yōu)結(jié)果

針對(duì)表2中的編隊(duì)構(gòu)形尋優(yōu)結(jié)果，進(jìn)行工程約束符合性驗(yàn)證。

(1) 由編隊(duì)構(gòu)形標(biāo)稱軌跡(圖3)與J2受攝一天軌跡(圖4)對(duì)比可見(jiàn)，采用本文方法設(shè)計(jì)的構(gòu)形大小無(wú)改變，僅空間指向發(fā)生定量旋轉(zhuǎn)，其原因是偏心率矢量相位角-3.48°/d自然變化導(dǎo)致的，該影響可通過(guò)定周期構(gòu)形保持得以校正，故而編隊(duì)構(gòu)形滿足穩(wěn)定性約束。

圖3 標(biāo)稱編隊(duì)構(gòu)形軌跡 Fig.3 Trajectory of nominal formation configura-tion

圖4 J2攝動(dòng)一天影響下編隊(duì)構(gòu)形軌跡Fig.4 Trajectory of formation configuration under J2 perturbaion a day

(2) 由升軌(圖5)、降軌(圖6)干涉有效基線與沿航跡基線變化可見(jiàn)，設(shè)計(jì)構(gòu)形滿足基線約束。

(3) 由升軌(圖5)、降軌(圖6)基線與可測(cè)緯度符合性關(guān)系可見(jiàn)，通過(guò)升降軌拼接測(cè)繪方式，可以實(shí)現(xiàn)75°S～82°N緯度帶覆蓋約束。

圖5 基線與可測(cè)緯度符合性關(guān)系(升軌)Fig.5 Proof of baseline and coverage in compliance with requirement (ascending pass)

圖6 基線與可測(cè)緯度符合性關(guān)系(降軌)Fig.6 Proof of baseline and coverage in compliance with requirement (descending pass)

(4) 由編隊(duì)繞飛相對(duì)坐標(biāo)系XOZ平面(繞飛切軌平面)距離變化情況(圖7)可見(jiàn)，星間安全距離始終大于318 m，滿足被動(dòng)防撞安全約束。

圖7 空間繞飛安全距離變化情況(XOZ面)Fig.7 Safe distance variation of the formation (plane XOZ)

(5) 由空間繞飛電磁兼容規(guī)避情況(圖8)可見(jiàn)，編隊(duì)衛(wèi)星干涉工作段合理避開電磁兼容規(guī)避區(qū)域，雙星沒(méi)有互照風(fēng)險(xiǎn)。

圖8 空間繞飛電磁兼容規(guī)避情況Fig.8 Avoidance zone according to the EMC constrains

另外，通過(guò)在軌狀態(tài)監(jiān)視及DEM產(chǎn)品精度校驗(yàn)可知，TH-2衛(wèi)星系統(tǒng)編隊(duì)運(yùn)行3 a以來(lái)，構(gòu)形設(shè)計(jì)方法有效，運(yùn)行穩(wěn)定、安全，目標(biāo)測(cè)繪區(qū)域(如圖9所示，其中不同顏色標(biāo)記了對(duì)地干涉采用的不同波位)基線長(zhǎng)度滿足干涉要求，能夠?yàn)楦哔|(zhì)量DEM產(chǎn)品獲取提供有力保障。

圖9 長(zhǎng)期區(qū)域測(cè)繪數(shù)據(jù)獲取情況Fig.9 Long term DEM data acquisition

5 結(jié) 論

本文針對(duì)天繪二號(hào)衛(wèi)星系統(tǒng)需求，提出一種基于多工程約束的分布式InSAR編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法首先結(jié)合工程實(shí)際分析了構(gòu)形設(shè)計(jì)約束，并通過(guò)引入編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了設(shè)計(jì)約束的數(shù)學(xué)描述；然后針對(duì)部分約束條件的理論分析實(shí)現(xiàn)求解參數(shù)的確定，從而降低未知解空間維度；接下來(lái)以構(gòu)形被動(dòng)安全性最優(yōu)為目標(biāo)，采用蟻群算法對(duì)降維的未知參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，確定構(gòu)形參數(shù)；最后開展了仿真試驗(yàn)。結(jié)果表明，本文方法尋優(yōu)得到的構(gòu)形滿足設(shè)計(jì)約束，具備良好的穩(wěn)定性與被動(dòng)安全性，并且采用該方法設(shè)計(jì)的編隊(duì)構(gòu)形已經(jīng)過(guò)天繪二號(hào)在軌飛行驗(yàn)證，獲取的全球框架DEM產(chǎn)品精度高，可以作為后續(xù)工程設(shè)計(jì)的有效參考。