楊喜平，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

1 引 言

混沌系統(tǒng)同步自提出以來就備受關(guān)注，其中非線性系統(tǒng)的同步已成為研究的熱點。學(xué)者們提出了各種各樣的混沌系統(tǒng)，例如：Chen 系統(tǒng)、Lorenz 系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)、Sprott混沌系統(tǒng)等[1-2]，也嘗試了多種方法來研究混沌系統(tǒng)的同步控制。其中利用滑模方法研究非線性系統(tǒng)的同步已經(jīng)取得了很多成果，例如文獻[3-4]提出了滑模新方法，文獻[5]研究了糾纏混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步問題，文獻[6]研究了分數(shù)階時滯金融混沌系統(tǒng)的同步控制，文獻[7-8]研究混沌系統(tǒng)的指數(shù)同步。另一方面，Sprott混沌系統(tǒng)的同步引起了學(xué)者們的高度關(guān)注，例如文獻[9-10]研究了Sprott混沌系統(tǒng)同步與控制，文獻[11]研究了不確定Sprott-D 混沌系統(tǒng)的有限時間魯棒反饋控制，文獻[12]研究了一個新的未知參數(shù)Sprott超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步。在以上研究的基礎(chǔ)上，本文基于比例積分滑模方法研究了Sprott B超混沌系統(tǒng)的滑模同步問題的五種控制方案。

2 系統(tǒng)描述

Sprott B超混沌系統(tǒng)[12]

(1)

當(dāng)a=0.2，初始值設(shè)置為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0))=(0.05,0.05,0.05,0.05,0.05)時，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)分別為λ1=0.386，λ2=0.040，λ3=0，λ4=-0.030，λ5=-0.415。

3 控制方案

3.1控制方案一

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

(2)

定義誤差ei=yi-xi(i=1,2…5),得到

(3)

假設(shè)1 |y2e3|+|x3e2|+|e5|<λ|e1|，且y2,x3非零，其中λ為正常數(shù)。

定理1 在假設(shè)1條件下，設(shè)計滑模面

根據(jù)引理1，可以推得s→0。

3.2控制方案二

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

(4)

定義誤差ei=yi-xi(i=1,2,…,5)，得到

(5)

3.3控制方案三

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

(6)

定義誤差ei=yi-xi(i=1,2,…,5)，得到

(7)

假設(shè)3 |x1e2|+|y2e1|<λ|e3|，其中λ為正常數(shù)。

定理3 在假設(shè)3條件下，設(shè)計滑模面

3.4控制方案四

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

(8)

定義誤差ei=yi-xi，得到

(9)

3.5控制方案五

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

(10)

定義誤差ei=yi-xi(i=1,2,…,5)，得到

(11)

假設(shè)5 |e1|<λ|e5|，|e4|<|e2|，且y2非零，其中λ為正常數(shù)。

4 數(shù)值仿真

當(dāng)a=0.2，初始值設(shè)置為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0))=(0.05,0.05,0.05,0.05,0.05)時，系統(tǒng)出現(xiàn)奇怪吸引子，定理(1-5)中參數(shù)λ,η的取值分別為λ=2.0,1.5，1.5，1.5，1.5，η=3,2.5,2.5,3.2。由定理(1-5)的比較可看出，結(jié)論成立的條件逐漸放寬，同步效果越來越好，取得同步的時間也越來越短。記定理(1-5)所需的同步時間分別為T1,T2,T3,T4,T5，彼此之間的大小關(guān)系為T1>T2>T3>T4>T5，而設(shè)計的比例積分滑模函數(shù)逐漸由復(fù)雜趨于簡單，對控制器的要求也逐漸由強變?nèi)?，控制效果逐漸由壞變好。另外，從構(gòu)造的比例積分滑模函數(shù)和對假設(shè)條件的要求上看，誤差方程越簡單，可以構(gòu)造出更簡便的滑模面，假設(shè)條件也更寬松。

圖1 定理1中誤差

圖2 定理2中誤差

圖3 定理3中誤差

圖4 定理4中誤差

圖5 定理5中的系統(tǒng)誤差曲線

5 結(jié) 論

根據(jù)穩(wěn)定性理論和混沌同步相關(guān)理論，結(jié)合積分滑模處理非線性系統(tǒng)的方法研究了Sprott B超混沌系統(tǒng)比例積分滑模同步的五個控制方案，得到了Sprott B超混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得比例積分滑模同步的五個充分條件，從數(shù)學(xué)角度給出了嚴密的邏輯證明過程，并通過MATLAB仿真驗證了方法的正確性。文中使用的比例積分滑模方法對整數(shù)階系統(tǒng)、分數(shù)階系統(tǒng)都有很好的實用性，可以用來解決很多非線性混沌系統(tǒng)的同步問題。