熱依扎·塔斯恒，魏蔚，畢拉力，馬曉棟

（新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 新疆發(fā)光礦物與光功能材料研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，新疆 烏魯木齊 830054）

文章研究2019年第32屆國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽（International Young Physicists′Tournament，簡(jiǎn)稱(chēng)IYPT）的第五題——填充瓶子。題目?jī)?nèi)容為：當(dāng)垂直的水柱進(jìn)入瓶子時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生聲音，并且隨著瓶子被填充，聲音的特性會(huì)改變。探究此系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)，如水柱的速度與尺寸，瓶子的大小與形狀和水溫等對(duì)聲音的影響［1］。

IYPT的賽題是開(kāi)放的，也是中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽（China Undergraduate Physics Tournament，簡(jiǎn)稱(chēng)CUPT）和中國(guó)高中生物理創(chuàng)新競(jìng)賽（China Young Physicists′Tournament，簡(jiǎn)稱(chēng)CYPT）各省直轄市自治區(qū)比賽、各地區(qū)比賽、全國(guó)總決賽共同采用的賽題。將開(kāi)水灌入暖瓶的過(guò)程中，聽(tīng)到的聲音越來(lái)越急促，這與日常生活關(guān)系密切，無(wú)論是中學(xué)生、還是大學(xué)生，都有極大興趣了解和探究這個(gè)問(wèn)題。

目前，在文獻(xiàn)庫(kù)中有幾個(gè)關(guān)于介紹這個(gè)題目的實(shí)驗(yàn)視頻，而缺少深入的理論研究。英國(guó)哥倫比亞大學(xué)的研究者在2004年建立了液體聲音的物理模型。他指出幾乎所有液體聲音都涉及大量的氣泡，利用統(tǒng)計(jì)模型構(gòu)造了一個(gè)實(shí)時(shí)液體聲音合成器，用來(lái)激發(fā)大量氣泡以在實(shí)時(shí)參數(shù)控制下創(chuàng)造一個(gè)大范圍的液體音效［2］。在2018年的IYPT競(jìng)賽中，出現(xiàn)了研究瓶子音調(diào)的題目，不同的是，它所研究的是向瓶?jī)?nèi)吹氣的聲音［3］。關(guān)于這個(gè)現(xiàn)象，目前最常見(jiàn)的解釋是空氣柱振動(dòng)理論［4］。曾有研究者提出用聽(tīng)覺(jué)辨別熱水和冷水的能力，這是因?yàn)闊崴恼扯雀?，如果用蜂蜜這個(gè)效果會(huì)明顯［5］。文章根據(jù)已有的理論知識(shí)預(yù)測(cè)，在灌水的過(guò)程中發(fā)出聲音是因?yàn)樵谄績(jī)?nèi)空氣中形成了駐波；音調(diào)發(fā)生變化是因?yàn)轳v波的頻率變化；文章探究空氣中形成的駐波情況，以及駐波頻率的變化主要與哪些因素有關(guān)。之前有很多學(xué)者對(duì)駐波的能量和頻率進(jìn)行了多方的研究。蔣練軍［6］等得出駐波能量只在相鄰波腹和波節(jié)間流動(dòng)的結(jié)論并論證了相鄰波節(jié)、波腹間的總能量守恒。向羅杰，劉東紅［7-8］等人研究了三維長(zhǎng)方體空間內(nèi)駐波方程及對(duì)應(yīng)空間的頻率條件，并計(jì)算出人的聽(tīng)覺(jué)范圍內(nèi)能產(chǎn)生駐波的頻率值，討論了弦線(xiàn)上駐波產(chǎn)生條件并給出了弦的張力與駐波簡(jiǎn)正模式頻率之間的關(guān)系。

為探究問(wèn)題的答案，文章以垂直的水柱勻速逐漸進(jìn)入水平放置的容器這一過(guò)程作為研究對(duì)象，采用控制變量法研究各種參量對(duì)聲音的影響，對(duì)該過(guò)程產(chǎn)生聲音的原因建立了理論公式，并對(duì)影響聲音頻率的各種因素進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，進(jìn)行比較詳細(xì)和全面的實(shí)驗(yàn)探究和理論解釋。

1 實(shí)驗(yàn)裝置和理論基礎(chǔ)

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置介紹

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置

將長(zhǎng)短不同的木條用塑料卡子搭接成一個(gè)木架，木架共有五層，如圖1（a）所示；選用直徑不同的圓柱形玻璃瓶子以考察瓶子的形狀對(duì)聲音的影響，把瓶子擺放在地面上，位于木架最底層，如圖1（b）所示；選用下水口半徑不同的漏斗以考察水柱的尺寸對(duì)聲音的影響，漏斗安放在木架的頂部一至三層，改變漏斗安放的位置，可以調(diào)節(jié)漏斗下水口與瓶口的距離以改變水柱的流速，從而考察水柱流速對(duì)聲音的影響，如圖1（c）所示。

1.2 實(shí)驗(yàn)操作流程

對(duì)應(yīng)做四組實(shí)驗(yàn)。第一組考察水柱下落的流速的影響，用兩種不同的流速分別做兩次實(shí)驗(yàn)；第二組考察玻璃瓶直徑的影響，用兩種不同的直徑分別做兩次實(shí)驗(yàn)；第三組考察水柱尺寸的影響，用兩種不同的水柱尺寸分別做兩次實(shí)驗(yàn)；第四組考察溫度的影響，用兩種不同溫度的水分別做兩次實(shí)驗(yàn)。

用控制變量法，按一定的編排順序逐個(gè)改變四個(gè)相關(guān)參量，實(shí)驗(yàn)共分為四個(gè)組（四組實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)四個(gè)擬變參量），每組均包含兩次實(shí)驗(yàn)（每組的兩次實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)該組擬變參量的兩個(gè)取值），每次實(shí)驗(yàn)重復(fù)5遍（以減小誤差）。

第一組：考察水柱下落的流速的影響。通過(guò)改變漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x來(lái)改變水柱的流速。第一次和第二次實(shí)驗(yàn)中，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x分別為8cm和12cm.

第二組：考察玻璃瓶直徑的影響。第三次實(shí)驗(yàn)和第四次實(shí)驗(yàn)用的玻璃瓶的直徑分別是6.1 cm和6.8 cm.

第三組：考察水柱尺寸的影響。通過(guò)改變漏斗下水口的直徑改變水柱的尺寸。第五次實(shí)驗(yàn)和第六次實(shí)驗(yàn)采用的漏斗的下水口直徑分別是0.35cm和0.5 cm.

第四組：考察水柱溫度的影響。第七次實(shí)驗(yàn)和第八次實(shí)驗(yàn)中水柱的溫度分別是20℃和90℃。

每次實(shí)驗(yàn)的具體操作流程如下：

（1）將漏斗置于木架的某一層，窄口向下。玻璃瓶放置在漏斗的正下方。

（2）把漏斗的下水口封住，往漏斗中注水，使水位到達(dá)一個(gè)預(yù)設(shè)的高度，并等待漏斗中的水完全靜止。

（3）在第0s時(shí)刻打開(kāi)漏斗下水口，水柱自由落入玻璃瓶，從第3s開(kāi)始，每隔一秒測(cè)量聲音的頻率，測(cè)到第12s，共10個(gè)數(shù)據(jù)，記錄這10個(gè)數(shù)據(jù)。需要注意：從打開(kāi)漏斗下水口開(kāi)始，就要持續(xù)向漏斗中補(bǔ)水以保持漏斗中的水位不變。在測(cè)完10個(gè)聲音頻率之前，玻璃瓶足以盛裝落下的水，水不會(huì)滿(mǎn)溢。再次封閉漏斗的下水口。

（4）至此，一遍實(shí)驗(yàn)結(jié)束，將玻璃瓶和漏斗中的水都清空。將以上1～3的步驟重復(fù)5遍，5遍記為一次實(shí)驗(yàn)。

（5）按編排順序逐一改變實(shí)驗(yàn)參量重復(fù)上述1～4的步驟。依次類(lèi)推，需做四組，共八次實(shí)驗(yàn)。

1.3 理論基礎(chǔ)

在玻璃瓶被填充的過(guò)程中，下落的水柱引起水面振動(dòng)，當(dāng)水面振動(dòng)時(shí)會(huì)引起瓶?jī)?nèi)空氣振動(dòng)，由于水中所產(chǎn)生的機(jī)械振動(dòng)來(lái)自各個(gè)方向，因此在瓶?jī)?nèi)空氣中所產(chǎn)生的振動(dòng)也是各個(gè)方向的，從而產(chǎn)生許多雜亂無(wú)章的波，這些波在各個(gè)方向都會(huì)發(fā)生反射，但只有滿(mǎn)足駐波條件的波能夠加強(qiáng)從而被耳朵識(shí)別。這些聲波在傳播時(shí)，介質(zhì)中稠密和稀疏的過(guò)程是絕熱的，即介質(zhì)與毗鄰部分不會(huì)發(fā)生熱交換［9］。瓶?jī)?nèi)空氣的振動(dòng)傳播到瓶口時(shí)又帶動(dòng)瓶外空氣的振動(dòng)，形成從瓶?jī)?nèi)到瓶外傳播的聲波，因此可以聽(tīng)到聲音。

水面由于被撞擊而產(chǎn)生的振蕩是阻尼振蕩，阻尼振蕩的動(dòng)力學(xué)方程為，其中k、γ和m分別是振動(dòng)的恢復(fù)系數(shù)、阻力系數(shù)和振動(dòng)物體的質(zhì)量［10］。，其中，ω′是阻尼振動(dòng)的圓頻率，而相當(dāng)于阻力系數(shù)等于零時(shí)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)圓頻率，.

當(dāng)波從瓶?jī)?nèi)傳播到瓶外時(shí)，瓶外空氣原來(lái)是靜止的，由于慣性，其振動(dòng)的強(qiáng)度總是小于瓶?jī)?nèi)空氣的振動(dòng)強(qiáng)度。波的能量無(wú)法瞬間全部傳播到瓶外，瓶?jī)?nèi)向瓶外傳播的入射波，在到達(dá)瓶口時(shí)一部分出射到瓶外，一部分反射回瓶?jī)?nèi)。

圖2 駐波示意圖

如前所述，由于瓶?jī)?nèi)水面振動(dòng)，從而在瓶?jī)?nèi)空氣中產(chǎn)生各種波長(zhǎng)的波，其中，波長(zhǎng)滿(mǎn)足、n=1,3,5…駐波條件的波，會(huì)在瓶口處形成波腹，其振幅最大，對(duì)瓶外空氣的影響也最大；波長(zhǎng)滿(mǎn)足、n=2,4,6…駐波條件的波，會(huì)在瓶口處產(chǎn)生波節(jié)，其振幅最小，對(duì)瓶外空氣的影響也最小。凡波長(zhǎng)不滿(mǎn)足上述兩種駐波條件（波腹或波節(jié)）的波，即波長(zhǎng)不滿(mǎn)足條件

其在瓶口的振幅介于最大和最小之間，對(duì)瓶外空氣的影響也介于最大和最小之間。

采用EPIDATA3.0和SPSS22.0軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)管理與統(tǒng)計(jì)分析。采用描述性統(tǒng)計(jì)分析、內(nèi)部一致性信度檢驗(yàn)、Pearson相關(guān)性分析和多元線(xiàn)性階層回歸對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)為P<0.05。

從水柱中分散開(kāi)來(lái)的各部分，對(duì)水面產(chǎn)生不同的破壞程度，產(chǎn)生各種不同頻率的振動(dòng)，產(chǎn)生各種不同頻率的波，其中波長(zhǎng)滿(mǎn)足條件=1,3,5...的波是容易測(cè)量到的波，并且n越小、波長(zhǎng)越大的波越容易測(cè)量到，頻率大的波由于慣性對(duì)瓶外空氣的影響越小。

2 實(shí)驗(yàn)探究和理論分析

用控制變量法分別對(duì)各參數(shù)對(duì)聲音頻率的影響進(jìn)行探究，考慮水柱的流速、瓶子的直徑、水柱的尺寸、液體的溫度等四個(gè)參數(shù)，并且對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果逐一進(jìn)行理論解釋。

2.1 水柱的流速對(duì)聲音頻率的影響

采用相同直徑的瓶子，采用下水口直徑相同的漏斗，在相同的溫度下做兩次實(shí)驗(yàn)。兩次實(shí)驗(yàn)漏斗安放的高低不同，通過(guò)改變漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x來(lái)改變水柱的流速。第一次和第二次實(shí)驗(yàn)中，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x分別為8cm和12cm.

表1 頻率隨時(shí)間的變化（漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x為8cm）

表2 頻率隨時(shí)間的變化（漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x為12cm）

從表1和表2均可以看出，隨著灌水時(shí)間的延續(xù)，頻率越來(lái)越大，聽(tīng)到的聲音越來(lái)越急促，與日常生活中的經(jīng)驗(yàn)相符合。這是因?yàn)樗谒娈a(chǎn)生各種波長(zhǎng)不同的波，波長(zhǎng)滿(mǎn)足條件、n=1,3,5...的駐波，在瓶口形成波腹，振幅最大，對(duì)瓶外空氣的影響最大，容易被測(cè)量到。隨著灌水時(shí)間的延續(xù)，瓶口到水面的距離L越來(lái)越小，滿(mǎn)足條件、n=1,3,5...的波長(zhǎng)越來(lái)越小，聽(tīng)到的聲音的頻率越來(lái)越大。

比較表1和表2可以看出，水柱的流速越大，聲音的頻率越小。這是因?yàn)樗牧魉僭酱?，?duì)水面的破壞程度越大，參與振動(dòng)的水的質(zhì)量m越大，一方面越小，越小，振動(dòng)的周期越大；另一方面越小，越大，振動(dòng)的周期越小。二者引起的結(jié)果相反，但阻力是被動(dòng)力，β2相對(duì)于是次要因素，總體上振動(dòng)的周期T′越大，振動(dòng)的頻率越小。

2.2 容器的直徑對(duì)聲音的影響

用直徑不同的玻璃瓶、下水口相同的漏斗，在相同的溫度下做第三次實(shí)驗(yàn)和第四次實(shí)驗(yàn)。第三次實(shí)驗(yàn)和第四次實(shí)驗(yàn)用的玻璃瓶的直徑分別是6.1 cm和6.8 cm，漏斗安放的位置相同，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x相同。

表3 頻率隨時(shí)間的變化（玻璃瓶的直徑是6.1 cm）

表4 頻率隨時(shí)間的變化（玻璃瓶的直徑是6.8 cm）

比較表3和表4可以看出，玻璃瓶的直徑越大，聲音的頻率越小。但這個(gè)結(jié)論只是表面現(xiàn)象，因?yàn)樗牧魉傧嗤Ａ康臋M截面積不同。表3和表4中，在相同的時(shí)間點(diǎn)，兩個(gè)玻璃瓶水填充的程度不一樣，瓶口到水面的距離L不一樣，滿(mǎn)足條件、n=1,3,5…的情況不一樣。

為了嚴(yán)格地控制變量，應(yīng)該在相同填充程度下，比較兩個(gè)玻璃瓶發(fā)出聲音的頻率。根據(jù)填充時(shí)間與玻璃瓶橫截面積成正比的關(guān)系可知，第三次實(shí)驗(yàn)中，在3～12s的十個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的瓶口到水面的距離，分別相當(dāng)于第四次實(shí)驗(yàn)中，時(shí)間為3.728s、4.971s、6.213s、7.456s、8.699s、9.941s、11.18s、12.43s、13.67s、14.91s時(shí)的瓶口到水面的距離。

分析表3和表4可以得出，在相同填充程度，聲音的頻率差別很小。例如，第四次實(shí)驗(yàn)中10s時(shí)的填充程度，近似相當(dāng)于第三次實(shí)驗(yàn)中8s時(shí)的填充程度，對(duì)應(yīng)的聲音頻率平均值分別為970.46和967.38；例如，第四次實(shí)驗(yàn)中5s時(shí)的填充程度，近似相當(dāng)于第三次實(shí)驗(yàn)中4s時(shí)的填充程度，對(duì)應(yīng)的聲音頻率平均值分別為785.75Hz和780.39Hz.

2.3 水柱的尺寸對(duì)聲音頻率的影響

采用直徑相同的玻璃瓶、下水口不同的漏斗，在相同的溫度下做第五次實(shí)驗(yàn)和第六次實(shí)驗(yàn)。第五次實(shí)驗(yàn)和第六次實(shí)驗(yàn)采用的漏斗的下水口直徑分別是0.35cm和0.5 cm，漏斗安放的位置相同，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x相同。

表5 頻率隨時(shí)間的變化（漏斗下水口直徑為0.35 cm）

表6 頻率隨時(shí)間的變化（漏斗下水口直徑為0.5cm）

比較表5和表6可以看出，漏斗下水口的直徑越大，水柱的直徑越大，聲音的頻率越小。

與第一次實(shí)驗(yàn)和第二次實(shí)驗(yàn)相同，水柱直徑越大的效果和水柱速度越大的效果，都是對(duì)水面的破壞程度越大，振動(dòng)的周期T′越大，振動(dòng)的頻率越小，理論分析結(jié)果是一致的。

與第一次實(shí)驗(yàn)和第二次實(shí)驗(yàn)不同，第一次實(shí)驗(yàn)和第二次實(shí)驗(yàn)的漏斗下水口直徑是一樣的，填充時(shí)間是一樣的，而第五次實(shí)驗(yàn)和第六次實(shí)驗(yàn)的填充時(shí)間不一樣。

如前所述，為了嚴(yán)格地控制變量，應(yīng)該在相同填充程度下，比較兩個(gè)玻璃瓶發(fā)出聲音的頻率。根據(jù)填充時(shí)間與漏斗下水口截面積成反比的關(guān)系可知，第五次實(shí)驗(yàn)中，在3～12s的十個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的瓶口到水面的距離，分別相當(dāng)于第六次實(shí)驗(yàn)中，時(shí)間為1.46s、1.96s、2.45s、2.94s、3.43s、3.92s、4.41s、4.9s、5.39s、5.88s時(shí)的瓶口到水面的距離。

分析表5和表6可以得出，在相同填充程度的情況下，第六次實(shí)驗(yàn)聲音的頻率比第五次實(shí)驗(yàn)聲音的頻率小，而且它們的差別比從表5和表6直接看到的數(shù)據(jù)差別大。例如，第六次實(shí)驗(yàn)中6s時(shí)的填充程度，近似相當(dāng)于第五次實(shí)驗(yàn)中12s時(shí)的填充程度，對(duì)應(yīng)的聲音頻率平均值分別為461.83和667.85.即在相同填充程度，水柱直徑越大，頻率越小。

2.4 水的溫度對(duì)聲音頻率的影響

采用直徑相同的玻璃瓶、下水口直徑相同的漏斗，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x相同，在不同的溫度下做第七次實(shí)驗(yàn)和第八次實(shí)驗(yàn)。第七次實(shí)驗(yàn)和第八次實(shí)驗(yàn)的水的溫度分別為20℃和90℃.

表7 頻率隨時(shí)間的變化（溫度為20℃）

表8 頻率隨時(shí)間的變化（溫度為90℃）

比較表7和表8，可以看出，溫度越高，聲音的頻率越大。這是因?yàn)闇囟仍礁?，水的粘度越小?1-12］，振動(dòng)的阻力系數(shù)γ越小，越小、越大，振動(dòng)的周期越小，振動(dòng)的頻率越大。

3 結(jié)語(yǔ)

文章研究“填充瓶子”這個(gè)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽題目，對(duì)水柱的流速、玻璃瓶的直徑、漏斗下水口的直徑、溫度4種參量對(duì)聲音的影響，進(jìn)行了比較詳細(xì)、全面的實(shí)驗(yàn)探究和理論解釋。這個(gè)問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象，看似簡(jiǎn)單，但在其簡(jiǎn)單現(xiàn)象的背后，存在比較復(fù)雜的物理機(jī)制，因此分析過(guò)程是比較曲折的。文章的理論分析，主要采用駐波和受迫振動(dòng)的相關(guān)結(jié)論。采用控制變量法做實(shí)驗(yàn)，在理論分析時(shí)，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，考慮駐波產(chǎn)生的條件，始終在相同填充程度下比較聲音的頻率，給出了前后自洽的理論解釋。反射波和入射波疊加形成駐波，反射的位置應(yīng)該在瓶口附近有一個(gè)比較大的范圍，其中不同位置反射程度不同，是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。文章采用相對(duì)簡(jiǎn)單的模型，把反射位置確定在瓶口，給出了簡(jiǎn)潔易懂的理論解釋。文章既有較完整的理論基礎(chǔ)知識(shí)和理論分析，也有相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)方案和數(shù)據(jù)，對(duì)該題目做了較為全面和系統(tǒng)的分析和討論，希望對(duì)后續(xù)的該類(lèi)競(jìng)賽類(lèi)題目在探討方法上有所啟發(fā)。研究的題目非常貼近日常生活，在指導(dǎo)學(xué)生對(duì)該題目研究的過(guò)程中，不斷激發(fā)學(xué)生做科學(xué)研究的興趣，引起學(xué)生對(duì)生活中細(xì)微之處的常見(jiàn)現(xiàn)象的觀(guān)察和思考，從而提高學(xué)生可持續(xù)的專(zhuān)業(yè)綜合能力培養(yǎng)，特別是實(shí)踐能力培養(yǎng)。還可以有效拓展學(xué)生的基本理論知識(shí)，使學(xué)生增長(zhǎng)探索理論知識(shí)和實(shí)驗(yàn)操作的能力；培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的科研品格和堅(jiān)定不移的科學(xué)態(tài)度，提高學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際和深入分析現(xiàn)象背后的理論依據(jù)的能力，使學(xué)生體會(huì)科學(xué)研究的思維方式和處理問(wèn)題的方法；深化學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)和思維，學(xué)習(xí)新知識(shí)和應(yīng)用新知識(shí)。希望在物理實(shí)踐教學(xué)和科普活動(dòng)中發(fā)揮積極作用。