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      Geogebra軟件在波動(dòng)光學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

      2023-01-29 01:24:52羅宇晴吳少平
      物理教學(xué)探討 2022年12期
      關(guān)鍵詞:雙縫光程光屏

      羅宇晴,吳少平

      華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,武漢 430079

      光學(xué)是物理學(xué)一個(gè)重要的學(xué)科分支,光的干涉和衍射現(xiàn)象是光學(xué)重要的研究?jī)?nèi)容。1801年,托馬斯·楊用光的“波動(dòng)性”解釋了光的干涉現(xiàn)象,第一次成功測(cè)定了光的波長(zhǎng)。1815年,菲涅爾對(duì)惠更斯原理進(jìn)行了修正,提出了惠更斯-菲涅爾原理。該原理不僅能解釋各向同性均勻介質(zhì)中光的直線傳播現(xiàn)象,還完美地解釋了光的衍射現(xiàn)象[1]。從此,波動(dòng)光學(xué)發(fā)展成為光學(xué)的重要組成部分。由于觀測(cè)光的干涉和衍射現(xiàn)象對(duì)實(shí)驗(yàn)條件要求較高,教師難以在課堂進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)。2016年,教育部印發(fā)的《教育信息化“十三五”規(guī)劃》提出要?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用優(yōu)質(zhì)教育資源,積極探究新型教學(xué)模式[2]。Geogebra是一款結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計(jì)功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件[3],該軟件開(kāi)源免費(fèi),簡(jiǎn)單易學(xué),而且交互性好,特別適用于理科教學(xué)[4]。筆者利用Geogebra軟件制作動(dòng)態(tài)演示圖,用于波動(dòng)光學(xué)中2個(gè)典型實(shí)驗(yàn)的理論教學(xué)。

      1 利用Geogebra演示雙縫干涉實(shí)驗(yàn)

      1801年,英國(guó)物理學(xué)家托馬斯·楊利用雙縫實(shí)驗(yàn)演示了雙光束干涉現(xiàn)象,并首次推算得到光的波長(zhǎng),實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了光的波動(dòng)理論,為量子學(xué)說(shuō)的創(chuàng)立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同,并且在觀察期間相位差不變的相干波疊加后,合振動(dòng)會(huì)在某些區(qū)域加強(qiáng),而在某些區(qū)域減弱。疊加區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)合振動(dòng)強(qiáng)度在空間中的穩(wěn)定非均勻分布即為光的干涉圖樣,其本質(zhì)為兩列光波相位差的空間分布。在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中,通常用光線代替光波,無(wú)法直觀展現(xiàn)出相位差的變化。利用Geogebra軟件,不僅可以直觀展示相位差的大小,還可以清晰地觀察到狹縫間距和入射光振幅變化對(duì)光強(qiáng)分布的影響,從而幫助學(xué)生深入理解雙光束干涉的物理機(jī)制。

      1.1 雙縫干涉理論知識(shí)

      如圖1所示,兩列等振幅且初相位相同的相干波分別從空氣中的定點(diǎn)A和B出發(fā)到達(dá)空間P點(diǎn),兩列波的振動(dòng)方程可分別表示如下:

      圖1 雙縫干涉動(dòng)態(tài)圖

      式中E1和E2表示電場(chǎng)強(qiáng)度,ω為角頻率,波數(shù),λ 為波長(zhǎng),r1=AP,r2=BP,φ0為初相位。兩列波在 P 點(diǎn)相遇后的相位差 Δφ=k(r2-r1)=kδr,其中δr表示光程差,空氣中折射率n≈1。

      當(dāng)光程差等于半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍,兩列波疊加后的強(qiáng)度為最大值,形成亮紋,稱(chēng)為干涉相長(zhǎng);

      當(dāng)光程差等于半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍,兩波疊加后的強(qiáng)度為最小值,形成暗紋,稱(chēng)為干涉相消。

      上式中j表示干涉級(jí),從0級(jí)開(kāi)始計(jì)算。

      由圖1可知,光程差可以表示為:

      (1.5)式中 d=AB,表示雙縫之間的距離,r=CD,y=CP。

      將(1.5)式代入(1.3)式,得到產(chǎn)生明紋的條件為

      將(1.5)式代入(1.4)式,得到產(chǎn)生暗紋的條件為

      相鄰兩條明紋或相鄰兩條暗紋之間是等間距的,間距Δy的大小為

      1.2 課件制作

      (1)雙縫制作過(guò)程

      如圖1所示,兩束相干光通過(guò)狹縫A與狹縫B會(huì)聚在光屏上P點(diǎn)。用描點(diǎn)工具單擊y軸,設(shè)定點(diǎn) A,然后在命令欄輸入 B(0,-y(A))。

      (2)光屏制作過(guò)程

      用描點(diǎn)工具單擊x軸正半軸,設(shè)定點(diǎn)C;單擊原點(diǎn),設(shè)定點(diǎn)D。用垂線工具單擊點(diǎn)C與x軸,創(chuàng)建直線f來(lái)模擬光屏。在直線f上任取一點(diǎn)P,利用線段工具分別單擊點(diǎn)A與點(diǎn)P創(chuàng)建線段AP,單擊點(diǎn)B與點(diǎn)P創(chuàng)建線段BP,單擊點(diǎn)D與點(diǎn)P創(chuàng)建線段DP。

      (3)參數(shù)制作過(guò)程

      創(chuàng)建波動(dòng)方程中的4個(gè)參數(shù),即振幅A、波長(zhǎng)λ、波速v和時(shí)間t。為確保干涉現(xiàn)象全參數(shù)可調(diào),利用滑動(dòng)條工具單擊繪圖區(qū),創(chuàng)建振幅A,設(shè)置變化范圍[0.1,5],單位為 V/m;創(chuàng)建波長(zhǎng) λ,設(shè)置變化范圍[0.2,15],單位為 μm;創(chuàng)建波速 v,設(shè)置變化范圍[0.1,5],單位為 m/s;創(chuàng)建時(shí)間 t,設(shè)置變化范圍[0,25],單位為s。點(diǎn)擊右鍵設(shè)置動(dòng)畫(huà)屬性為“重復(fù)遞增”。

      (4)波動(dòng)方程制作過(guò)程

      在命令欄輸入 p(x)=if(0<x<Length(DP)+1,Asin(2π(vt-x)/λ)),得到一列沿 x 軸傳播的波函數(shù)。在命令欄輸入 Rotate(p(x),atand((y(A)-y(P))/(x(A)-x(P)))),得到曲線 a。在命令欄再次輸入Translate(a,Vector(D,A)),我們就繪制出了第一列入射波。同理,繪制第二列入射波。

      (5)光強(qiáng)分布函數(shù)制作過(guò)程

      利用線段工具單擊點(diǎn)A與點(diǎn)B,創(chuàng)建線段AB,單位為mm;單擊點(diǎn)C與點(diǎn)D,創(chuàng)建線段CD,單位為m。在命令欄輸入 q(x)=2A2(1+cos(2πdx/(λr))),創(chuàng)建光強(qiáng)分布函數(shù),最后繪制出光強(qiáng)分布圖。

      (6)光強(qiáng)振幅制作過(guò)程

      在命令欄輸入 d=p(Length(BP))+p(Length(AP)),回車(chē)后繼續(xù)輸入 E(x(p),y(p)+d),連接點(diǎn)P與點(diǎn)E,創(chuàng)建線段PE表示P點(diǎn)光強(qiáng)的大小,如圖1所示。

      (7)光程差制作過(guò)程

      利用垂線工具單擊點(diǎn)A與直線BP,創(chuàng)建垂線AF,垂線AF與直線BP交點(diǎn)為點(diǎn)F,線段BF即為光程差 δr。

      1.3 課件說(shuō)明

      (1)改變兩列相干波相位差的大小,分析明暗條紋產(chǎn)生的條件。

      設(shè)置相關(guān)參數(shù)后,拖動(dòng)點(diǎn)P在光屏上滑動(dòng),改變兩列相干波相位差的大小??梢园l(fā)現(xiàn),當(dāng)光程差相差半個(gè)波長(zhǎng)的偶數(shù)倍,產(chǎn)生明紋(圖2);當(dāng)光程差相差半個(gè)波長(zhǎng)的奇數(shù)倍,產(chǎn)生暗紋(圖3)。動(dòng)畫(huà)演示結(jié)果與(1.3)和(1.4)式結(jié)果完全一致。

      圖 2 δr≈λ,P點(diǎn)為明紋

      圖 3 δr≈λ /2,P 點(diǎn)為暗紋

      (2)驗(yàn)證“r>>d時(shí),∠α與∠β近似相等”的條件。

      在推導(dǎo)光程差δr的過(guò)程中,當(dāng)r>>d時(shí),我們認(rèn)為∠α與∠β近似相等。利用Geogebra軟件,可以直觀地證明這一條件的正確性。如圖4所示,r≈3d時(shí),∠α與∠β相差還比較明顯;但當(dāng)r與d取值相差很大(r≈30d)時(shí),∠α與∠β幾乎相等,如圖5所示。

      圖 4 r≈3d 時(shí),∠α≠∠β(X 軸∶Y 軸=1∶1)

      圖 5 r≈30d 時(shí),∠α≈∠β(X 軸∶Y 軸=2∶1)

      (3)改變雙縫間距d,波長(zhǎng)λ以及雙縫到光屏的距離r,觀察干涉圖樣的變化。

      設(shè)置入射光振幅A為2.6 V/m,波長(zhǎng)λ為10μm,r為65.88 m,拉動(dòng)滑動(dòng)條改變雙縫間距d。對(duì)比圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn),隨著雙縫間距d增大,干涉條紋間距明顯減小,與(1.8)式結(jié)果一致。設(shè)置r為65.88 m,雙縫間距d為29.93 mm,拉動(dòng)滑動(dòng)條改變雙縫到光屏的距離r。對(duì)比圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn),隨著距離r的增大,條紋間距增大。拉動(dòng)滑動(dòng)條改變波長(zhǎng)λ,對(duì)比圖8和圖9可以發(fā)現(xiàn),隨著波長(zhǎng)λ的增大,條紋間距也增大。

      圖6 d≈16時(shí)的雙縫干涉圖樣

      圖7 d≈30時(shí)的雙縫干涉圖樣

      圖8 λ=10時(shí)的雙縫干涉圖樣

      圖9 λ=15時(shí)的雙縫干涉圖樣

      (4)改變?nèi)肷洳ㄕ穹?,觀察干涉圖樣的變化。

      設(shè)置波長(zhǎng) λ 為 15 μm,r為 65.88 m,雙縫間距d為29.93 mm,拉動(dòng)滑動(dòng)條改變?nèi)肷涔庹穹鵄。對(duì)比圖10和圖11可以發(fā)現(xiàn),隨著入射光振幅A的增大,條紋間距不變,干涉光疊加振幅增大。

      圖 10 A=2.6時(shí)的雙縫干涉圖樣

      圖 11 A=3.6時(shí)的雙縫干涉圖樣

      2 利用Geogebra演示光柵衍射現(xiàn)象

      “衍”始見(jiàn)于商代甲骨文,本指水流順河道匯于海,引申指蔓延、擴(kuò)展。光的衍射指光在空間傳播過(guò)程中,遇到與波長(zhǎng)差不多數(shù)量級(jí)的障礙物或者孔隙時(shí),會(huì)發(fā)生光線彌漫的現(xiàn)象。由于可見(jiàn)光波長(zhǎng)較短,光波的衍射現(xiàn)象在日常生活中并不明顯。

      2.1 理論知識(shí)

      任何具有空間周期性的衍射屏都可以叫作光柵,衍射光柵一般每毫米內(nèi)有幾十條乃至上千條縫。光柵和棱鏡一樣,作為重要的分光裝置,常用來(lái)形成光譜[1]。光柵衍射的光強(qiáng)分布是單縫衍射與多縫干涉共同作用的結(jié)果。利用矢量疊加的方法可以得到如下公式:

      單縫衍射屏上P點(diǎn)光強(qiáng)公式:

      光柵衍射屏上P點(diǎn)光強(qiáng)公式:

      單縫衍射最小值位置滿足條件:

      多縫干涉主最大位置滿足條件:

      多縫干涉最小值位置滿足條件:

      光柵衍射光強(qiáng)分布中的單縫衍射因子與單縫衍射強(qiáng)度曲線形式相同;光柵衍射圖樣中出現(xiàn)的一系列較強(qiáng)的亮線叫作主最大,較弱的亮線叫作次最大;相鄰主最大之間有N-1條暗紋和N-2個(gè)次最大;主最大的寬度隨N的增大而減小,且強(qiáng)度正比于N2。

      2.2 課件制作

      (1)參數(shù)制作過(guò)程

      為確保單縫衍射光強(qiáng)分布全參數(shù)可調(diào),利用滑動(dòng)條工具單擊繪圖區(qū)。創(chuàng)建振幅A,設(shè)置變化范圍[0,5],單位為 V/m;創(chuàng)建波長(zhǎng) λ,設(shè)置變化范圍[1,10],單位為 μm;創(chuàng)建單縫寬度 a,設(shè)置變化范圍[0,10],單位為μm;創(chuàng)建光柵到光屏的距離參數(shù) L,設(shè)置變化范圍[0,10],單位為 m;創(chuàng)建光柵縫數(shù)N,變化范圍[1,100],增量為1;創(chuàng)建光柵常數(shù)d,變化范圍[1,30],單位為μm。

      (2)光強(qiáng)分布函數(shù)制作過(guò)程

      在命令欄輸入 f(x)=A2sin2(πax/(λL))/(πax/(λL))2,表示單縫衍射光強(qiáng)分布函數(shù)。在命令欄輸入 g(x)=sin2(Nπdx/(λL))/sin2(πdx/(λL)),表示縫間干涉疊加效果;創(chuàng)建函數(shù) h(x)=f(x)g(x)/N2,表示光柵衍射光強(qiáng)分布函數(shù)。

      2.3 課件說(shuō)明

      (1)改變狹縫寬度a,分析衍射圖樣的變化。

      設(shè)置入射光振幅A為1V/m,距離L為1m,波長(zhǎng)λ為4 μm,光柵常數(shù)d為18 μm,狹縫數(shù)目N為6。拖動(dòng)滑動(dòng)條,改變狹縫寬度a。對(duì)比圖12和圖13可知,在一定范圍內(nèi),隨著單縫寬度a增大,衍射效果對(duì)多縫干涉調(diào)制的效果越明顯。如圖13所示,當(dāng)d=3a時(shí),在±3λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。

      圖12 狹縫寬度a=0.7時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

      圖13 狹縫寬度a=6時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

      (2)改變光柵常數(shù)d,分析衍射圖樣的變化。

      設(shè)置入射光束振幅A為1V/m,距離L為1m,波長(zhǎng) λ 為 4 μm,狹縫寬度 a為 5 μm,狹縫數(shù)目N為6。拖動(dòng)滑動(dòng)條,改變光柵常數(shù)d,由圖14與圖15可知,在一定范圍內(nèi),隨著光柵常數(shù)d的增大,多縫干涉明紋(主極大)間距減小,與上文中雙縫干涉得到的結(jié)論一致。如圖14所示,當(dāng)d=2a時(shí),在±2λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。如圖15所示,當(dāng)d=4a時(shí),在±4λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。

      圖14 d=2a時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

      圖15 d=4a時(shí)光柵衍射光強(qiáng)分布圖

      (3)改變狹縫數(shù)目N,分析衍射圖樣的變化。

      設(shè)置入射光束振幅A為1V/m,距離L為1m,波長(zhǎng) λ 為 4 μm,狹縫寬度 a為 3 μm,光柵常數(shù)d為12 μm;拖動(dòng)滑動(dòng)條,改變狹縫數(shù)目N。對(duì)比圖16與圖17可知,隨著狹縫數(shù)目N增大,衍射明紋變細(xì)變亮。d=4a時(shí),在±4λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。

      圖16 N=6時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

      圖17 N=30時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

      3 結(jié)論

      將Geogebra軟件用于波動(dòng)光學(xué)教學(xué)有以下三個(gè)優(yōu)勢(shì):一是可以生動(dòng)形象地動(dòng)態(tài)演示光的干涉、衍射現(xiàn)象,利于學(xué)生將抽象的物理知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀感性的認(rèn)識(shí);二是實(shí)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)過(guò)程全參數(shù)可調(diào),可以讓學(xué)生自主探究各物理量對(duì)光強(qiáng)分布的影響,充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性;三是有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生自主探索和自主學(xué)習(xí)的科學(xué)素養(yǎng)。

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