陳聚峰， 申永軍， 張 靜， 李向紅， 王曉娜

(1. 石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043； 2. 石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，石家莊 050043； 3. 石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043； 4. 石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，石家莊 050021； 5. 河北軌道運(yùn)輸職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，石家莊 050021)

自1927年荷蘭物理學(xué)家van der Pol等[1]在描述真空管電路時(shí)建立了van der Pol方程后，van der Pol型振子作為一種典型的含有非線性阻尼的自激振動(dòng)系統(tǒng)，得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注和深入研究[2-5]。Rayleigh振子屬于van der Pol型振子，并且具有相似的動(dòng)力學(xué)特性，它與van der Pol振子的區(qū)別是：隨著電壓的增加，van der Pol振子的頻率增加，而Rayleigh振子的振幅增加。在不同領(lǐng)域，Rayleigh振子可以用來描述許多自激振蕩系統(tǒng)。比如，在土木工程中Rayleigh振子可用于描述安裝在非線性阻尼彈性支承上的梁的模態(tài)動(dòng)力學(xué)以及梁在風(fēng)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)模型[6-7]。受驅(qū)動(dòng)的Rayleigh振子可以用來描述地震的動(dòng)力學(xué)[8]。通過試驗(yàn)和理論研究表明，Rayleigh振子還可用于驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)械臂[9-10]。

分?jǐn)?shù)階微積分是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它是將整數(shù)階微積分推廣至任意實(shí)數(shù)階甚至復(fù)數(shù)階的微積分理論[11-13]?，F(xiàn)實(shí)世界中許多物體運(yùn)動(dòng)都可以用分?jǐn)?shù)階模型來識別和描述，與整數(shù)階模型相比，其優(yōu)點(diǎn)是：分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在描述各種過程的記憶和遺傳特性方面具有優(yōu)異的性能。近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的加速發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分在諸如物理、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、材料科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用受到了廣泛的關(guān)注[14-21]。同時(shí)，許多不同類型的分?jǐn)?shù)階van der Pol/Rayleigh振子也越來越受到關(guān)注[22-25]。例如：Shen等[26]利用平均法研究了含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的van der Pol 振子發(fā)生主共振的動(dòng)力學(xué)特性；Zhang等[27-28]利用Melnikov方法研究了分?jǐn)?shù)階Rayleigh-Duffing的混沌及同步；Zhang等[29]利用隨機(jī)平均法研究了在高斯白噪聲激勵(lì)下含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Duffing-Rayleigh系統(tǒng)的響應(yīng)；Xiao等[30]研究了狀態(tài)反饋下一類分?jǐn)?shù)階van der Pol系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔控制。另外，在控制系統(tǒng)中不可避免地存在時(shí)滯現(xiàn)象，一方面，時(shí)滯的存在往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)以及控制性能下降；另一方面，人們可以利用時(shí)滯進(jìn)行控制設(shè)計(jì)來改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性[31-33]。目前，對于時(shí)滯反饋下分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面的研究還很少。因此，本文以時(shí)滯作為分岔參數(shù)，討論一類分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)在時(shí)滯速度反饋下的穩(wěn)定性及分岔問題。

1 時(shí)滯反饋下分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

考慮在速度時(shí)滯反饋控制下，同階次的分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)

(1)

式中： 00；τ≥0；k>0。這里采用Caputo型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義

式中，Γ(y)為Gamma函數(shù)，且Γ(y+1)=yΓ(y)。

式(1)有唯一平衡點(diǎn)(x1,x2)=(0,0)，相應(yīng)的線性化系統(tǒng)為

(2)

特征方程為

(3)

利用Tavazoei等的方法，我們可得：

定理1當(dāng)τ=0時(shí)，對每一固定的q，式(1)的平衡點(diǎn)(0,0)是漸近穩(wěn)定的充要條件為0

(4)

可見，系統(tǒng)參數(shù)a的臨界值ac不僅與反饋增益k有關(guān)，還與分?jǐn)?shù)階階次q有關(guān)。隨著q的減小，k的增大，系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的參數(shù)a的范圍會(huì)增大。

接下來，將討論對任意的τ>0，特征方程det[Δ(s)]=0沒有純虛根的條件。

(5)

分離實(shí)部和虛部，可得

A1cosωτ+A2sinωτ=δ1

(6)

A2cosωτ-A1sinωτ=δ2

(7)

其中，

(8)

(9)

(10)

式(6)和式(7)兩邊平方相加后，可得

ω4q+b3ω3q+b2ω2q+b1ωq+1=0

(11)

其中，

令ωq=z，則式(11)變?yōu)?/p>

z4+b3z3+b2z2+b1z+1=0

(12)

記H(z)=z4+b3z3+b2z2+b1z+1，則有

H′(z)=4z3+3b3z2+2b2z+b1

令

4z3+3b3z2+2b2z+b1=0

(13)

y3+p1y+q1=0

(14)

由Cardano公式，可得式(14)的根為

引理1[34]若Δ≥0，則式(12)有正根當(dāng)且僅當(dāng)z1>0及H(z1)<0；若Δ<0，則式(12)有正根當(dāng)且僅當(dāng)至少存在一個(gè)z*∈{z1,z2,z3}，使z*>0及H(z*)≤0。

令

(15)

因此，可定義

(16)

引理2考慮如下的指數(shù)多項(xiàng)式

引理3假定0

(ⅰ) 若下列兩個(gè)條件之一成立：

(a) Δ≥0，z1>0且H(z1)<0；

(b) Δ<0，且存在一個(gè)z*∈{z1,z2,z3}，使z*>0和H(z*)≤0。

則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，式(3)的所有根都具有負(fù)實(shí)部。

(ⅱ) 若(ⅰ)中兩個(gè)條件都不滿足，則對于任意的τ≥0，式(3)的所有根都具有負(fù)實(shí)部。

證明當(dāng)τ=0，由定理1可知，當(dāng)0

令

s(τ)=α(τ)+iω(τ)

(17)

是式(3)滿足α(τ0)=0,ω(τ0)=ω0的根。

證明式(3)兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)，得

(18)

于是，

(19)

因此，當(dāng)τ=τ0，s=iω0，式(19)變?yōu)?/p>

(20)

其中，

所以，

因此，

從而結(jié)論成立。

由引理1、引理3及引理4，我們可得：

定理2令ω0，z0，τ0及s(τ)是由式(16)和式(17)所定義，假定0

(ⅰ) 若下面兩個(gè)條件：

(a) Δ≥0，z1>0且H(z1)<0；

(b) Δ<0，且存在一個(gè)z*∈{z1,z2,z3}，使z*>0和H(z*)≤0。

都不滿足，則對于任意的τ≥0，式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

(ⅱ) 若滿足(ⅰ)中條件(a)和條件(b)之一，則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

2 數(shù)值模擬

本章將選取三組系統(tǒng)參數(shù)，分別對分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，以驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性。這里我們采用G-L定義法對其數(shù)值解進(jìn)行模擬。

取時(shí)滯τ=0.48<τ0，則式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的，如圖1(a)和圖1(b)所示；再取時(shí)滯τ=0.55>τ0，則式(1)的零解是不穩(wěn)定的，出現(xiàn)了周期解，如圖1(c)和圖1(d)所示；最后取時(shí)滯τ=0.80>τ2>τ0，則式(1)的零解仍是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)存在周期解，如圖1(e)和圖1(f)所示。因此，式(1)在τ=τ0處發(fā)生Hopf分岔。這與定理2的結(jié)論完全相符。

圖1 當(dāng)q=0.9，k=0.6時(shí)，式(1)的時(shí)間歷程圖和相圖Fig.1 Time histories and phase diagrams of Eq.(1) with q=0.9 and k=0.6

取時(shí)滯τ=0.275<τ0，則式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的，如圖2(a)和圖2(b)所示；再取時(shí)滯τ=0.315>τ0，則式(1)的零解是不穩(wěn)定的，出現(xiàn)了周期解，如圖2(c)和圖2(d)所示；最后取時(shí)滯τ=0.600>τ2>τ0，則式(1)的零解仍是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)存在周期解，如圖2(e)和圖2(f)所示。因此，式(1)在τ=τ0處發(fā)生Hopf分岔。

(ⅲ) 選取q=0.9，k=0.05，則由式(4)可得ac=0.362 9。取a=0.20，但H(z1)=0.010 2>0。因此，定理2中的兩個(gè)條件都不滿足。由圖3可知，對任意的τ≥0，式(1)的零解都是漸近穩(wěn)定的，此時(shí)式(1)不發(fā)生Hopf分岔。

圖3 當(dāng)q=0.9，k=0.05時(shí)，式(1)的相圖Fig.3 Phase diagrams of Eq.(1) with q=0.9 and k=0.05

3 結(jié) 論

本文主要對速度時(shí)滯反饋下分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔?xiàng)l件進(jìn)行分析。以時(shí)滯τ作為分岔參數(shù)，當(dāng)τ=0時(shí)，分?jǐn)?shù)階Rayleigh系統(tǒng)具有線性反饋，得到了平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件，它不僅與反饋增益k有關(guān)，還與分?jǐn)?shù)階階次q有關(guān)；當(dāng)τ>0時(shí)，基于特征方程，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足定理2中的條件，可以計(jì)算出平衡點(diǎn)穩(wěn)定的時(shí)滯參數(shù)臨界值τ0，當(dāng)時(shí)滯參數(shù)小于τ0時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)滯參數(shù)大于τ0時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的；進(jìn)而，得到Hopf分岔發(fā)生的條件。可見，通過調(diào)節(jié)時(shí)滯的參數(shù)值，可以控制分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔。