文/劉明，佳沐，許志良，傅文佳，張霆廷

基于Gold-Schmidt 迭代算法，筆者采用IEEE-754（2008）標(biāo)準(zhǔn)中的128 位浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)格式，模塊化地實(shí)現(xiàn)了浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元的VLSI 電路設(shè)計(jì)。隨后，筆者對實(shí)現(xiàn)的128 位浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元進(jìn)行了仿真測試，結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的硬件運(yùn)算單元滿足全浮點(diǎn)域的精度要求。接著，筆者使用TSMC 65nm 標(biāo)準(zhǔn)工藝庫對該硬件運(yùn)算單元做了邏輯綜合，結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的硬件運(yùn)算單元工作頻率可達(dá)800MHz，完成一次完整的128 位浮點(diǎn)計(jì)算需要4 個(gè)時(shí)鐘周期，最大計(jì)算誤差小于1 比特位，硬件電路面積為0.8216mm2，硬件功耗為13.87MW。

一、平方根算法簡述

目前常見的開方算法有以下幾類。

（1）數(shù)字遞歸法。該方法操作簡單，易于實(shí)現(xiàn)，但延遲較長，這點(diǎn)在精度較大的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算過程中表現(xiàn)得尤為明顯。

（2）函數(shù)迭代法。如Newton–Raphson 法、Householders 法和Gold-Schmidt 迭代算法，此類算法需要更多的硬件成本，卻不能保證運(yùn)算結(jié)果的完全準(zhǔn)確，此類算法的優(yōu)點(diǎn)是快速、可擴(kuò)展、易于流水線化。

（3）高基數(shù)運(yùn)算法。該方法運(yùn)算速度快，但實(shí)現(xiàn)起來較為復(fù)雜，且通常需要消耗相當(dāng)大的硬件面積。

（4）查表法。該方法簡單、快速，但硬件成本較高，可擴(kuò)展性較差。

基于此，本文采用Gold-Schmidt 法來設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)高精度、低時(shí)延的浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元。Gold-Schmidt 法的迭代公式如下：

式（1）中，ri表示平方根變量；xi表示調(diào)變因子x 變量；hi表示調(diào)變因子h 變量。

初始值設(shè)置如式（2）所示：

其 中，r0≈1/X1/2是1/X1/2的近似值（查表獲取）。經(jīng)過n 次迭代，筆者得到xn=X1/2。此時(shí)，筆者結(jié)合式（1），得到Gold-Schmidt 法的迭代示意圖，如圖1 所示。

二、浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元的VLSI 實(shí)現(xiàn)

基于Gold-Schmidt 法的浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

如圖2 所示，sqrt_preconfig模塊主要負(fù)責(zé)對輸入的128 位浮點(diǎn)數(shù)data 進(jìn)行異常檢測與預(yù)處理。首先，該模塊會將輸入的data分解為符號data_in_sign、指數(shù)data_in_exp以及尾數(shù)data_in_m，并計(jì)算指數(shù)偏差值exp_out；隨后，進(jìn)行異常檢測，輸出異常檢測旗幟信號exception。exception 有5種可能的值：3′b000（輸入不存在異常情況），3′b001（輸入為非數(shù)，輸出為非數(shù)），3′b010（輸入為負(fù)數(shù)，輸出為非數(shù)），3′b011（輸入為正無窮，輸出為正無窮），3′b100（輸入為0，輸出為0）。同時(shí)，在檢查輸入浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)后，該模塊還會調(diào)整尾數(shù)部分，例如將其由113 位調(diào)整為116 位，并輸出mantissa_out，以便后續(xù)sqrt_mantissa_calculation 模塊的分組計(jì)算。

三、浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元的驗(yàn)證與分析

（一）仿真驗(yàn)證

在本研究中，仿真驗(yàn)證共分為三大部分，分別是浮點(diǎn)異常驗(yàn)證、邊界數(shù)據(jù)驗(yàn)證和邏輯功能驗(yàn)證。其中，浮點(diǎn)異常驗(yàn)證主要針對的是輸入的非數(shù)（NaN）、正負(fù)無窮、0 或者不符合定義域的輸入數(shù)值，邊界數(shù)據(jù)驗(yàn)證的一般是定義域邊界的輸入數(shù)值，而邏輯功能驗(yàn)證的則是定義域內(nèi)的浮點(diǎn)正規(guī)數(shù)。

基于此，筆者對此次設(shè)計(jì)的浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元進(jìn)行大量的隨機(jī)數(shù)據(jù)測試，測試數(shù)據(jù)包括非數(shù)、正負(fù)無窮、0、浮點(diǎn)正規(guī)數(shù)以及邊界數(shù)。仿真驗(yàn)證結(jié)果如表1 所示。

表1 浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元仿真驗(yàn)證結(jié)果對比

（二）性能分析

在電路設(shè)計(jì)得到仿真驗(yàn)證之后，本文根據(jù)TSMC 65nm標(biāo)準(zhǔn)工藝庫，在0.9V 的工作電壓下完成了邏輯實(shí)現(xiàn)和綜合，最終得到有關(guān)硬件的工作頻率、面積等邏輯綜合結(jié)果，如表2 所示。

表2 浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元綜合結(jié)果

四、結(jié)語

本文對128 位浮點(diǎn)平方根運(yùn)算單元實(shí)現(xiàn)了RTL 級（寄存器傳輸級）建模，并基于ModelSim硬件仿真平臺完成了平方根運(yùn)算單元的邏輯功能的仿真驗(yàn)證；在TSMC 65nm的標(biāo)準(zhǔn)工藝完成了邏輯實(shí)現(xiàn)和綜合。結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的浮點(diǎn)平方根運(yùn)算硬件單元完成一次128位浮點(diǎn)計(jì)算需要4 個(gè)時(shí)鐘周期，計(jì)算誤差最大不超過128 位浮點(diǎn)尾數(shù)的最低位，滿足精度高、延遲低的特征。DC 邏輯綜合結(jié)果表明，當(dāng)電路的工作頻率為800MHz 時(shí)，硬件電路面積為0.8216mm2，功耗為13.87MW。