宿遷市蘇州外國語學(xué)校 張 誠

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯認(rèn)為：“在數(shù)學(xué)的王國里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具就是歸納和類比.”類比推理是指根據(jù)兩種不同對象在某些方面具有相同之處或相似之處，借助于聯(lián)想，通過對一個模型的研究來獲得另一個模型的信息，常常作為探索新問題的辦法.類比推理的科學(xué)預(yù)見性、探索性，可以讓學(xué)生經(jīng)歷聯(lián)想、抽象化、映射、驗證等數(shù)學(xué)活動過程，更有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

1 巧用概念類比，引導(dǎo)合情推理

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)重要基石.掌握概念內(nèi)涵，厘清概念異同點，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).由于數(shù)學(xué)概念具有一定的枯燥性、繁雜性和相似性，且很多概念之間存在緊密的聯(lián)系，故學(xué)生在學(xué)習(xí)時非常容易混淆.在新概念教學(xué)時，巧用概念類比，引導(dǎo)學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)已學(xué)概念，并在新舊概念的共同點和差異中明確概念同化的關(guān)鍵要素[1]，并將零散的數(shù)學(xué)知識聯(lián)結(jié)成數(shù)學(xué)知識鏈條，有助于完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)體系.

案例1“一元二次方程”概念課

“一元二次方程”是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，可以讓學(xué)生類比一元一次方程的概念，通過合情推理得到一元二次方程的概念.在課堂中，首先結(jié)合學(xué)生生活創(chuàng)設(shè)以下問題導(dǎo)入新課.

復(fù)習(xí)引入：一塊長方形綠地的周長為34 m，寬為7 m，那么它的長是多少？

學(xué)生通過獨立解決問題，回顧一元一次方程的概念及利用方程解決問題的方法，為學(xué)習(xí)一元二次方程做好準(zhǔn)備.

概念類比：根據(jù)題意，列出方程.

(1)一塊長方形綠地的面積為1200 m2，且長比寬多10 m，那么長和寬各為多少m？

(2)一個正方形的面積等于12，求它的邊長.

(3)已知一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)乘積為0，求這兩個數(shù).

在列方程的過程中，要求學(xué)生思考以上三個方程與一元一次方程的相同點，嘗試類比一元一次方程給上面的三個方程下定義，其目的是用三個實際問題列出的三個方程與一元一次方程進(jìn)行類比，理解“元”“次”等特征，從而順利歸納出一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程.那么，一元二次方程的一般形式如何呢？還需要對上述兩個方程進(jìn)行一般化，從而得到一元二次方程的一般形式為

ax2+bx+c=0(a≠0),

其中，ax2為二次項，a為二次項系數(shù)，bx為一次項，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.

表1 一元二次方程與一元一次方程的類比

在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，將類比推理的思想與一元二次方程概念的學(xué)習(xí)有機(jī)融合起來，教師的不斷引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)過觀察、聯(lián)想、抽象化和映射的數(shù)學(xué)活動，通過類比推理，從而根據(jù)一元一次方程的概念得到一元二次方程的概念，極大程度地鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力.

2 巧用性質(zhì)類比，體驗推理過程

數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)表觀和內(nèi)在所具有的特征，是一種事物區(qū)別于其他事物的本質(zhì)屬性.性質(zhì)相似的事物在其他方面也具有一定的類似性，只有掌握數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)才能更好地運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問題[2].由于數(shù)學(xué)性質(zhì)之間往往有內(nèi)在的關(guān)系和邏輯關(guān)系，新舊性質(zhì)的類比，可以幫助學(xué)生建立知識體系.所以，在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)對象性質(zhì)時，可以采用性質(zhì)類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生將新的數(shù)學(xué)對象與舊的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，在辨析它們之間異同點的過程中，促進(jìn)新性質(zhì)的同化，這對于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)大有裨益.

案例2“平行四邊形與梯形”單元復(fù)習(xí)課

平行四邊形是研究特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定的基礎(chǔ).由于該部分知識比較雜亂且分散，因此在單元復(fù)習(xí)課中，以“整”“理”為主線，結(jié)合思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生對平行四邊形和梯形的性質(zhì)進(jìn)行類比復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系.

“整”，即讓學(xué)生在課前自主整理平行四邊形與梯形的性質(zhì)特點，抄寫下來，并按照一定邏輯順序粘貼，其目的是將分散在本單元中的知識要點展現(xiàn)在同一張圖上，形成整體(如圖1)感知，為性質(zhì)的類比分析做好鋪墊.

圖1

“理”，即讓學(xué)生以小組合作的形式，對平行四邊形和梯形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行個性化梳理，整理出自己最感興趣的，認(rèn)為最重要的或掌握最不扎實的相關(guān)知識點.

“復(fù)”，即根據(jù)學(xué)生的“理”與“習(xí)”的反饋，有針對性地查漏補(bǔ)缺.發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主類比復(fù)習(xí)過程中的薄弱點在平行四邊形與梯形以及平行四邊形與長方形之間的聯(lián)系上.同時，學(xué)生雖然能夠繪制出四邊形與各種特殊四邊形關(guān)系的韋恩圖，但對于它們之間的聯(lián)系卻不甚清晰.為此，針對學(xué)生存在的問題，設(shè)計了以下四個任務(wù)：

(1)將1個平行四邊形剪成2個梯形；

(2)將1個平行四邊形剪成2個完全一樣的梯形；

(3)將1個梯形剪出1個平行四邊形；

(4)將1個長方形剪出1個平行四邊形.

學(xué)生以小組挑戰(zhàn)的形式完成任務(wù)，并進(jìn)行成果展示，在此過程中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平行四邊形和梯形的主要特征，通過類比分析幫助學(xué)生完善思維導(dǎo)圖.這樣既有利于降低學(xué)生學(xué)習(xí)與記憶難度，而且能讓學(xué)生親身體驗類比的過程，從中感受數(shù)學(xué)的邏輯美和知識之間的有趣關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生類比推理能力的提升.

3 巧用條件類比，推理不變特征

不變特征是類比推理的前提，也是學(xué)生在類比推理過程中發(fā)現(xiàn)的“新結(jié)果”.當(dāng)遇到一些新的數(shù)學(xué)習(xí)題或問題時，學(xué)生往往會根據(jù)題目給出的條件，類比已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，從而使得陌生問題熟悉化，當(dāng)尋找到其不變特征時，問題就能得以順利解決[3].為此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是在解題教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所求目標(biāo)，從條件入手尋找不變特征，大膽猜測、嘗試與驗證，并在類比的過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶剿鱽斫鉀Q問題.

案例3解題教學(xué)

(1)如圖2所示，已知△ABC,以AB，AC為邊向外分別作等邊三角形ABD和AEC，連接BE，CD，請將圖形補(bǔ)充完整，并思考BE，CD之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

圖2

圖3

(2)如圖3所示，已知△ABC,以AB，AC為邊向外分別作正方形ABFD和AEGC，連接BE，CD，并思考BE，CD之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

對于題(1)，學(xué)生根據(jù)已知條件，很快畫出圖形，并分析.由于△ABD和△AEC為等邊三角形，所以有AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°，可以證明△ACD和△AEB全等.根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出BE=CD.尋找“全等三角形”是求解本題的關(guān)鍵.

題(1)是向外作等邊三角形，而題(2)則是向外作正方形，等邊三角形和正方形都屬于多邊形，且具有各邊相等、各內(nèi)角相等的基本性質(zhì).為此，在求解題(2)之前，可以引導(dǎo)學(xué)生類比觀察兩道題目中的已知條件，既然三角形和正方形具有相同的性質(zhì)特征，由此，可以猜想題(2)與題(1)的解題思路應(yīng)該是基本一致的.這樣類比題(1)的解題思路進(jìn)行分析，可以看出邊與角之間的關(guān)系依然成立.由于ABFD和AEGC均為正方形，所以有AD=AB,AC=AE，∠DAB=∠CAE=90°，可以證明△ACD和△AEB依然是全等的，那也就是說結(jié)論還是BE=CD.

題(1)與題(2)有著相似的條件，所以，我們可以合理地猜想其條件的相似可能會產(chǎn)生相似的結(jié)論[4].這樣通過類比條件的方法，可以幫助學(xué)生更加迅速、準(zhǔn)確地解題，尤其在解決一些抽象的幾何問題時.類比推理是一條通往成功的捷徑，對學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與邏輯推理能力的培養(yǎng)來說是非常有益的.

4 巧用方法類比，培養(yǎng)推理能力

很多中學(xué)曾提出“數(shù)學(xué)問題應(yīng)該‘一看就會，一做就對’”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過分強(qiáng)調(diào)技能訓(xùn)練，會忽視了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的思考，從而導(dǎo)致學(xué)生陷入“一看就會，一做就廢”的怪圈.學(xué)生在教師講解時往往能聽懂，但當(dāng)他們遇到新的問題時，就會變得束手無策.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)教會學(xué)生如何思考問題，在遇到不熟悉的新問題時，可以將這類題目與已知問題解決方式緊密聯(lián)系起來，運(yùn)用已解決的數(shù)學(xué)問題的思想方法來解決新的問題，比如方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想、化歸思想等[5]，而這一過程中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的類比運(yùn)用.將思想方法類比貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力和解決問題的能力極為重要.

案例4已知一條直線上依次有A，B，C三個點，那么一共有幾條線段呢？

這個問題一般學(xué)生都能求解，共有三條線段，很多時候我們往往在學(xué)生得出答案就結(jié)束這個問題了.事實上，如果我們引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真思考并進(jìn)行知識遷移，學(xué)習(xí)效果將會截然不同.

思考1：如果這條直線上有6個點，你怎么數(shù)出線段的條數(shù)呢？

通過思考1，可以得到“順序識圖”的方法：根據(jù)線段有兩個端點的特征，可以先固定第一個端點，然后再以其余的點作為另一個端點組成線段，然后固定第二個端點，以其余的點組成線段，以此類推，直到找出最后的線段位置.采用一種方法，可以避免遺漏、重復(fù)的現(xiàn)象，不難得到當(dāng)直線上有6個點時，一共有15條線段.

思考2：如果這條直線上有n個點，共有多少條線段呢？

采用思考1中的順序識圖法，學(xué)生很快得出，共有(n-1)+(n-2)+……+3+2+1條線段.

思考3：如何計算(n-1)+(n-2)+……+3+2+1呢？

假設(shè)

S=(n-1)+(n-2)+……+3+2+1，

①

S=1+2+3+……+(n-2)+(n-1).

②

①+②式,得2S=n(n-1),所以S=0.5n(n-1).

在這個問題的解決過程中，采用了高斯的倒序相加法，這種方法不僅能巧妙解決很多初中數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更有用武之地.

思考4：這個方法是否能夠遷移運(yùn)用到其他數(shù)學(xué)問題中呢？

數(shù)角問題：從點O引m條射線OA,OB,OC,……,若組成的角都是銳角，則共有多少個銳角？

握手問題：七年級三班一共有45名學(xué)生，若每兩人握一次手，一共握了多少次手？

比賽問題：n個籃球隊進(jìn)行單項循環(huán)比賽，其中每一個籃球隊都必須與其他籃球隊賽一場，總比賽場次是多少？

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，很多數(shù)學(xué)思想方法都具有一定的相似性.尤其是在解決一些復(fù)雜問題時，可以嘗試將問題進(jìn)行分解，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，使其變?yōu)槲覀兯煜さ膯栴}，進(jìn)而類比已有的解題思路，將各個問題突破，從而在問題解決的過程中，學(xué)生的邏輯推理能力能夠得到很好的訓(xùn)練.

5 結(jié)語

波利亞曾說過：“類比是發(fā)現(xiàn)的源泉，是一個偉大的引路人.”邏輯推理能力是重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課堂中，巧用類比思想，可以讓學(xué)生將舊知識類比遷移運(yùn)用到新知的學(xué)習(xí)中，形成新的知識結(jié)構(gòu)和體系，同時，在類比探究過程中，促進(jìn)了創(chuàng)造力和思考力的升華，提升了學(xué)生自主解決問題的能力，有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力，實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).