第5章 平面直角坐標系

組稿團隊：江蘇省南通市初中數(shù)學(xué)青年骨干教師團隊

領(lǐng)銜人：劉東升

本期向同學(xué)們推介一款新的數(shù)學(xué)工具——平面直角坐標系。我們先回顧一下上一代工具——數(shù)軸，如圖1。

在同一平面內(nèi)，我們知道點與直線有兩種位置關(guān)系，點在直線上或點在直線外。借助數(shù)軸，我們能解決點在數(shù)軸（直線）上的問題，但是點在數(shù)軸（直線）外的情況如何研究呢？

如圖2，在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，即組成平面直角坐標系。水平的數(shù)軸稱為橫軸（也稱x軸），取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為縱軸（也稱y軸），取向上為正方向；兩坐標軸交點為平面直角坐標系的原點。

如圖2，建立平面直角坐標系后，坐標平面就被兩條坐標軸分成四個部分，每個部分依次被稱為第一、二、三、四象限。特別地，坐標軸上的點不屬于任何象限。

現(xiàn)在我們來研究點在數(shù)軸（直線）外的情況。在不同象限各取幾個點，將這些點分別向x軸、y軸作垂線段，垂足對應(yīng)的x、y的值分別記為橫坐標x和縱坐標y，這些點用“有序數(shù)對”（x，y）來表示，即這些點的坐標為（x，y）。注意橫坐標在前，縱坐標在后。如圖3中，第一象限內(nèi)點A的坐標記為（4，5）。

我們知道，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的。同理，對于平面直角坐標系上的任意一點M，都有唯一一對有序?qū)崝?shù)對（x，y）（即點M的坐標）和它對應(yīng)；反之，對于任意一對有序?qū)崝?shù)對（x，y），在坐標平面內(nèi)都有唯一的一個點M和它對應(yīng)。我們也可以說，坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的?，F(xiàn)在，我們將平面直角坐標系的知識“結(jié)構(gòu)化”（如圖4）。

最后，提供一道例題，供同學(xué)們鞏固新知。

例 在平面直角坐標系xOy中，先描出A（4，2）、B（-2，2）、C（-4，-2.5）、D（2.5，-2.5）、E（0，-4）、F（-4，0）各點，再回答下列問題。

（1）連接AB，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)直線AB與x軸有什么樣的位置關(guān)系？你能總結(jié)出什么規(guī)律？

（2）連接CF，線段CF的長為多少？直線CF與兩條坐標軸分別有什么樣的位置關(guān)系？

（3）計算△EOF的面積；

（4）計算四邊形BCED的面積；

（5）有人發(fā)現(xiàn)點B、D與原點O在同一直線上，你覺得這種發(fā)現(xiàn)有道理嗎？為什么？

［參考答案］圖形略；（1）AB//x軸，規(guī)律：橫坐標不同、縱坐標相同的點的連線平行于x軸；（2）CF=2.5，CF⊥x軸，CF//y軸；（3）△EOF的面積為8；（4）四邊形BCED的面積為19.5；（5）有道理，點B、D到兩坐標軸距離相等，在第二、四象限的角平分線上。

（作者單位：江蘇省南通市教育科學(xué)研究院）