崔 巖，劉 康，李得先，周 野

（大連理工大學(xué)精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧大連 116024）

0 引言

在大自然中存在一種天空偏振光分布模式[1-2]，具有不受外界干擾、誤差不隨時間累積等優(yōu)點?；谠撛硌兄频钠駥?dǎo)航測試系統(tǒng)通過獲取當(dāng)前天空偏振光分布模式圖，提取太陽子午線[3]信息，并結(jié)合此時太陽方位角最終實現(xiàn)導(dǎo)航功能。為了提高偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)的精確度，需要建立普遍適用的空間域、時間域誤差模型[4]，空間分辨率[4]可以形象地描述偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)的空間域誤差值大小。因此，探究偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)的空間分辨率分布關(guān)系對實現(xiàn)高精度導(dǎo)航至關(guān)重要。

國內(nèi)外學(xué)者對其進(jìn)行大量研究，Zittrell等[5]通過注射神經(jīng)生物示蹤劑進(jìn)行昆蟲大腦細(xì)胞識別，論證了蝗蟲通過直接光照與天空偏振模式相結(jié)合的方式實現(xiàn)導(dǎo)航。賀曉雷等[6]提出了一種可以直接應(yīng)用的太陽方位角求解公式。桂文勝等[7]改進(jìn)了太陽位置計算公式，仿真分析了不同緯度，日出時刻、日出方位角、白天時長和正午太陽高度角的變化規(guī)律。Horváth等[8]通過測試日出時天空偏振模式變化情況，探究了偏振度、偏振方位角隨太陽高度角、太陽方位角的變化關(guān)系。Kreuter等[9]利用帶有旋轉(zhuǎn)偏振器的自動魚眼相機(jī)系統(tǒng)測量了全天空偏振模式的分布。朱志飛等[10]提出了一種基于瑞利散射的太陽自主定位方法計算地理位置信息。Cai J等[11]針對偏振光導(dǎo)航系統(tǒng)航向誤差隨緯度的增加而增加的情況，提出一種改進(jìn)的偏振光導(dǎo)航輔助的快速測量算法?，F(xiàn)有研究主要是優(yōu)化太陽位置信息求解公式，以及如何獲取更高精度的地理位置信息，實現(xiàn)高精度導(dǎo)航。

本文基于瑞利散射理論，提出了經(jīng)度分辨率和緯度分辨率的概念，描述偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)的空間分辨率。搭建了天空偏振光空間分辨率仿真平臺，逐一分析了半球區(qū)域經(jīng)度分辨率和緯度分辨率分布規(guī)律，建立了偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)空間分辨率分布模型。

1 基本原理

1.1 偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)仿真原理

隨著地球繞太陽周期性的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，太陽光照射到地球表面物體的角度也有所不同。理想大氣條件下，基于瑞利散射理論，構(gòu)建地平坐標(biāo)系如圖1所示，描述太陽光在大氣中單次散射過程。O點為當(dāng)前觀測者所處地理位置點，N、E、S、W分別為正北、正東、正南和正西方向，XO Y平面即代表觀測者所處的地平面，Z表示天頂點，M表示此時太陽所處位置。太陽M同地平面的夾角θM即所求太陽高度角，水平面向上為正，向下為負(fù)；M O所在直線在XOY平面的投影同正南方向夾角?M即所求太陽方位角，從正南向西為正，向東為負(fù)。V為天空中任一被觀測粒子所處位置，θ為其觀測高度角，?為其觀測方位角。此時太陽位置坐標(biāo)（θM，q M），粒子坐標(biāo)（r，f，q），r為地平坐標(biāo)系球半徑。

圖1 地平坐標(biāo)系

任一時刻、任一經(jīng)緯度地區(qū)太陽高度角、太陽方位角可以通過下式計算獲得[12]：

式中：φ為緯度；W為太陽時角；d為太陽赤緯角。

太陽時角、太陽赤緯角可通過查閱天文年歷獲得，為了便于實際應(yīng)用和編程分析，可以采用張闖等[13]提出的方法進(jìn)行計算?；谌鹄⑸淅碚?，根據(jù)幾何關(guān)系可得被觀測點處偏振方位角c為：

天空各點的偏振方位角值，投影至X O Y平面，組成天空偏振方位角分布圖如圖2所示。圖中黑色直線即太陽子午線[3]，紅色直線為體軸方向（此時為南北方向），太陽子午線與體軸方向夾角s n為導(dǎo)航參考角[14]。

圖2 天空偏振方位角分布

在基于瑞利散射的理想大氣模式下，如圖2所示的天空偏振方位角分布圖關(guān)于太陽子午線呈對稱關(guān)系，太陽子午線所在區(qū)域的偏振方位角為±90°，利用最小二乘法對偏振方位角值為[60°，90°]U[-60°，-90°]樣本點區(qū)域進(jìn)行直線擬合，由直線斜率獲取導(dǎo)航參考角值。

因此，導(dǎo)航參考角可通過如圖3所示流程圖計算獲得。偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)通過獲取當(dāng)前導(dǎo)航參考角，結(jié)合當(dāng)前太陽方位角，兩者相減可得體軸同南北方向夾角即當(dāng)前朝向方向，實現(xiàn)導(dǎo)航。

圖3 導(dǎo)航參考角計算流程

1.2 天空偏振光空間分辨率仿真平臺原理

為了實現(xiàn)偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)高精度測量，需要對其在特定的時間域、空間域進(jìn)行測量誤差分析，本文提出了偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)經(jīng)度分辨率、緯度分辨率的概念來描述測試系統(tǒng)的空間域誤差大小。經(jīng)度分辨率即緯度不變，經(jīng)度變化一定范圍，偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)輸出參數(shù)變化量為其儀器分辨率。緯度分辨率即經(jīng)度不變，緯度變化一定范圍，偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)輸出參數(shù)變化量為其儀器分辨率。由此可通過經(jīng)緯度分辨率這一變量值，描述空間域內(nèi)偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)測量誤差值。某地理位置經(jīng)緯度分辨率越大，表征該地理位置偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)經(jīng)緯度方向測量誤差越大；經(jīng)緯度分辨率越小，表征該地理位置偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)經(jīng)緯度方向測量誤差越小。同一時刻，不同地理位置，經(jīng)度分辨率，緯度分辨率值各不相同。同時，由于偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)輸出參量即導(dǎo)航角可以由導(dǎo)航參考角簡單換算獲得，因此可以借由導(dǎo)航參考角的變化替代偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)輸出參量的變化。為了探究經(jīng)度變化率、緯度變化率的分布規(guī)律，本文提出了如圖4所示的經(jīng)緯度分辨率計算方法。

圖4 經(jīng)度緯度分辨率計算流程

以經(jīng)度分辨率為例，為了計算某時刻某地理位置經(jīng)度分辨率，初始設(shè)置時間、日期、經(jīng)緯度、最大范圍d、導(dǎo)航測試系統(tǒng)分辨率l，計算以該地理位置點為中心，緯度值不變，經(jīng)度值以最大范圍δ/250度為步長，經(jīng)度方向向東向西各取250個點的導(dǎo)航參考角Sn，如圖5所示。

圖5 取點分布

統(tǒng)計500個點中導(dǎo)航參考角同中心點導(dǎo)航角S1差值小于導(dǎo)航測試系統(tǒng)分辨率l的點的個數(shù)N，由下式可得中心點處經(jīng)度分辨率T：

初始設(shè)置最大范圍δ=0.25，步長為（δ/250）°，因此初始經(jīng)緯度分辨率的最小值為0.001°。若初始步長過小，系統(tǒng)時間復(fù)雜率較高，若初試步長較大，或初試最大范圍δ過大，計算所得經(jīng)緯度分辨率精度過低，綜合考慮設(shè)置該初試值。若初始設(shè)置最大范圍δ過小，可能存在某一半取點的導(dǎo)航參考角值同中心點導(dǎo)航角差值均在導(dǎo)航測試系統(tǒng)分辨率0.1°范圍以內(nèi)，此時不能保證所計算的緯度分辨率為真實分辨率，故需提前計算緯度值增加/減少最大范圍δ處緯度的導(dǎo)航參考角，若任一導(dǎo)航參考角同中心點處導(dǎo)航參考角差值小于導(dǎo)航測試系統(tǒng)分辨率λ，則最大范圍δ增加1倍。

根據(jù)經(jīng)緯度分辨率計算流程圖，搭建了天空偏振光空間分辨率仿真平臺，如圖6所示，該仿真平臺可以計算任意日期、時間、經(jīng)緯度地區(qū)的偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)的經(jīng)度分辨率和緯度分辨率。

圖6 天空偏振光空間分辨率仿真平臺

2 仿真結(jié)果與分析

為了探究偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)空間分辨率分布規(guī)律，利用天空偏振光空間分辨率仿真平臺，分別計算了半球區(qū)域偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)的經(jīng)度分辨率和緯度分辨率，綜合兩者分布情況，得出偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)空間域誤差大小。

2.1 緯度分辨率分析

以2022年3月20日（春分日）北京時間12時作為時刻基準(zhǔn)，此時太陽的直射點在0°緯線和東經(jīng)120°交匯處。以該直射點為中心點，分別向東、向西每隔15°經(jīng)度（一個時區(qū)）取一個經(jīng)度值；分別向北、向南每隔10°緯度取一個緯度值，組成11×17個網(wǎng)狀地理位置分布點。如圖7所示，中心紅色圓點為此刻太陽直射點。假設(shè)此時偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)儀器分辨率為0.1°。分別計算各地理位置點緯度分辨率。

圖7 地理位置取樣數(shù)據(jù)網(wǎng)狀分布

以緯度作為X軸，緯度分辨率為Y軸，繪制不同經(jīng)度條件下，緯度分辨率隨緯度變化情況，如圖8所示。由圖可知，同一經(jīng)度條件下，太陽直射點所在緯度即0°緯度的緯度分辨率最小，向高緯度方向逐漸增大。同時，太陽直射點所在經(jīng)度線即此時的東經(jīng)120°經(jīng)度線上，增速明顯高于非太陽直射點所在經(jīng)線。

圖8 各經(jīng)度條件下緯度分辨率隨緯度變化情況

為了定量分析緯度分辨率的分布情況，分別繪制直射點經(jīng)度、與非直射點經(jīng)度線上，緯度分辨率隨緯度變化情況圖。如圖9（a）所示，太陽直射點所在經(jīng)度線，0°~20°緯度區(qū)域，緯度分辨率變化較緩，緯度分辨率在0°~0.2°；20°~50°緯度區(qū)域，緯度分辨率變化較為明顯，緯度分辨率在0.2°~2°；50°以上緯度區(qū)域，緯度分辨率變化非常明顯，緯度分辨率在2°以上。

由圖9（b）可得，60°E~105°E經(jīng)度線上，0°~20°緯度區(qū)域，緯度分辨率變化區(qū)間在0°~0.2°；20°~50°緯度區(qū)域，緯度分辨率變化區(qū)間在0.15°~0.4°；50°以上緯度區(qū)域，緯度分辨率變化區(qū)間在0.3°~1°。75°經(jīng)度線上，0°~20°緯度區(qū)域，緯度分辨率變化區(qū)間在0.25°~0.5°；30°~50°緯度區(qū)域，0.5°~0.75°；50°以上緯度區(qū)域，變化區(qū)間在0.75°~1.5°。

圖9 緯度分辨率隨緯度變化情況

2.2 經(jīng)度分辨率分析

同緯度分辨率分析一致，以2022年3月20日（春分日）北京時間12時作為時刻基準(zhǔn)，取11×17個呈網(wǎng)狀分布的經(jīng)緯度地理位置，分別計算各地理位置點經(jīng)度分辨率。并假設(shè)此時偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)儀器分辨率為0.1°。

分別繪制直射點緯度線與非直射點緯度線經(jīng)度分辨率隨經(jīng)度變化情況如圖10所示。由圖可得，隨著經(jīng)度值向遠(yuǎn)離直射點兩端偏移，經(jīng)度分辨率逐漸增大，且越靠近太陽直射點所在緯線上，經(jīng)度分辨率增大的速率越快。由圖10（a）可得，太陽直射點所在緯度線，105°E~120°E經(jīng)度區(qū)域，經(jīng)度分辨率變化不太明顯，經(jīng)度分辨率分布在0°~2°；45°E~105°E經(jīng)度區(qū)域，經(jīng)度分辨率變化十分明顯，經(jīng)度分辨率分布在2°以上。由圖10（b）可得，30°及以上緯度區(qū)域，經(jīng)度分辨率變化區(qū)間在0°~0.2°；20°緯度線上，經(jīng)度分辨率變化區(qū)間在0°~0.3°；10°緯度線上，經(jīng)度分辨率變化區(qū)間在0°~0.6°。

圖10 經(jīng)度分辨率隨經(jīng)度變化情況

2.3 綜合分析

綜合以上結(jié)論，繪制當(dāng)前時間，全半球范圍內(nèi)緯度分辨率分布表，如表1所示，首列首行分別為經(jīng)緯度偏離太陽直射點緯度、經(jīng)度值，同一經(jīng)度線上，隨著緯度取值偏離直射點緯度，緯度分辨率單調(diào)遞增。

表1 緯度分辨率分布

綜合以上結(jié)論，繪制當(dāng)前時間全半球范圍內(nèi)經(jīng)度分辨率分布表如表2所示，且同一緯度線上，經(jīng)度分辨率隨經(jīng)度值增大單調(diào)遞增；同一經(jīng)度線上，經(jīng)度變化0°~15°區(qū)域，經(jīng)度分辨率隨緯度值增大單調(diào)遞增，經(jīng)度變化30°以上區(qū)域，經(jīng)度分辨率隨緯度值增大單調(diào)遞減。

表2 經(jīng)度分辨率分布

綜合表1、表2可得，太陽直射點所在緯度線上，隨著經(jīng)度取值逐漸偏離直射點經(jīng)度，緯度分辨率變化范圍在0°~0.5°，經(jīng)度分辨率由0°快速增加到遠(yuǎn)大于2°，緯度分辨率遠(yuǎn)小于經(jīng)度分辨率；太陽直射點所在經(jīng)度線上，隨著緯度值逐漸偏離直射點，緯度分辨率由0°快速增加到遠(yuǎn)大于2°，經(jīng)度分辨率變化范圍在0°~0.1°，經(jīng)度分辨率遠(yuǎn)小于緯度分辨率。

非直射點經(jīng)緯度線，緯度值偏離直射點10°~20°緯度范圍，經(jīng)度分辨率變化范圍在0°~0.6°，緯度分辨率在0°~0.5°，經(jīng)度分辨率、緯度分辨率相差不大；緯度值偏離直射點30°~50°緯度范圍，經(jīng)度分辨率變化范圍在0°~0.2°，緯度分辨率變化范圍在0.15°~0.75°，經(jīng)度分辨率小于緯度分辨率；偏離直射點50°以上緯度范圍，經(jīng)度分辨率變化范圍在0°~0.2°，緯度分辨率在0.3°~1.5°，經(jīng)度分辨率遠(yuǎn)小于緯度分辨率用。

3 結(jié)束語

本文通過引入經(jīng)緯度分辨率這一參考量，描繪偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)空間域誤差大小，通過控制變量法分別從經(jīng)度方向、緯度方向探究偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)空間分辨率分布規(guī)律。結(jié)果表明：太陽直射點所在緯度線上，偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)緯度分辨率遠(yuǎn)小于經(jīng)度分辨率，偏振導(dǎo)航測試系統(tǒng)受緯度波動影響較大；太陽直射點所在經(jīng)度線上，經(jīng)度分辨率遠(yuǎn)小于緯度分辨率，測試系統(tǒng)受經(jīng)度波動影響較大。非直射點經(jīng)緯度線，緯度值偏離直射點10°~20°緯度范圍，經(jīng)緯度分辨率值比較接近，測試系統(tǒng)受經(jīng)緯度波動影響相差不大；緯度值偏離直射點30°~50°緯度范圍，經(jīng)度分辨率小于緯度分辨率，測試系統(tǒng)受經(jīng)度波動大于受緯度波動影響；偏離直射點50°以上緯度范圍，經(jīng)度分辨率遠(yuǎn)小于緯度分辨率，測試系統(tǒng)受經(jīng)度波動影響遠(yuǎn)大于受緯度波動影響。